М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику, страница 33

При этом все рассматриваемые операторы являются эрмитовыми операторами на H и нам нет необходимостиобращаться к оснащённому гильбертовому пространству.5.3.2. Селективное и неселективное измерение*Выше мы уже упоминали, что квантовое измерение происходит внезависимости от того, смотрит ли наблюдатель на стрелку прибора и естьвообще ли у прибора стрелка (2.3.2 «На наших глазах . . . »).В разделе 5.3.1 «Проекционный постулат» мы предполагали, что результат измерения известен, и сохраняли в волновой функции или матрицеплотности только ту часть, которая соответствует случившемуся результатуизмерения.

Это селективное измерение.Неселективное измерение не даёт наблюдателю информации о том, чему равна измеряемая величина. Наблюдатель лишь знает чему равна вероятность того или иного исхода. Для каждого конкретного исхода он мог бызадать волновую функцию, но он не знает какой именно исход состоялся.Любое измерение до того, как оно проведено, или до того, как до насдошла информация об исходе измерения, следует рассматривать какнеселективное.5.3. И ЗМЕРЕНИЕ161Состояние после неселективного измерения в случае общего положения описывается не волновой функцией, а матрицей плотности, даже еслипервоначальное состояние было чистым.При известном исходе измерения k (селективное измерение) нормированная на вероятность матрица плотности после измерения выражаетсякакρ̂k = P̂k ρ̂до P̂k ∈ Hk ⊗ Hk∗ ,tr ρ̂k = pk .При неизвестном исходе измерения (неселективное измерение) нам надопросуммировать матрицы плотности по всем возможным исходам:ρ̂н.

с. =tr ρ̂н. с. = 1.(5.41)P̂k ρ̂до P̂k ,kВеса, соответствующие вероятностям исходов, здесь не нужны, т. к. ρ̂k нормированы на вероятности.Если матрица плотности записана в базисе собственных векторов измеряемой величины, то после неселективного измерения матрица становится блочно-диагональной — все диагональные блоки, отвечающие определённому k, сохраняются, все недиагональные блоки обнуляются.Матрица до измерения: ρ̂ = 1̂ρ̂1̂ =P̂k ρ̂P̂k =P̂k ρ̂P̂k .kkk,k Недиагональные слагаемыеP̂k ρ̂P̂k ,k = k ,после измерения обнуляются и из двойной суммы остаётся сумма диагональных элементов (5.41). Можно сказать, что неселективное измерениеобнуляет члены, связанные квантовой интерференцией, но не трогает членов, связанных с классическими вероятностями.(ф) Состояние системы после селективного измерения в принципе непредсказуемо (можно предсказать лишь вероятности исходов).

Состояниесистемы после неселективного измерения, заданное как матрица плотности, предсказуемо заранее, оно содержит все возможные результаты измерений.(фф*) В литературе при обсуждении процедуры измерения много путаницы между селективным и неселективным измерением. В частности,162ГЛАВА 5вопрос о природе выбора системой того или иного исхода измерения (т. е.вопрос о квантовых вероятностях, имеющий смысл только для селективного измерения) часто (почти всегда) подменяется выводом в том или иномприближении формулы (5.41) для неселективного измерения.5.3.3.

Приготовление состоянияПроцедура измерения превращает состояние системы в собственноедля некоторого эрмитового оператора (наблюдаемой). Формально мы можем придумать эрмитов оператор P̂φ , для которого собственным состоянием будет любое наперёд заданное состояние |φ, причём данное состояниебудет невырожденным, например:P̂φ = |φφ|.При измерении наблюдаемой P̂φ мы получаем одно из двух значений: либо 0, либо 1 (мы считаем, φ = 1). В последнем случае система попадаетв состояние |φ.Таким образом, имея исходную систему в произвольном состояниии измеряя некоторую, специально подобранную физическую величину, мыпри благоприятном исходе измерения помещаем систему в нужное нам состояние.Описанная процедура измерения с последующим отбором называетсяприготовлением состояния.Например, мы можем приготовить фотоны в состоянии с определённой линейной поляризацией, пропустив их через поляризатор.

Частьфотонов при этом окажется забракованной (поглотится или отразится, в зависимости от устройства поляризатора).Разумеется, приготовление состояния срабатывает не всегда, а с вероятностью |ψ|φ|2 , которая в случае общего положения отлична от нуля.Не всегда удаётся придумать физический эксперимент, измеряющийискусственно сконструированную наблюдаемую. В некоторых случаях такой эксперимент может оказаться запрещён законами сохранения.ГЛАВА 6Одномерные квантовые системыЗа что ставятся оценки:5 — знает и понимает,4 — знает, но не понимает,3 — не знает и не понимает,2 — не знает, не понимает, да ещёи раздражает.Преподавательский фольклорСлучай одномерного движения квантовой частицы является одним изсамых простых в квантовой механике1 .

Кроме того, одномерные задачи часто возникают в процессе решения более сложных задач при разделениипеременных. Наличие для одномерного случая удобных свойств и интересных теорем окончательно убеждает в необходимости посвятить одномериюотдельную главу.На протяжении этой главы мы будем исследовать гамильтониан длячастицы в потенциале U (x), который может быть записан так:Ĥ =p̂2+ U (x̂),2mĤ = −h̄2 ∂ 2+ U (x).2m ∂x2(6.1)6.1. Структура спектра6.1.1. Откуда берётся спектр?Соответствующее гамильтониану (6.1) стационарное уравнение Шрёдингера имеет вид2h̄− 2mψ (x)+U (x) ψ(x) = E ψ ⇔ ψ (x)+ 2m(E −U (x)) ψ(x) = 0. (6.2)h̄21 Одномерное движение — не самый простой случай.

