М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику, страница 34

И если при конечных x небудет разрывов ψ, около которых интеграл от |ψ|2 расходится, то состояниеокажется принадлежащим к дискретному спектру. Поскольку в состоянияхдискретного спектра вероятность обнаружить частицы на больших расстояниях экспоненциально спадает с расстоянием, мы будем также называтьтакие состояния связанными.В случае общего положения условия c+ = 0, d− = 0 должны бытьлинейно независимыми, так что почти все значения E < U− не являются собственными. Есть ли среди них хотя бы одно собственное значение(разумеется дискретное)?При E U0 ограниченных собственных функций нет. Если выбратьвещественную волновую функцию (возможность этого была доказаны выше, 6.1.2 «Вещественность собственных функций»), то окажется, что ψ и ψ везде имеют одинаковый знак:ψ (x) =2mh̄2(U (x) − E) ψ(x).U0 −E06.1.

С ТРУКТУРАСПЕКТРА167Если на ψ(x → −∞) > 0 (этого всегда можно добиться умножением начисло), то при x → −∞ получаем ψ > 0, ψ > 0 (из единственной разрешённой асимптотики eκx ) и ψ > 0. При этом, если волновая функция нетерпит разрывов, то она должна монотонно возрастать на всей оси. Такимобразом, при x → +∞ мы также получаем ψ > 0 и ψ > 0. Однако этонесовместимо с асимптотикой e−κx (единственной разрешённой на +∞).В диапазоне U− > E > U0 при разных потенциалах дискретные уровни энергии могут как присутствовать, так и отсутствовать.С помощью правила Бора – Зоммерфельда (см.

ниже 13.5.4 «Квазиклассическое квантование») общее число дискретных уровней можно оценитьследующим интегралом, который также можно считать мерой глубины ямы:1N=2m(U− − U (x)) dx > 0.(6.4)πh̄U(x)<U−Таким образом, достаточно глубокая яма любой формы должна содержать дискретные уровни.Задачу определения наличия уровней в мелкой яме мы рассмотримотдельно, а пока дадим без вывода результат. При условииU1 = U+ = U− > U0(6.5)всегда существует хотя бы один дискретный уровень.Также забегая вперёд, отметим, что существование дискретного уровня в мелкой яме является особенностью одномерной задачи.6.1.4. Прямоугольная ямаРассмотрим потенциал прямоугольной потенциальной ямы ширины aи глубины V :0, |x| a2 ,U (x) =(6.6)−V, |x| < a2 .Все положительные значения энергии относятся к непрерывному спектру.Нас интересуют дискретные уровни энергии, которые могут лежать в диапазоне 0 > E > −V .Потенциал прямоугольной ямы задаётся чётной функцией U (x) == U (−x), отсюда следует, что если функция ψ(x) — решение стационарного уравнения Шрёдингера (6.2) с энергией E, то функцииψ(−x),ψ± =ψ(x) ± ψ(−x)2168ГЛАВА 6также являются решениями уравнения (6.2) с той же энергией.

Таким образом, мы сразу можем искать у уравнения (6.2) решения в виде чётных инечётных функций.Это является проявлением свойств симметрии гамильтониана, которыйпри U (x) = U (−x) коммутирует с оператором пространственной инверсииˆIˆ (Iψ(x)= ψ(−x)), т. е.

Ĥ Iˆ = IˆĤ. Для такого гамильтониана мы можемвыбрать собственные состояния так, чтобы они были также собственнымидля оператора Iˆ (см. 4.2 «Матрицы (л)»), т. е. чтобы все они были чётнымиили нечётными.Стационарные состояния, не являющиеся состояниями с определённойчётностью, возможны только в непрерывном вырожденном спектрепри E > 0. При E < 0 спектр невырожден, и каждое состояние либо чётно,либо нечётно.Рассматриваемый потенциал кусочно постоянен. В пределах каждогокуска уравнение Шрёдингера даёт решение в виде волн де Бройля (еслиE > U (x)) или вещественных экспонент (если E < U (x)).В точках разрыва потенциала нам надо поставить условия склейкиволновой функции.

