М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику (1156773), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Базис собственных состоянийПодобно эрмитовой (унитарной) матрице эрмитов (унитарный) оператор  можно диагонализовать: подобрать базис собственных состояний4.7. О ПЕРАТОРЫ107|φxy (x — собственное число, y нумерует векторы с одинаковыми собственными числами):⎞⎛⎞⎛ ⎜⎟|ψ = ⎝+ dx⎠⎝+dy ⎠ ψ(x, y)|φxy , Â|φxy = x|φxy .x∈WUy∈Wy (x)Uy (x)(4.45)В таком представлении действие оператора можно представить какÂψ(x, y) = x ψ(x, y).(4.46)Таком образом, зная спектр (набор собственных чисел) эрмитового(унитарного) оператора и базис собственных состояний этого оператора,можно описать действие этого оператора на произвольное состояние.(*) Матричные элементы оператора в базисе собственных состоянийописываются дельта-символом (для дискретного спектра W ) и/или дельтафункций (для непрерывного спектра U )∀n, m ∈ W, x, y ∈ U : Anm = an δnm , Axy = ax δ(x−y), Any = Axm = 0.Здесь an и ax — собственные числа оператора  из дискретного спектра(n ∈ W ) и непрерывного спектра (x ∈ U ).
В формуле (4.46) ax = x.(**) Условия Axy = 0 при x = y недостаточно (в непрерывном спектре), для диагональности оператора. Например для оператора производнойпо координате в координатном базисе ядро имеет вид ∂= δ (x − y),∂x xyчто проверяется следующими выкладкамиψ (x) = δ(y − x) ψ (y) dy = − δy (y − x) ψ(y) dy = δx (x − y) ψ(y) dy.δ (x − y) = 0 при x = y, тем не менее, координатный базис не является∂базисом собственных функций для оператора ∂x, а потому в подавляющембольшинстве книг такое представление оператора не считается диагональным.Условие Axy = 0 при x = y в непрерывном спектре можно назватьусловием локальности представления оператора в данном базисе.108ГЛАВА 44.7.4. Векторы и их компоненты**Внимательный читатель может обратить внимание на некоторую двусмысленность введённых нами обозначений. Если, например, мы пишемразложение вектора по базису собственных состояний|ψ =ψ(k)|φk , Â|φk = k|φk ,kÂ|ψ =ψ(k)|φk ,kто ψ(k) задаёт компоненту номер k вектора |ψ.А если мы пишемÂψ(k) = k ψ(k),то тогда ψ(k) задаёт уже не компоненту вектора, а весь вектор, заданныйкак функция переменной, обозначенной буквой k.Формально последнюю формулу было бы более правильно записатьтак:вектор ( ψ )(k) = k ψ(k),векторкомпонентано обычно мы не будем столь педантичны.Как правило, определить, что именно обозначает ψ(k) или другое подобное, обозначение можно исходя из контекста.
В частности, если по переменной k берётся сумма или интеграл, то имеется в виду заведомо компонента вектора.Впрочем, подобная путаница между обозначением функции и её значения в некоторой точке — обычное дело в разных областях физики и математики.4.7.5. Среднее от оператораДиагональные матричные элементы от эрмитовых операторов играютособую роль: они задают средние значения соответствующих наблюдаемых(т.
е. наблюдаемых величин) по выбранному состоянию:Âψ = ψн |Â|ψн =ψ|Â|ψ,ψ|ψ|ψ|ψн = .ψ|ψ(4.47)4.7. О ПЕРАТОРЫ109Это соотношение легко выводится, если записать вектор |ψн в базисесобственных функций оператора Â (далее для простоты формулы пишутсядля невырожденного спектра — на каждое собственное число приходитсяровно один базисный вектор). С учётом того, что состояния дискретногоспектра нормированы на δ-символ, а состояния непрерывного спектра — наδ-функциюφk |φl = δkl ,k, l ∈ W, φx |φy = δ(x − y),φk |φx = 0, x ∈ U, k ∈ W,x, y ∈ U,получаем среднее от x ∈ U ∪ W с весом (вероятностью для дискретногоспектра и плотностью вероятности для непрерывного) |ψ(x)|2 :⎛⎞ + dx⎠ x · |ψ(x)|2 .ψн |Â|ψн = ⎝x∈WU4.7.6. Разложение оператора по базисуЕсли у нас есть базис в пространстве состояний, то мы можем ввестибазис в пространстве операторов H × H∗ , состоящий из операторов вида|φx φy |.Произведение кет-вектора на бра-вектор следует понимать в смысле (4.16),(4.17).Теперь матричный элемент оператора оказывается коэффициентом разложения оператора по базису.
