М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику, страница 36

Функции ψ+ и ψ− совпадают с ψ0 в об2ластях положительного (отрицательного) знака и тождественно равны нулю в областях противоположного знака. Существование отличных от нуляволновых функций, для которых в какой-то точке ψ(x0 ) = ψ (x0 ) = 0, нарушает условия существования и единственности решения стационарного5 Комплексноесопряжение не пишем, т. к. волновая функция вещественна.6.2. О СЦИЛЛЯТОРНАЯТЕОРЕМА179уравнения Шрёдингера6 , так что предположение о линейной независимостиψ0 и ψ1 не выполняется и мы приходим к выводу, что основное состояниеодномерной системы с периодическими граничными условиями вообще неимеет нулей.Основное состояние должно быть невырожденным, т. к.

две функции, имеющие постоянный знак в одинаковой области (в силуусловия единственности), не могут быть ортогональны друг другу.6.2.3. Вронскиан (л*)Удобным инструментом для исследова- Рис. 6.4. Юзеф Вроньскийния зависимости решений дифференциального (1776–1853). [1897 г. Felix Valloton. W]уравнения является вронскиан (определитель Вроньского), введённый Юзефом Вроньским.Поскольку мы изучаем дифференциальные уравнения второго порядка,то и вронскиан нам понадобится второго порядка:ψ ψ W [ψ1 , ψ2 ] = 1 2 = ψ1 ψ2 − ψ2 ψ1 .(6.12)ψ1 ψ2Если вронскиан обратился в ноль в точке x, это означает, что значенияфункций и их первых производных в точке x пропорциональны друг другу.Для дифференциального уравнения второго порядка, зная функцию и еёпроизводную в точке x, мы можем поставить задачу Коши и найти значенияфункции на всей оси. Таким образом, если ψ1 и ψ2 являются решениямиуравнений Шрёдингера для одного и того же потенциала и для одной и тойже энергии, то (в силу того, что уравнения линейные, однородные, второгопорядка) если вронскиан равен нулю в одной точке W [ψ1 , ψ2 ](x) = 0, то онравен нулю всюду и функции ψ1 и ψ2 пропорциональны друг другу.Докажем более общее утверждение, описывающее зависимость вронскиана от координаты для двух функций, являющихся решениями стационарного уравнения Шрёдингера:W [ψ1 , ψ2 ] = ψ1 ψ2 − ψ2 ψ1 =21= ψ1 2m(U2 (x) − E2 )ψ2 − ψ2 2m(U1 (x) − E1 )ψ1 =h̄2h̄2= ψ1 ψ22h̄2[m2 (U2 (x) − E2 ) − m1 (U1 (x) − E1 )].6 Нарушение условий единственности упоминалось как один из примеров выше(см.

6.2.1 «Об области применимости теоремы*»).180ГЛАВА 6Если m1 = m2 = m и U1 (x) = U2 (x), то соотношение упрощается:W [ψ1 , ψ2 ] = ψ1 ψ22mh̄2[E1 − E2 ].(6.13)Проинтегрировав формулы (6.13), получаемW [ψ1 , ψ2 ](x1 ) − W [ψ1 , ψ2 ](x0 ) =2mh̄2x1[E1 − E2 ]ψ1 (x)ψ2 (x) dx. (6.14)x06.2.4. Рост числа нулей с номером уровня*Применим формулу (6.14) для изменения вронскиана к двум последовательным нулям x0 < x1 дискретного стационарного состояния ψ1 с энергией E1 . Второе состояние ψ2 пусть также будет дискретным собственнымс энергией E2 > E1 .Функции ψ1 (x) и ψ2 (x) возьмём вещественные, причём выберем такойзнак, чтобы ψ1 (x) > 0 при x ∈ (x0 , x1 ).0000 [ψ1 (x1 ) ψ2 (x1 ) − ψ2 (x1 ) ψ1 (x1 )] − [ψ1 (x0 ) ψ2 (x0 ) − ψ2 (x0 ) ψ1 (x0 )] = W [ψ1 ,ψ2 ](x1 )0W [ψ1 ,ψ2 ](x0 )0 x1 2m= ψ2 (x1 ) (−ψ1 (x1 )) + ψ2 (x0 ) ψ1 (x0 ) = h̄2 [E1 − E2 ] ψ1 (x) ψ2 (x) dx.<0>0x0Это равенство не может выполняться, если функция ψ2 (x) не меняетзнак на интервале (x0 , x1 ) хотя бы один раз.Таким образом, между любыми двумя нулями функции ψ1 (x) (включая два нуля на границе области определения) найдётся хотя бы один нольфункции ψ2 (x).