Причём, поскольку одномерное уравнение Шрёдингераявляется обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка,достаточно потребовать непрерывности самой функции ψ и её первой производной:ψ( a2 + 0) = ψ( a2 − 0),ψ(− a2 + 0) = ψ(− a2 − 0),ψ ( a2 + 0) = ψ ( a2 − 0);ψ (− a2 + 0) = ψ (− a2 − 0).Впрочем, из четырёх условий сшивки можно ограничиться двумя (например, в точке a2 ), если сразу искать решения с определённой чётностью.Будем параллельно рассматривать чётный и нечётный случаи, помечаяих индексами «+» и «−» соответственно.Поскольку нас интересуют в первую очередь собственные числа, нормировочные множители выбираем так, чтобы не загромождать вычисления.Справа от ямы волновая функция может быть выбрана в видеψ± (x) = e−κ± (x−a/2) , ψ (x) = −κ± e−κ± (x−a/2) ,1a−2mE± , x .κ± =h̄2На границе ямы получаемψ± (a/2 + 0) = 1,ψ±(a/2 + 0) = −κ± .6.1.

С ТРУКТУРАСПЕКТРА169Волновую функцию слева от ямы можно восстановить из чётностии отдельно её исследовать нет необходимости:aψ± (x) = ±ψ± (−x), x − .2Внутри ямы волновая функция задаётся чётной или нечётной комбинацией волн де Бройля, т. е. косинусом или синусом:ψ+ (x) = A+ cos(k+ x), ψ− (x) = A− sin(k− x),12m(E± + V ), x ∈ [− a2 , a2 ],k± =h̄ψ+(x) = −A+ k+ sin(k+ x),ψ−(x) = A− k− cos(k− x).На границе ямы получаемψ+ ( a2 − 0) = A+ cos(k+ a2 ), aψ+ ( 2 − 0) = −A+ k+ sin(k+ a2 ),ψ− ( a2 − 0) = A− sin(k− a2 ), aψ−( 2 − 0) = A− k− cos(k− a2 ).Условия сшивкиψ± ( a2 + 0) = ψ± ( a2 − 0), a aψ±( 2 + 0) = ψ±( 2 − 0)дают две системы линейных уравнений с одним неизвестным A± длячётного и нечётного случаев:A+ cos(k+ a2 ) = 1,A− sin(k− a2 ) = 1,a−A+ k+ sin(k+ 2 ) = −κ+ ,A− k− cos(k− a2 ) = −κ− .Для собственных состояний уравнения в системе должны давать одинаковые значения A± .

Разделив второе уравнение на первое, получим условияразрешимостиk+ tg(k+ a2 ) = κ+ ;−k− ctg(k− a2 ) = κ− .Полученные трансцендентные уравнения мы исследуем графически.Сначала обезразмерим их, умножив на a2 . Введём обезразмеренное волновое число K+ = k+ a2 для чётного случая и K− = k− a2 для нечётного.Также введём обезразмеренный параметр затухания Λ± и параметр глубины ямы R:&'mV a2a a2 =2,Λ± = 2 κ± =−2mE± =−KR 2 − K±±22h̄2h̄&mV a2.R=2h̄2170ГЛАВА 6Обезразмеренные уравнения принимают вид−K− ctg K− = R2 − K− 2 .K+ tg K+ = R2 − K+ 2 ;Поскольку с точностью до замены K+ ↔ K− правые части уравнений совпадают, их графики удобно изобразить на одной координатной плоскости.108642–20–202468xРис.