Пространство состояний для такойсистемы L2 (R) бесконечномерно и изоморфно любому другому бесконечномерному сепарабельному гильбертову пространству. Самое маленькое пространство состояний квантовойсистемы — C2 соответствует спину 12 , или любой другой двухуровневой системе.164ГЛАВА 6Задача нахождения спектра этого уравнения в математике называется задачей Штурма – Лиувилля. Она была заранее2 исследована Жозефом Лиувиллем и Шарлем Штурмом ещё в XIX веке (1837–1841 гг.).Потенциал U (x) мы будем считать непрерывным или кусочно-непрерывным.При каждом значении E это линейноедифференциальное уравнение второго порядкаимеет два линейно независимых решения. Однако физический смысл стационарных состояний имеют только те решения, которые можноотнормировать на 1 (дискретный спектр), либона δ-функцию (непрерывный спектр).Таким образом, мы обнаруживаем, чтопри данном конкретном значении E из двуРис.

6.1. Шарль Франсуа мерного пространства решений физическийШтурм (1803–1855). Wсмысл имеет только некоторое подпространства размерности 2, 1, или 0 (в последнем случае нетривиальных решений нет совсем).Обычно условие нормируемости (на δ-функцию или на 1) можно заменить условием ограниченности.6.1.2. Вещественность собственных функцийПоскольку функция U (x) вещественна, для всякого решения ψ(x) дифференциального уравнения (6.2) (как и аналогичного уравнения в пространстве любой размерности!) функцииψ(x) − ψ ∗ (x)ψ(x) + ψ ∗ (x)ψ ∗ (x), Re ψ(x) =, Im ψ(x) =22iтакже являются решениями.

Причём из ограниченности, или нормируемости ψ(x) следует ограниченность или нормируемость для тех функций изнабора ψ ∗ , Re ψ и Im ψ, которые не равны тождественно нулю. Благодаряэтому при исследовании спектра мы можем ограничиться вещественнымирешениями.6.1.3. Структура спектра и асимптотика потенциалаПусть потенциал U (x) имеет пределы на обоих бесконечностях:U− = lim U (x),x→−∞2 Заранее,с точки зрения квантовой теории.U+ = lim U (x).x→+∞6.1. С ТРУКТУРАСПЕКТРА165Также нам может понадобиться значение потенциала в нижней и верхнейточках:U0 = min U (x),U1 = max U (x).x∈Rx∈RПусть, для определёности, U− U+ , тогда эти четыре точки расположенына шкале энергий в следующем порядке:U0 U− U+ U1 .При x → ±∞ уравнение Шрёдингера стремится к видуψ (x) +2m(Eh̄2− U± ) ψ(x) = 0.(6.3)Его решение задаётся волнами де Бройля при E > U± , или вещественными экспонентами при E < U± :112m(E − U± ) ;e±κx , κ =2m(U± − E).e±ikx , k =h̄h̄Обе волны де Бройля ограничены, хотя и квадратично не интегрируемы.Это означает, что при E > U− мы не сможем отнормировать волновуюфункцию на 1, а значит в этом диапазоне не может быть состояний дискретного спектра.При E > U+ асимптотики на обоих бесконечностях всегда ограничены, с какими бы коэффициентами мы не комбинировали волны де Бройля.Это означает, что в этом диапазоне энергий все значения E принадлежатк непрерывному спектру и являются двухкратно вырожденными.При U+ > E > U− на +∞ мы вместо волн де Бройля получаем вещественные экспоненты.

Из этих двух асимптотик только одна e−κx ограничена, а другая e+κx неограниченно возрастает. Таким образом на асимптотикуна +∞ψ(x) ∼ c− e−κx + c+ e+κx , x → +∞,накладывается одно условие: c+ = 0. Это условие выделяет из двумерного пространства решений уравнения (6.2) одномерное подпространство.На −∞ по прежнему любое решение ограничено, но не квадратично интегрируемо. Таким образом, в диапазоне U+ E > U− все значения энергиипринадлежат к непрерывному невырожденному спектру3 .3 Если E = U , то мы также имеем два линейно независимых решения: ψ(x) ∼ c + c x.±12Условие ограниченности на +∞ или −∞ требует c2 = 0, т.

е. число условий ограниченностипри E = U± и при E < U± одинаково, но разрешённая асимптотика ψ ∼ c1 даёт ненормируемую функцию. Точка E = U− может принадлежать или не принадлежать непрерывномуспектру, но дискретному спектру она принадлежать точно не может. Таким образом, посколькуконечную вероятность может дать только точка дискретного спектра (отдельная точка можетдать вклад в сумму, но не в интеграл), граничные точки E = U± для физики не важны.166ГЛАВА 6Рис. 6.2.

Структура спектра в одномерном случае.При E < U− мы имеем на обоих бесконечностях экспоненциальныеасимптотики:ψ(x) ∼ c− e−κx + c+ e+κx , x → +∞;ψ(x) ∼ d− e−κx + d+ e+κx , x → −∞.Условие ограниченности теперь даёт два граничных условия:c+ = 0,d− = 0.Если эти два условия линейно независимы, то в двумерном пространстверешений уравнения (6.2) не остаётся ненулевых ограниченных решений.Если эти два условия окажутся линейно зависимыми, то останется однолинейно независимое ограниченное решение.