М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику (1156773), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Смысла это утверждение не имеет практически никакого, т. к. перенумерацией цветов мы можем сделать «средним» любой цвет из трёх.Конечно, мы можем попытаться как-то «обнаучить» нумерацию котови приписать каждой масти физически осмысленное число, например, альбедо (коэффициент отражения) кошачьей шерсти, но такое «обнаучивание»имеет смысл отнюдь не всегда.Поэтому, вместо того, чтобы нумеровать кошачьи расцветки, можночестно признать, что некоторые наблюдаемые величины естественно описывать не числами из R, а элементами какого-либо другого множества. Наэтом множестве операции умножения на вещественное число, операцииумножения элементов множества друг на друга, операция взятия среднего и операция взятия скобки Пуассона могут быть не определены, и в этойнеопределённости нет ничего страшного.Для предсказания результата измерения нам на самом деле нужнатолько одна операция — операция вычисления вероятности того или иногоисхода измерения в данном состоянии.В классическом случае такая наблюдаемая по-прежнему задаётсяфункцией F (Q, P ), но значения функции F уже не обязаны быть вещественными, а могут принадлежать произвольному множеству V :F : (Q, P ) → F (Q, P ) ∈ V.Ни одна из операция необходимых для алгебры наблюдаемых, не являетсяпри этом обязательной.В квантовом случае нам достаточно задать разбиение пространства наортогональные подпространства для дискретного спектра (или проекторнозначную меру для непрерывного спектра):{P̂α }α∈V ,P̂α = 1̂, P̂α† = P̂α , P̂α P̂β = δαβ P̂α .αЭтого достаточно, чтобы определить вероятность любого исхода измерения α:pα = ψ|P̂α |ψ.Умножать волновую функцию на элемент множества V ⊂ C мы не можем,так что такой наблюдаемой нельзя сопоставить оператор.
Соответственно,нельзя вычислить и среднее значение.Понятно, что мы можем вручную перенумеровать элементы V вещественными числами и всё-таки определить оператор наблюдаемой величи-4.9. Н АБЛЮДАЕМЫЕ *125ны, но после этого не следует удивляться тому, что получившийся искусственный оператор ведёт себя неестественным образом.Приведём пример такого неестественного оператора.Угол поворота вокруг какой-либо оси мы можем задавать вещественным числом. При этом сложение таких углов, умножение их на вещественные числа и усреднение будет иметь хороший геометрический смысл. Однако угловая координата (для определённости возьмём угол ϕ в цилиндрических координатах) такого хорошего смысла уже не имеет. Нулевое значение угловой координаты, в отличие от нулевого значения угла поворота,никак не выделено, это лишает смысла операции сложения угловых координат, их умножения на число и усреднения.
Операция вычитания угловыхкоординат, тем не менее, имеет смысл. Чтобы увидеть это, достаточно повернуть систему координат вокруг оси z на некоторый угол δϕ, при этомпреобразовании исходные величины и результаты «нехороших» действийпреобразуются по разным законом:ϕ1 → ϕ1 + δϕ,ϕ1 → ϕ1 + δϕ − 2π,ϕ2 → ϕ2 + δϕ,ϕ2 → ϕ2 + δϕ − 2π,ϕ1 + δϕ < 2π,ϕ1 + δϕ 2π,ϕ2 + δϕ < 2π,ϕ2 + δϕ 2π,(ϕ1 + ϕ2 ) → (ϕ1 + ϕ2 ) + 2δϕ,(ϕ1 + ϕ2 ) + 2δϕ < 2π,(ϕ1 + ϕ2 ) → (ϕ1 + ϕ2 ) + 2δϕ − 2π,4π > (ϕ1 + ϕ2 ) + 2δϕ 2π,(ϕ1 + ϕ2 ) → (ϕ1 + ϕ2 ) + 2δϕ − 4π,6π > (ϕ1 + ϕ2 ) + 2δϕ 4π,(ϕ1 + ϕ2 ) → (ϕ1 + ϕ2 ) + 2δϕ − 6π,(ϕ1 + ϕ2 ) + 2δϕ 6π.Одно из следствий этого — невозможность (в общем случае) определения «среднего направления» путём усреднения оператора угловой координаты.А так ли нам нужны операции алгебры наблюдаемых, если мы можемсчитать вероятности и без их помощи? На самом деле нам нужна скобкаПуассона, чтобы записать уравнения временной эволюции. (Здесь мы забегаем вперёд, обращаясь к материалу раздела 5.2 «Разные представлениявременной (унитарной) эволюции квантовой системы».)Если мы описываем временную эволюцию через состояния (представление Лиувилля в классике или представление Шрёдингера в квантовомслучае), то мы должны иметь возможность подставить в скобку Пуассона:126ГЛАВА 4• состояние (распределение вероятностей в классике или матрицу плотности в квантовом случае);• гамильтониан (функцию Гамильтона в классике или оператор Гамильтона в квантовом случае).Если мы описываем временную эволюцию через наблюдаемые (представление Гамильтона в классике или представление Гайзенберга в квантовом случае), то мы должны иметь возможность подставить в скобку Пуассона:• наблюдаемую;• гамильтониан (функцию Гамильтона в классике или оператор Гамильтона в квантовом случае).Впрочем, если мы задали наблюдаемую величину не оператором, а набором проекторов {P̂α }α∈V и соответствующих им разрешённых значений αиз произвольного множества V , то мы можем с помощью скобки Пуассона записать уравнение эволюции не для оператора наблюдаемой (которыйпопросту отсутствует), а для проекторов P̂α (хороших эрмитовых операторов).Единственная наблюдаемая, вещественность (эрмитовость) которойдля нас принципиально важна, — гамильтониан.4.10.
