М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику (1156773), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Влияние измерения на состояние системы носит существенно неклассический характер, с чем связан ряд интересных эффектов и парадоксов, которые мы также обсудим ниже.Процедура измерения не выводится из уравнений, описывающих поведение изолированных систем.5.3.1. Проекционный постулатОбсуждая вероятностный смысл волновой функции, мы уже затрагивали процедуру измерения (см. 3.1.4 «Распределение вероятностей и волновые функции при измерении», 3.1.5 «Амплитуда при измерении и скалярное произведение», 4.5.1 «Нормировка волновых функций на единицу»).Как мы уже знаем, в результате измерения, дающего ответ «да», волновая функция ψдо проецируется с помощью ортогонального проектора†= P̂да P̂даP̂да = P̂дана некоторое подпространство Hда пространства H. Нормированная на вероятность волновая функция (матрица плотности*) сразу после измеренияимеет вид:|ψда = P̂да |ψдо ∈ Hда .∗ρ̂да = P̂да ρ̂до P̂да ∈ Hда ⊗ Hда,ρ̂до ∈ H ⊗ H∗ .[∗]При этом вероятность того, что измерение даст ответ «да», выражаетсяследующими способами:pда = P̂да = ψдо |P̂да |ψдо = ψда |ψдо = ψда |ψда .2pда = P̂да = tr(ρ̂до P̂да ) = tr(ρ̂до P̂да) = tr(P̂да ρ̂до P̂да ) = tr(ρ̂да ).[∗]5.3.
И ЗМЕРЕНИЕ155Процесс измерения в стандартной квантовой механике считаетсямгновенным, а результат измерения абсолютно непредсказуемым (можноопределить лишь вероятности).Если задан проектор P̂да , то можно определить проекторP̂нет = 1̂ − P̂да ,описывающий неполучение ответа «да» (получение ответа «нет»). Подпространство Hнет состоит из векторов, ортогональных всем векторам из Hда .Любой вектор из H однозначно разлагается по этим подпространствам:|ψ = 1̂|ψ = (P̂да + P̂нет )|ψ = P̂да |ψ + P̂нет |ψ = |ψда + |ψнет .Свойства проектора P̂нет и его использования полностью аналогичны свойствам P̂да .
Во всех рассуждениях мы можем сделать замену «да»↔«нет».В следующих подразделах мы рассматриваем вопрос о построениипроекторов для различных вопросов/измерений и их свойствах.Невырожденный дискретный спектрПусть мы измеряем физическую величину, описываемую эрмитовымоператором Â с дискретным невырожденным спектром. Т. е.Â|ϕk = αk |ϕk ,αk = αk , k = k ,причём k — дискретный параметр.Набор ϕk образует ортогональный базис, элементы которого можнонормировать на единицу, т. е.ϕk |ϕk = δkk ,|ϕk ϕk | = 1̂.(5.33)(5.34)kМы можем описать измерение, определяющее значение физической величины Â, т.
е. определяющее в каком из состояний ϕk находится система,следующим образом:• P̂k = |ϕk ϕk | — проектор на состояние ϕk ;• проекторы описывают взаимоисключающие исходы, поскольку (из-заортогональности состояний ϕk ) P̂k P̂k = P̂k δkk ;• pk = ψ|P̂k |ψ = ψ|ϕk ϕk |ψ — вероятность того, что в результатеизмерения система будет найдена в состоянии ϕk и, соответственно,попадёт в это состояние (см. (4.29));156ГЛАВА 5• эрмитов оператор P̂k можно трактовать как наблюдаемую, отвечающую на вопрос «равна ли величина Â значению αk (да=1, нет=0)?»,или «какова вероятность того, что Â равняется αk ?»9 ;• 1̂ = k P̂k — представление единичного оператора в виде суммы проекторов;• используя предыдущий пункт, мы можем разложить исходную волновую функцию ψ по базису состояний ϕk :|ϕk ϕk |ψ =ϕk |ψ |ϕk ;P̂k |ψ =|ψ = 1̂|ψ = kkчислоk• коэффициенты разложения ψ по ϕk равны ϕk |ψ и задают соответствующие амплитуды вероятностей, как и положено компонентам волновой функции;• под действием проектора P̂k исходное состояние ψ превращаетсяв нормированное на вероятность состояния φk из раздела 4.5.2:P̂k |ψ = |ϕk ϕk |ψ = ϕk |ψ |ϕk = |φk ; число• оператор наблюдаемой может быть представлен в виде Â = k αk P̂k .Вырожденный дискретный спектрСлучай вырожденного дискретного спектра отличается от невырожденного тем, что некоторым собственным числам соответствует нескольколинейно независимых собственных функций, т.
