М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику (1156773), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Однако обычнопространства состояния в разные моменты времени связывают друг с другом с помощью унитарных отображений, мы же в данном разделе воспользуемся тем, что бесконечномерное пространство всегда может быть отображено один к одному на некоторое своё подпространство.Зафиксируем некоторый начальный момент времени t = 0 и будем считать, что при t = 0 все векторы пространства состояний H имеют физический смысл.
В момент времени t физический смысл имеют только векторы,которые получаются из векторов в начальный момент времени с помощьюоператора эволюции Ût , т. е. принадлежат к подпространствуHt = Ût H0 ⊂ H0 = H.Однако такие подпространства в разные моменты времени изоморфныHt H0 , т. е. между ними можно установить взаимно-однозначное соответствиеÂt Ht = H.С помощью оператора Ât мы можем переписать нашу неунитарную эволюцию в эквивалентной унитарной форме, отбросив все нефизические состояния. Новый оператор эволюции Ũt уже унитаренŨt = Ât Ût .Ясно, что мы можем, используя этот приём, не только сделать из любого изометричного оператора эволюции унитарный, но и из любого унитарного оператора изометричный, добавив в пространства состояний в разныемоменты времени некоторое количество «нефизических» измерений.Таким образом, мы можем рассматривать условие обратимости квантовой эволюции как чисто техническое условие, оставив вместо него болееслабое и более физичное условие изометричности (сохранения вероятности).
При рассмотрении эволюции замкнутой системы новый подход не позволяет получить каких-либо новых результатов, однако он может оказатьсяполезен для обобщений, описывающих процессы с незамкнутыми системами (например, измерения).136ГЛАВА 55.1.4. Уравнение Шрёдингера и гамильтонианКак уже было получено (или, по существу, постулировано) в предыдущем разделе, для замкнутой автономной системы мы можем записатьψ(t + τ ) = Ûτ ψ(t).(5.7)Если время может меняться непрерывно, т. е. t ∈ R, то, предполагая непрерывность и дифференцируемость оператора эволюции по времени, мы можем продифференцировать уравнение (5.7) по τ и, устремив τ → 0, записатьddÛτ ψ(t) =ψ(t).(5.8)dtdτ τ =0Полученное уравнение (5.8) и есть уравнение Шрёдингера (или временно́еÛτ принято запиуравнение Шрёдингера).
Входящий в него оператор ddττ =0Ĥ.сывать как ih̄ОператорdÛτ Ĥ = ih̄dτ (5.9)τ =0называется оператором Гамильтона, или гамильтонианом3 .Можно провести следующую аналогию с обычными поворотами:• Ûτ — матрица поворота пространства состояний.Ĥ• ih̄— матрица угловой скорости.Мы можем легко обобщить понятие гамильтониана и на случай неавтономных систем, эволюция которых зависит от времени.
В этом случае мыполучаем оператор Гамильтона явно зависящий от времени:ψ(t + τ ) = Û (t + τ, t)ψ(t),ddÛ (t + τ, t) 1ψ(t) =ψ(t) =Ĥ(t)ψ(t),dtdτih̄τ =0dÛ (t + τ, t) .Ĥ(t) = ih̄dττ =03 Какоднажды сказал французский физик русско-еврейского происхождения Анатоль Абрагам: «Гамильтониан — армянская фамилия». Сходство усугубляется тем, что в англоязычнойлитературе слово «Hamiltonian» всегда пишется с большой буквы.5.1. К ВАНТОВАЯМЕХАНИКА ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ137Из унитарности оператора эволюции легко получить эрмитовость гамильтониана:†Ĥ †Ĥ†Û (t + dt, t) = 1̂ + dt+ o(dt) = 1̂ − dt+ o(dt),(5.10)ih̄ih̄Û † (t + dt, t) = Û −1 (t + dt, t) =−1ĤĤ+ o(dt)+ o(dt)= 1̂ − dt= 1̂ + dtih̄ih̄⇒Ĥ = Ĥ † .Мы определили гамильтониан через оператор эволюции, но можнолегко написать дифференциальное уравнение и начальное условие, для оператора эволюции, через гамильтониан:d1Û (t0 , t0 ) = 1̂.(5.11)Û (t1 , t0 ) =Ĥ(t1 )Û (t1 , t0 ),dt1ih̄Для случая автономной системы, когда гамильтониан не зависит отвремени, получаем выражение оператора эволюции через операторную экспонентуiÛ (t1 , t0 ) = Ût1 −t0 = e− h̄ Ĥ·(t1 −t0 ) .(5.12)Автономная эволюция (с не зависящим от времени гамильтонианом) —вращение пространства состояний с постоянной угловой скоростью.Похожие экспоненты неоднократно встретятся нам в дальнейшем прирассмотрении различных симметрий (см.