Число нулей стационарного состояния ψ2 (x), отвечающегобольшей энергии, строго больше, чем число нулей стационарного состояния ψ1 (x).(*) Принадлежность состояний ψ1 и ψ2 к дискретному спектру важнадля сходимости интеграла лишь в случае бесконечной области интегрируемости. Если x0 и x1 конечны, то от этого условия можно отказаться. Между любыми двумя конечными нулями вещественной собственной функциибудет хотя бы один ноль другой вещественной собственной функции, отвечающей большей энергии.6.2. О СЦИЛЛЯТОРНАЯТЕОРЕМА1816.2.5. Сокращение числа нулей*Для того, чтобы завершить доказательство осцилляторной теоремы(после того, как мы доказали рост числа нулей с ростом энергии), намосталось показать, что если для некоторого одномерного гамильтониана вида (6.1) существует дискретное стационарное состояние ψn с энергией En ,имеющее n внутренних нулей, то найдётся дискретное стационарное состояние ψn−1 того же гамильтониана с числом внутренних нулей, равным n−1.Пусть xk , k = 1, .

. . n, — внутренние нули функции ψn . x0 и xn+1 —границы области определения. Пусть нули пронумерованы в порядке возрастания:−∞ x0 < x1 < . . . < xn < xn+1 +∞.внутренние нулиЕсли разделить ось x на n+1 интервалы (xk , xk+1 ) (k = 0, .

. . , n), поставивв точках xk (k = 1, . . . , n) бесконечно высокие стенки, то в каждой из n + 1получившихся потенциальных ям мы будем иметь дискретный спектр, длякоторого состояниеψnk (x) = I(xk ,xk+1 ) (x) · ψn (x),k = 0, . . . , n(характеристическая функция определена уравнением (3.10)), полученноеограничением ψn на соответствующий интервал, станет основным, т. к. ψn ,ограниченное на соответствующий интервал, уже не имеет внутреннихнулей.Покажем, при помощи вариационного принципа (см.

раздел 4.11.2),что при расширении одной из ям за счёт отодвигания стенки энергия основного состояния строго убывает. При расширении ямы номер k средняяэнергия, вычисленная для состояния ψnk , не изменится, т. к. мы просторасширим область интегрирования вне (xk , xk1 ), туда где ψnk (x) ≡ 0. Таким образом, энергия основного состояния не увеличится. Однако функция ψnk (x) не может доставлять минимум гамильтониану расширеннойямы, т. к. она тождественно равна нулю на интервале, на который отодвинулась стенка, не удовлетворяет на этом интервале условию единственности и не может быть собственной функцией.

Значит энергия основногосостояния при расширении ямы станет строго меньше.Если мы будем двигать стенки, то между двумя стенками спектр всегдабудет только дискретным, а значит будет дискретным и основное состояние.Между стенкой и бесконечной точкой (если x0 = −∞, или xn+1 == +∞) дискретный спектр заведомо сохранится, если мы не будем сдви-182ГЛАВА 6гать крайнюю левую стенку левее x1 , а крайнюю правую — правее xn ,т.