Для базиса, содержащего только векторынепрерывного спектра, можно записать: =|φx Axy φy | dx dy.x,y∈UЕсли базис содержит и непрерывный и дискретный спектры, то получаетсяболее громоздкая формула =|φx Axy φy | dx dy +|φx Axy φy | +x,y∈Wx,y∈U+x∈U y∈W|φx Axy φy | dx + x∈W y∈U|φx Axy φy | dy,110ГЛАВА 4которую можно написать более коротко следующим образом:⎛ = ⎝x∈W+⎞⎛dx⎠ ⎝dy ⎠ |φx Axy φy |.+y∈Wx∈U⎞(4.48)y∈UРазложение единичного оператора по произвольному ортонормированномубазису можно записать так:⎛1̂ = ⎝x∈W+⎞dx⎠ |φx φx |.(4.49)x∈U4.7.7. Области определения операторов в бесконечномерии*Сколь велико различие между конечномерными и бесконечномерными пространствами и матрицами/операторами, действующими на них? Напервый взгляд различие сводится к замене диапазона, который пробегает индекс при суммировании.
Если диапазон изменения индекса содержитнепрерывные куски, то по этим кускам вместо суммирования надо интегрировать. И это всё? Нет, не всё! Когда мы считаем скалярное произведение или скалярный квадрат, то сумма конечного числа членов определенавсегда. При вычислении бесконечной суммы (ряда) или интеграла выражение может оказаться расходящимся.
Конечно, мы оставляем в гильбертовом пространстве H только такие векторы, квадрат которых определён.Это гарантирует что скалярное произведение определено для любой парывекторов:φ|ψ =1ψ + φ2 − ψ − φ2 + iψ + iφ2 − iψ − iφ2 .4Такое определение скалярного произведения через норму называют процедурой поляризации14 .14 Чтобы процедура поляризации определяла скалярное произведение через норму, надо,чтобы норма удовлетворяла правилу параллелограммаψ + φ2 + ψ − φ2 = 2ψ2 + 2φ2 .В этой формуле легко узнать геометрическое тождество для обычной двумерной плоскости,натянутой на векторы ψ и φ.4.7. О ПЕРАТОРЫ111Однако действие некоторых операторов может выводить некоторыевекторы из гильбертова пространства.
Например, возможно, что функцияквадратично интегрируемаψ2 = ψ|ψ = |ψ(x)|2 dx < ∞, ⇒ ψ ∈ H,Rно под действием оператора x̂ (после умножения на x) интеграл уже расходится2x̂ψ = x̂ψ|x̂ψ = x2 |ψ(x)|2 dx → ∞, ⇒ x̂ψ ∈ H.RВ этом случае результат действия оператора на вектор x̂|ψ не определёнв пространстве H.
Таким образом, оказывается, что область определенияи область значения какого-либо оператора могут не совпадать с пространством чистых состояний H. Мы иногда можем формально записать компоненты такого неопределённого вектора, но такой квадратично неинтегрируемый вектор не только не попадает в пространство H, но и не имеетфизического смысла.Часто ли такое случается с физически осмысленными операторами?Очень часто. Всегда, когда спектр оператора не ограничен, т. е. существуютсобственные числа сколь угодно большие по абсолютной величине, некоторые состояния из H не попадают в его область определения, но при этомобласть определения может быть плотна в пространстве H.
К числу неограниченных с плотной в H областью определения относятся операторы импульса, координаты (в бесконечном пространстве), энергии и др.15Впрочем, когда подобные неограниченные эрмитовы операторы Âс плотной областью определения используются как генераторы, для построения соответствующих унитарных операторов eiα (α ∈ R), унитарныеоператоры оказываются определены всюду.
Благодаря ограниченности собственных чисел (|u| ≡ 1) для всех унитарных операторов область определения совпадает с областью значений и совпадает со всем пространством H.Когда при определении неограниченного эрмитового оператора мы пишем  = † , то это означает также совпадение всюду плотных областей15 Вобщем случае ограниченным называется оператор Â, для которого конечна нормаA = supψÂψψ< ∞.112ГЛАВА 4определения для операторов  и † .
Именно для таких операторов доказывается теорема о диагонализации (полноте базиса собственных функций).Так что если мы доказали, что некоторый оператор является симметричным, т. е. чтоφ|Âψ = Âφ|ψдля всякой пары φ, ψ, для которой определена левая часть равенства, то этоещё не эрмитовость.(*) Требование совпадения областей определения  и † можно рассматривать по аналогии с конечномерным пространством как требование квадратности матрицы.
Эрмитову матрицу мы можем диагонализовать, а для этого она должна быть квадратной. В конечномерном случаеусловие квадратности матрицы  означает, что области определения длянеё и сопряжённой матрицы † совпадают. Аналогично мы требуем совпадения областей определения операторов  и † в бесконечномерномслучае.Часто, когда говорят об эрмитовости какого-либо оператора, на самомделе имеют в виду эрмитовость другого оператора, который получается изисходного доопределением (продолжением) на большую область определения.Например, оператор импульса на прямой можно определить как эр∂митов оператор, продолжив оператор −ih̄ ∂x. Оператор импульса на полупрямой является симметричным для функций, обращающихся в ноль награнице, но он не может быть продолжен до эрмитового оператора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