главу 11 «Симметрии-1 (теоремаНётер)»). Как мы увидим ниже, оператор эволюции для автономной системы можно рассматривать как оператор симметрии сдвига по времени,а гамильтониан — как генератор этой симметрии.Для многих простых систем квантовый гамильтониан может быть получен из классической функции Гамильтона (т. е. энергии, выраженнойчерез координаты и импульсы) путём «добавления шляпок», т. е.
заменой классических координат и импульсов на соответствующие операторы.Обоснование такого соответствия приводится в разделе 5.2.7 «Скобка Пуассона и коммутатор*».5.1.5. Уравнения Шрёдингера, временны́е и стационарныеВременно́е уравнение Шрёдингераdψ(t)dtописывает временну́ю эволюцию волновой функции.Ĥψ(t) = ih̄138ГЛАВА 5Стационарное уравнение Шрёдингера имеет видĤψE = EψE .Это просто уравнение на собственные функции и собственные числа дляоператора Гамильтона.Если подставить решение стационарного уравнения Шрёдингера вовременное, то получаетсяih̄dψE (t) = ĤψE (t) = EψE (t),dtiψE (t) = e− h̄ E·t ψE (0).Временная эволюция стационарного состояния сводится к вращению с уг− h̄i E·tловой скоростью ωE = E.h̄ фазового множителя eСреднее от любого оператора по стационарному состоянию не зависитот времениAt = ψE (t)|Â|ψE (t) = e− h̄ E·t ψE (0)|Â|e− h̄ E·t ψE (0) =ii= ψE (0)|e+ h̄ E·t Âe− h̄ E·t |ψE (0) = ψE (0)|Â|ψE (0) = A0 .iiЭто и даёт основание называть такие состояния стационарными.
Состояние остаётся неизменным только до тех пор, пока над ним не совершаютсяизмерения, или другие внешние возмущения4 . Если мы переопределим гамильтониан, введяĤ = Ĥ + E0 1̂,(5.13)то для нового гамильтониана Ĥ стационарные состояния останутся стационарными, но их уровни энергии сдвинутся на E0 . Так мы можем сдвинутьлюбой уровень энергии в нуль, после чего соответствующее стационарноесостояние перестанет зависеть от времени.
Такое переопределение гамильтониана не изменит средних значений и матричных элементов каких бы тони было физических величин. Это означает, что нулевой уровень энергии4 Если мы попробуем измерить в стационарном состоянии физическую величину, отвечающую какому-то оператору, чьё значение в данном состоянии не определено (другими словами, если измеряемая величина не сохраняется в данной системе), то это измерение можетс разными вероятностями дать разные значения величины, кроме того, при этом оно изменитсостояние так, что оно перестанет быть стационарным, и тогда следующее измерение той жевеличины спустя некоторое время может дать уже другое значение.5.2.
РАЗНЫЕПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВРЕМЕННОЙ ЭВОЛЮЦИИ139в квантовой механике определяется столь же произвольно, сколь и в классической5 .Из собственных функций гамильтониана, также как и любого эрмитового оператора, можно построить базис. Таким образом, любая волноваяфункция может быть разложена по стационарным состояниям. Суперпозиция стационарных состояний, отвечающих разным уровням энергии, уже неявляется стационарным состоянием и зависит от времени нетривиальнымобразом:αψ1 (t) + βψ2 (t) = αψ1 (0)e− h̄ E1 t + βψ2 (0)e− h̄ E2 t =ii= e− h̄ E1 t (αψ1 (0) + βψ2 (0)e h̄ (E1 −E2 )t ).iiСущественная часть временной эволюции (влияющая на средние и матричные элементы) зависит только от разности энергий, поскольку общийiфазовый множитель e− h̄ E1 t не несёт физического смысла (и может бытьизменён сдвигом нулевого уровня энергии).5.2.
Разные представления временной (унитарной)эволюции квантовой системыВременная (унитарная) эволюция системы в отсутствие измеренияописывается семейством унитарных преобразований Û (t1 , t0 ) (см. раздел 5.1.1). Опираясь на материал главы 11 «Симметрии-1 (теорема Нётер)»мы можем сказать, что унитарная эволюция представляет собой преобразование симметрии, порождённое оператором энергии (гамильтонианом).5.2.1.
Унитарная эволюция: активная или пассивная*Как и любое преобразование симметрии, унитарная эволюция можетбыть представлена в двух естественных интерпретациях:• как активное преобразование, т. е. преобразование, меняющее векторысостояния в некотором фиксированном базисе;• как пассивное преобразование, т. е. преобразование, меняющее базис,но оставляющее сами векторы состояния неизменными.Базисные векторы мы нумеруем собственными числами некоторых эрмитовых или унитарных операторов. Таким образом, если мы хотим, чтобы5 В релятивистской квантовой теории (квантовой теории поля), как и в классической релятивистской теории, нулевой уровень энергии уже не может задаваться произвольно, посколькупреобразования Лоренца «перемешивают» энергию с импульсом.140ГЛАВА 5базис собственных функций зависел от времени, то от времени должнызависеть операторы, с помощью которых мы определяем базис.5.2.2.
Пространство состояний в разные моменты времени*Гильбертово пространство состояний квантовой системы H в разныемоменты времени t следует считать различными пространствами состояний Ht , поскольку у нас нет естественного способа сопоставить друг другусостояния в разные моменты времени:• линейная комбинация векторов состояния в разные моменты временине имеет физического смысла;• унитарная эволюция системы является естественным кандидатом на«способ отождествления состояний в разные моменты времени», но:– унитарная эволюция зависит от выбора гамильтониана;– даже нефизические преобразования (симметрии) гамильтониана могут менять эволюцию системы, например:– переход в движущуюся систему координат не меняет физическуюэволюцию системы, но делает ранее независящее от времени состояние зависящим;– сдвиг нулевого уровня энергии также делает ранее независящееот времени состояние зависящим;– калибровочное (градиентное) преобразование электромагнитногополя, не меняя физического состояния системы, меняет её описание в данный момент времени и описание её эволюции.Таким образом, описание временной эволюции квантовой системы допускает произвол в выборе базиса в каждый момент времени.
Если мыхотим сохранить непрерывность, то произвол можно описать одним произвольным унитарным оператором, непрерывно зависящим от времени.5.2.3. Представления Шрёдингера, Гайзенберга и взаимодействияМы никогда не работаем непосредственно с векторами состояния квантовых систем: все измеримые величины выражаются через матричные элементы тех или иных линейных операторов (скалярное произведение тожеможно рассматривать как матричный элемент единичного оператора).
Еслизависимость от времени волновой функции задаётся оператором эволюции,5.2. РАЗНЫЕПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВРЕМЕННОЙ ЭВОЛЮЦИИ141то матричный элемент оператора Â(t) в момент времени t задаётся следующим образом6 :ϕ|Â|ψt = ϕ(t)|Â(t)|ψ(t) = ϕ(0)|Ût† Â(t)Ût |ψ(0).(5.14)Для нас не важна временная эволюция векторов состояния или операторовсамих по себе, но матричные элементы не должны зависеть от того, в какомпредставлении мы их вычисляем.Если динамика системы описывается как эволюция вектора состояния,а временная зависимость операторов A(t) никак не связана с динамикойсистемы, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