Операторы координаты и импульсаОператоры координаты и импульса, на самом деле, уже были намиопределены, т. к. мы уже задали для них наборы собственных чисел и базисы собственных функций. Здесь мы рассмотрим одномерный случай, когдапространство состояний в координатном представлении задаётся как L2 (R).В координатном представлении (в базисе собственных функций оператора координаты) базисные функции самого координатного базиса имеютвид, обычный для непрерывного спектра:φx0 (x) = φx |φx0 = δ(x − x0 ).В том же координатном представлении базис собственных функций оператора импульса задаётся волнами де Бройля:φp0 (x) = φx |φp0 =√12πh̄ie h̄ p0 x .В импульсном представлении (в базисе волн де Бройля)φp0 (p) = φp |φp0 = δ(p − p0 ).4.10.
О ПЕРАТОРЫКООРДИНАТЫ И ИМПУЛЬСА127В том же импульсном представлении базис собственных функций оператора координаты задаётся комплексным сопряжением волн де Бройля:φx0 (p) = φp |φx0 = φx0 |φp ∗ =√12πh̄e− h̄ px0 .iТаким образом, как уже упоминалось ранее, координатное и импульсное представление связаны друг с другом преобразованием Фурье (см. раздел 4.6.3).В своём представлении каждый оператор действует умножением на аргумент волновой функции (см.
4.7.3 «Базис собственных состояний»). Операторы импульса в координатном и координаты в импульсном представлении задаются как дифференциальные операторы. (Проверьте, что приведённые выше базисные состояния являются собственными для этих операторов!)∂x̂ ψ(x) = x ψ(x),p̂ ψ(x) = −ih̄ ∂xψ(x);∂p̂ ψ(p) = p ψ(p),x̂ ψ(p) = +ih̄ ∂pψ(p).Коммутатор операторов p̂ и x̂ вне зависимости от представления имеет вид:[x̂, p̂] = ih̄.(4.65)Именно уравнение (4.65) можно считать «настоящим» определениемкоординаты и импульса.(**) Строго говоря, область определения коммутатора [x̂, p̂] состоитиз функций, которые остаются квадратично интегрируемыми после взятияпроизводной и умножения на x. Множество таких функций плотно в L2 (R).Тем не менее, в некоторых случаях область определения коммутатора [x̂, p̂]оказывается важной.
Если мы будем рассматривать волновые функции периодичные с периодом a, то в область определения коммутатора попадуттолько функции, для которых ψ(0) = ψ(a) = 0. И хотя такие функции такжеплотны в пространстве L2 ([0, a]), собственные функции оператора импульса (при таких граничных условиях спектр импульса дискретен) в областьопределения коммутатора уже не попадают.Задача о неправильном коммутатореМногие студенты поначалу считают коммутатор координаты и импульса так:∂[x̂, p̂] = x̂p̂ − p̂x̂ = x(−ih̄ ∂x) + ih̄∂∂∂x x = −ih̄x ∂x + ih̄. 1лишний членНайдите ошибку и не делайте такую ошибку сами.128ГЛАВА 44.11. Вариационный принципСреднее значение энергии в состоянии |ψ может быть записано каксреднее взвешенное от стационарных уровней энергии.
Это позволяет заключить, что минимальное среднее значение энергии не может быть меньше,чем энергия основного состояния (состояние с минимальной возможнойэнергией):ψ|Ĥ|ψE0 = min.(4.66)ψ=0 ψ|ψАналогичные методы могут применяться и к другим эрмитовым операторам, но для того, чтобы минимум (максимум) достигался, необходимо,чтобы спектр был ограничен снизу (сверху).4.11.1. Вариационный принцип и уравнения Шрёдингера**Мы можем написать (4.66) как условный минимум (но достижим онбудет, только если основное состояние принадлежит дискретному спектру)E0 = min ψ|Ĥ|ψψ|ψ=1и искать условный минимум методом лагранжевых множителейE0 = min ψ|Ĥ|ψ + E(1 − ψ|ψ) .ψ=0E[ψ|,|ψ]То есть у нас есть функционалE[ψ|, |ψ] = ψ|Ĥ|ψ + E(1 − ψ|ψ),если ψ(x) — комплексная функция, илиE1 [ψ] = (ψ|Ĥ|ψ) + E(1 − (ψ|ψ)),если ψ(x) — вещественная функция, а скобки обозначают вещественноескалярное произведение.Варьируя функционал по ψ|, |ψ и по E, получаем δE = δψ| Ĥ|ψ − E|ψ + ψ|Ĥ − ψ|E |δψ + δE (1 − ψ|ψ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