6.3. Графики на плоскости K − Λ. Графики K tg K, −K ctg K и(для R = 10). Физический смысл имеет только область K > 0, Λ > 0.√R2 − K 2Правая часть обоих уравнений изображается кругом радиуса R. Леваячасть для чётного случая изображается ветвями, имеющими нули в точкахπn и асимптоты в точках πn + π2 . Для нечётного случая нули и асимптотыв левой части меняются местами (см. рис. 6.3).При любом значении параметра R всегда имеется хотя бы одно чётноерешение.6.1. С ТРУКТУРАСПЕКТРА171Число уровнейМы видим, что общее число чётных и нечётных решений соответствует числу точек вида π2 n, попавших в диапазон [0, R].4Чётные и нечётные решения чередуются, при этом в яме всегда естьпо крайней мере один чётный уровень.Общее число решений составляет$√%!2mV a2RNп =+1=+ 1 = [N ] + 1,ππh̄где квадратные скобки обозначают целую часть числа. Таким образом,число решений отличается от приведённой выше квазиклассической оценки (6.4) не более чем на 1.Глубокие уровни*√Для глубоких уровней (Λ = R2 − K 2 1) значения K близки к π2 n,т.

к. окружность пересекает ветви K tg K и −K ctg K на большой высоте,πnтам где они близко подходят к своим асимптотам. Условие K = ka2 ≈ 2соответствует тому, что в яме помещается почти (чуть меньше чем) целоечисло полуволн. При этом на границе ямы волновая функция близка к нулю, и очень быстро по сравнению с размером ямы ( κa2 = Λ 1) спадаетза пределами ямы.Предел мелкой ямы*Мелкой естественно считать прямоугольную яму, в которой имеетсяровно один уровень, т.

е. для которой√2R2mV a=< 1.ππh̄Если устремить параметр R к нулю, т. е. в пределе√2R2mV a= 1,ππh̄трансцендентное уравнение для основного состояния можно решить:K tg K = R2 − K 2 ⇒ K 2 ≈ R2 − K 2 .4 ЕслиR=π2n, то мы получаем одно ненормированное состояние с нулевой энергией.172ГЛАВА 6На K 2 получаем уравнение422K + K − R ≈ 0,2Λ≈K ≈−1 +√1 + 4R2≈ R2 .2Мелкую яму удобно характеризовать одним параметром κ0 , который характеризует скорость убывания волновой функции основного состояния внеямы и через который удобно выражается энергия основного состояния:κ0 =mV a2Λ=,ah̄2E0 = −h̄2 κ20mV 2 a2h̄2 κ2≈−=−.2m2m2h̄2δ-яма как мелкая яма*Рассматривая мелкие прямоугольные ямы, мы можем перейти к пределу, соответствующему переходу к δ-потенциалу:a → 0,V → ∞,aV = const.При этом предельном переходе яма становится всё более и более мелкой&√mV a2R=a → 0.2 = const ·2h̄Параметр мелкой ямы κ0 при таком переходе постояненκ0 =mV a,h̄2а формула для энергии основного состояния выполняется всё точнее и точнее.

В пределе мы имеемh̄2 κ20.(6.7)E0 = −2mПотенциал при таком предельном переходе стремится в смысле слабогопредела к δ-функции:wlim U (x) = −V a δ(x) = −a→0h̄2κ0 δ(x).mОбратите внимание, что размерность дельта-функции обратна размерности аргумента! В частности, дельта-функция от координаты имеет раз-6.1. С ТРУКТУРА173СПЕКТРАмерность обратной длины. Это легко увидеть, взяв от дельта-функции интеграл:+∞δ(x) · dx = 1.−∞ длина−1 длинабезразмерно6.1.5. δ-ямаМы уже исследовали δ-яму как предельный случай мелкой прямоугольной ямы. Теперь мы исследуем тот же потенциал непосредственно.Запишем стационарное уравнение Шрёдингера для дельта-ямы:2h̄− 2mψ (x) −h̄2mκ0 δ(x) ψ(x) = E ψ(x).(6.8)При x = 0 δ(x) = 0, а решать уравнение Шрёдингера для нулевого потенциала мы уже умеем.