е.Â|ϕkc = αk |ϕkc ,αk = αk при k = k .Дискретный параметр c = 1, . . . , nk нумерует собственные функции, отвечающие данному собственному числу αk .Мы снова можем выбрать набор ϕkc так, чтобы он задавал ортонормированный базис, т. е.ϕkc |ϕk c = δkk δcc ,|ϕkc ϕkc | = 1̂.k(5.35)(5.36)c9 Вероятность задаётся как среднее от оператора P̂ , а измерение наблюдаемой P̂ всегдаkkдаёт 0 или 1, поскольку только эти числа являются собственными, и только такие значениявероятности мы можем измерить в единичном опыте: вероятность после измерения всегдаравна либо 1 (событие произошло), либо 0 (событие не произошло).5.3. И ЗМЕРЕНИЕ157В правилах из списка в разделе «Невырожденный дискретный спектр»следует заменить только первый пункт.Рассмотрение измерения для случая дискретного вырожденного спектра отличается только определением набора проекторов на собственные подпространства оператора Â, отвечающих выбранным k:P̂k =|ϕkc ϕkc |,tr P̂k = nk .cТеперь проектор P̂k отображает волновые функции на подпространствоkразмерности nk , натянутое на векторы из набора {|ϕkc }nc=1.Параметр c ∈ Uk может быть и непрерывным, в этом случае изменяется условие нормировки состояний, поскольку суммы по c заменяютсяинтегралами:ϕkc |ϕk c = δkk δ(c − c ),|ϕkc ϕkc |dc = 1̂,k Uk(5.37)(5.38)|ϕkc ϕkc |dc.P̂k =(5.39)UkНепрерывный спектрСобственные состояния непрерывного спектра нормируются уже не наδ-символ, а на δ-функцию.
В случае невырожденного спектра мы имеем:Â|ϕα = α|ϕα ,ϕα |ϕβ = δ(α − β),|ϕα ϕα | dα = 1̂.Функции |ϕα как всякие функции непрерывного спектра не являютсяволновыми функциями из пространства H.1010 Собственные состояния непрерывного спектра не попадают в пространство состояний|ϕα ∈ H, но попадают в оснащённое гильбертово пространство |ϕα ∈ D (4.37). То естьдля почти всех состояний (|ψ ∈ D, D плотно в H) определено скалярное произведениеϕα |ψ.
А также наоборот: скалярное произведение ψ(α) = ϕα |ψ определено для всех158ГЛАВА 5Мы можем формально написать оператор p̂α = |ϕα ϕα |, но этотоператор отображает почти все элементы H на векторы, пропорциональные |ϕα , т. е. не попадающие в H. Однако среднее от оператора p̂α задаёт плотность вероятности обнаружения значения наблюдаемой Â, близкого к α:(α) = ψ|p̂α |ψ.Функция (α) определена почти при всех значения α, однако непосредственный физический смысл имеет не она, а интегралы от неё:⎛ b⎞bP[a,b] = (α) dα = ψ| ⎝ |ϕα ϕα | dα⎠ |ψ = ψ|P̂[a,b] |ψ.aaИнтеграл от «нехорошего» оператора p̂α уже является «хорошим» оператором-проектором (см. раздел 3.1.4 «Распределения вероятностей и волновыефункции при измерении»):bP̂[a,b] =b|ϕα ϕα | dα.p̂α dα =aaКогда проектор P̂[a,b] действует на волновую функцию, представленнуюв как функция α, то из волновой функции «вырезается кусок» [a, b], а внеэтого отрезка волновая функция обнуляется (3.9) (проверьте, используяψ(α) = ϕα |ψ).Удобно определить проекторнозначную функцию P̂ (a) = P̂(−∞,a] .