к. асимптотика на бесконечности не может «испортится» при пониженииуровня энергии.Чтобы доказать существование состояния ψn−1 , над достаточно показать, что мы можем выкинуть одну из n стенок, которые мы поставилив точки xk , а оставшиеся так расставить на интервале (x1 , xn ) в точках yk(k = 1, . . . , n−1), чтобы энергии основных уровней во всех n ямах совпалидруг с другом. Тогда искомую функцию всегда можно записать как линейную комбинацию функций основных состояний ψn−1,k (k = 0, . . . , n − 1)в ямах между новыми положениями стенок:ψn−1 (x) =n−1cn−1,k ψn−1,k (x).k=0Значения функций ψn−1,k (x) вне соответствующих интервалов (yk , yk+1 )равны нулю, а коэффициенты cn−1,k подбираются так, чтобы обеспечитьв точках yk непрерывность первой производной ψn−1.Покажем, что расстановка n−1 стенки, при которой энергия основныхсостояний во всех n ямах одинакова, действительно существует.

Для этогомы сделаем естественное предположение, что энергия основного состояниянепрерывно зависит от положения бесконечно высоких стенок, её ограничивающих.Пусть стенки перемещаются по следующим правилам:0) Начнём с конфигурации с выкинутой первой стенкой. То есть пустьстенки на итерации 0 стоят в точках yk (0) = xk+1 (k = 1, .

. . , n − 1).1) На шаге номер l (l = 1, . . . , n − 1) мы передвигаем стенку номер l влево настолько, чтобы уравнять энергии основных состояний в ямахсправа и слева от справа от неё. В результате мы получаем конфигурацию стенок yk (1) в итерации 1, в которой энергии основных состоянийв яме k монотонно возрастают слева направо при k = 0, . . . , n − 2, а в последних двух ямах основные уровни совпадают, причём En−1,n−2 (1) == En−1,n−1 (1) < En .2) Повторяем пункт 1) бесконечно много раз порождая последовательность итераций yk (N ), N = 0, .

. . , ∞.3) В результате все мы получаем некоторую предельную конфигурацию стенок yk (∞) (k = 1, . . . , n − 1). Предел обязан существовать, т. к. всестенки сдвигаются только влево, и не одна и из них не сдвигается левее,чем x1 , т. к. сдвиг левее, чем x1 , означает, что En−1,0 > En , что невозможно.6.3. ОДНОМЕРНАЯЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ1836.2.6. Завершение доказательства*Мы показали, что если состояние дискретного спектра имеет n внутренних нулей, то мы можем построить состояние, имеющее n − 1 нуль.Уменьшая число нулей на каждом шаге на один, мы убеждаемся, что в дискретном спектре число внутренних нулей меняется с шагом единица отнуля (для основного состояния) до некоторого максимального числа илибесконечности.Доказанное ранее утверждение, что число нулей в непрерывном спектре растёт с ростом энергии, теперь означает, что число нулей нумеруетдискретные уровни подряд в порядке возрастания энергии.Нули функции ψn+1 должны чередоваться с нулями ψn , т.

к. нам нуженнуль на каждом промежутке между нулями функции ψn , а таких промежутков имеется ровно n + 1.Таким образом, осцилляторная теорема доказана.6.3. Одномерная задача рассеяния6.3.1. Постановка задачиВ одномерном случае, когда потенциал на бесконечностях имеет конечные пределы, может быть поставлена одномерная задача рассеяния, в которой для падающей частицы с определённой энергий надо определить с какой вероятностью она пройдёт через потенциал, а с какой вероятностьюотразится обратно.Одномерная задача рассеяния ставится для энергии из непрерывногоспектра, причём, как мы увидим далее, нетривиальное решение возможнотолько для вырожденного значения энергии.Одномерная задача рассеяния ставится как задача определения асимптотики на бесконечности (там, где потенциал выходит на константу) решения стационарного уравнения Шрёдингера определённого вида:ψ +2m(Eh̄2ψ(x) →− U (x)) = 0,ikxe+падающая волнаψ(x) →ik xd e (6.15)−ikxr e ,1h̄x → −∞,x → +∞,прошедшая волнаk=,отражённая волна2m(E − U− ),k =1h̄2m(E − U+ ).184ГЛАВА 6ikxU(x), Eeik'xdere–ikxU1U+U–xU0Рис.