С еёпомощью мы можем определить проекторы, отвечающие отрезкам:P̂(a,b] = P̂ (b) − P̂ (a).Такая функция хороша тем, что при всех значениях аргумента мы имеем«хорошие» (и даже ограниченные) эрмитовы операторы и можем, используяих, не задумываться о сложностях работы с непрерывным спектром.Как и в случае дискретного спектра, мы можем определить исходныйоператор Â через собственные числа и проекторы, но теперь вместо суммы|ψ ∈ H и почти всех α.
Это скалярное произведение задаёт функцию ψ(α), которая представляет разложение вектора |ψ по базису |ϕα . Функция α → ψ(α) квадратично интегрируема(принадлежит L2 (R)), а функции пространства L2 (R) определены с точностью до множестваточек лебеговой меры ноль.5.3. И ЗМЕРЕНИЕ159надо писать интеграл:Â =α |ϕα ϕα | dα.(5.40)Проекторнозначная мера**Последний интеграл (5.40) не совсем обычен, поскольку является пределом интегральных сумм, в которых вместо длин отрезков служат проекторы:αk+1αk|ϕα ϕα | dα =αk (P̂ (αk+1 ) − P̂ (αk )).kkαkЭто напоминает используемое в теории вероятности понятие интеграла помере, но в обычном интеграле по мере используется числовая, а не проекторнозначная функция:f (x) μ(dx) = limf (xk )(M (xk+1 ) − M (xk )).δx→0kЗдесь μ(dx) = M (x + dx) − M (x) — мера.
Мера конечного полуинтервалаимеет вид μ((a, b]) = M (b)−M (a). Для гладкой монотонно-возрастающейфункции M интеграл по мере сводится к обычному интегралу:f (x) μ(dx) = f (x) M (x) dx,для гладкой функции M мера любой точки равно нулю.Однако, если монотонно-возрастающая кусочно-гладкая функция Mимеет скачки, то мера точки скачка отлична от нуля μ({a}) = M (a+) −− M (a−). Интеграл по мере теперь состоит из двух членов: обычного интеграла и взвешенной суммы по точкам скачков xkf (x) μ(dx) = f (x) M (x) dx +f (xk ) μ({xk }).xkТакого рода интегралы нам уже встречались, когда мы рассматривали операторы, имеющие как дискретный спектр, так и непрерывный спектр.Аналогично мы можем определить проекторнозначную меру с помощью монотонно-возрастающей проекторнозначной функции P̂ (α).160ГЛАВА 5Монотонность проекторнозначной функции означает, что с ростом αрастёт подпространство, на которое проецирует проектор: P̂ (α)H ⊃⊃ P̂ (β)H, если α > β. Это свойство удобно записать так:P̂ (α)P̂ (β) = P̂ (β)P̂ (α) = P̂ (min(α, β)).Как и функция M , функция P̂ может испытывать скачки в точках, отвечающих дискретному спектру:P̂ ({αk }) = P̂ (αk +) − P̂ (αk −) = 0.Интеграл по проекторнозначной мере позволяет представить эрмитов оператор в виде интеграла, который сводится и интегралу по непрерывномуспектру и сумме по дискретному:Â = α(k) P̂A (dk) =α |ϕα ϕα | dα +α |ϕα ϕα |.α∈Uα∈WПроекторнозначная мера P̂A (индекс A показывает, с каким эрмитовымоператором эта мера связана) позволяет рассматривать единым образомдискретный и непрерывный спектры.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
