М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику, страница 31

Для координаты свободной частицы можно задать динамический инвариант xи (t) следующимобразомp̂x̂и (t) = x̂ш −t.(5.24)mdx̂иdx̂p̂dp̂ t=−= 0.−dtdtdtmm p̂г (t) = p̂ш = p̂г (0);x̂г (t) = x̂ш + tp̂/m0Мы видим, что x̂и (t) соответствует эволюции по времени в обратную сторону. x̂и (t) — начальная координата частицы (при t = 0) выраженная черезнаблюдаемые в момент времени t.При усреднении по произвольной волновой функции (которая в гайзенберговском представлении не зависит от времени) получаем, что в среднемволновой пакет движется с постоянной скоростью:p̂0.(5.25)mДля вычисления среднеквадратичных отклонений нам понадобятся операторы x̂2г и p̂2г :2p̂2p̂шt222x̂г (t) = x̂ш + t= x̂2ш + t2 ш2 + (p̂ш x̂ш + x̂ш p̂ш ).p̂г (t) = p̂ш ;mmmp̂t = p̂0 ;x̂t = x̂0 + t148ГЛАВА 5Для среднеквадратичных отклонений получаем:δp2 t = p̂2 t − p̂2t = δp2 0 ;δx2 t = x̂2 t − x̂2t =(5.26)2tt(p̂x̂ + x̂p̂0 − 2x̂0 p̂0 ) + δx2 0 .δp2 0 +m2mЛинейный по времени член в δx2 t можно обнулить выбором нулевогомомента времени, однако для любого t выполняется соотношение неопре2делённостей δx2 t δp2 t h̄4 .

При больших положительных или отрицательных временах размер волнового пакета неограниченно расплывается,что однозначно говорит нам, что размер волнового пакета действительноникак не связан с размером самой частицы.5.2.7. Скобка Пуассона и коммутатор*В теоретической механике наблюдаемые представляются не эрмитовыми операторами, как в квантовой механике, а функциями от каноническихпеременных (координат и импульсов), т. е. классическая наблюдаемая имеетвидF (Q, P, t).(5.27)Полная производная от классической наблюдаемой (с учётом динамическойэволюции системы) имеет видdF∂F ∂F dQa∂F dPa=++.dt∂t∂Qa dt∂Pa dtaПроизводные по времени от координат и импульсов в классической механике выражаются с помощью уравнений Гамильтона:dQa∂H∂HdPa==−,.dt∂Padt∂QaГде H(Q, P ) — функция Гамильтона, т.

е. энергия, выраженная через координаты и импульсы. Функция Гамильтона — тоже наблюдаемая, классический аналог квантового гамильтониана.Используя уравнения Гамильтона, мы можем переписать полную производную от F :dF∂F ∂F ∂H∂F ∂H∂F=++ {F, H}.−=dt∂t∂Qa ∂Pa∂Pa ∂Qa∂ta{F,H}Здесь мы обозначили сумму по a через скобку Пуассона {F, H}.5.2. РАЗНЫЕПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВРЕМЕННОЙ ЭВОЛЮЦИИ149Сравнивая получившееся уравнение с уравнением Гайзенберга (5.20),мы видим, что классическая скобка Пуассона соответствует коммутатору:dF∂F=+ {F, H}dt∂t∼dÂ∂ Â1=+ [Â, Ĥ],dt∂tih̄1[·, ·].ih̄Помимо формул для полных производных от наблюдаемых величиночень важную роль играют канонические коммутационные соотношения,для которых также есть классический теоретикомеханический аналог:{·, ·} ∼1[q̂a , p̂b ] = δab ,{Qa , Pa } = δab .ih̄Благодаря соответствию между коммутатором и скобкой Пуассонанекоторые выкладки могут переноситься из теоретической механики и обратно с помощью простого изменения обозначений. Например, как будет продемонстрировано ниже, гармонический осциллятор в представлении Гайзенберга колеблется как классический осциллятор «с точностью дошляпок» (т.

е. с точностью до замены квантовых наблюдаемых классическими). Похожее соответствие мы наблюдали и выше в разделе 5.2.6 «Пример: Эволюция волнового пакета для свободной частицы», когда изучалирасплывание волнового пакета свободной частицы в представлении Гайзенберга. Однако для более сложных гамильтонианов соответствие уже неявляется столь точным.Связь между коммутатором и скобкой Пуассона была открыта ПолемДираком в октябре 1925 года вскоре после того, как Гайзенберг ввёл невиданные ранее в физике некоммутирующие переменные.5.2.8.

Чистые и смешанные состояния в теоретической механике*Для того чтобы ясно увидеть аналоги представлений Шрёдингераи Гайзенберга в классической механике, удобно перейти от рассмотрениячистых классических состояний, задаваемых точными значениями координат и импульсов, к смешанным классическим состояниям, задаваемым распределением вероятности по координатам и импульсам.Таким образом, помимо наблюдаемых, как функций на фазовом пространстве (5.27), мы вводим состояния(Q, P, t),(Q, P, t) > 0,dQ dP (Q, P, t) = 1,(5.28)150ГЛАВА 5которые также задаются как функции на фазовом пространстве.

Последнееусловие задаёт нормировку состояния на единицу. Иногда, например прирассмотрении измерения, удобно от этого условия отказаться.Среднее от наблюдаемой по состоянию задаётся интегралом вида, F = dQ dP F (Q, P, t) (Q, P, t),(5.29)в частности, нормировка состояния задаёт среднее от единицы.Мы преднамеренно не уточнили к каким классам функций относятсянаблюдаемые и состояния, т. к. выбор соответствующих функциональныхпространств зависит от задачи.

Сейчас нам удобно выбрать для наблюдаемых и состояний пространства основных и обобщённых функций поШварцуF ∈ S = {F ∈ C ∞ |∀n, m ∈ N, xn F (m) −→ 0, x → ±∞}, ∈ S = {|∀F ∈ S : F → , F непрерывно и линейно}.Таким образом, как в квантовой механике, так и в классической мыимеем линейные (если отказаться от нормировки состояний на единицу)пространства наблюдаемых и смешанных состояний, а также линейную пообоим аргументам операцию усреднения наблюдаемой по состоянию.Среди всех состояний можно выделить чистые:Q0 P0 (Q, P ) = δ(Q − Q0 ) · δ(P − P0 ),Q0 P0 , F = F (Q0 , P0 ).Как и в квантовой механике, чистое состояние задаётся значениямимаксимального набора независимых наблюдаемых.

Однако имеется принципиальное различие. В классике все наблюдаемые совместимы (коммутируют, одновременно измеримы), и все максимальные наборы независимых наблюдаемых описывают одни и те же семейства чистых состояний.Из-за этого в классической механике может возникнуть путаница (отождествление) между понятиями «чистое состояние» и «максимальный наборнезависимых наблюдаемых».

В квантовой механике не все наблюдаемыесовместимы, и разные максимальные наборы независимых наблюдаемыхописывают различные семейства чистых состояний.5.2.9. Представления Гамильтона и Лиувилля в теоретическоймеханике**Как и в квантовой механике, эволюцию системы можно описыватькак эволюцию состояния при неизменных наблюдаемых (представление5.2. РАЗНЫЕПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВРЕМЕННОЙ ЭВОЛЮЦИИ151Лиувилля), либо как эволюцию наблюдаемых при неизменном состоянии(представление Гамильтона):8dл∂FлdFл= −{л , H},=,dtdt∂tdгdFг∂Fг= 0,=+ {Fг , H}.dtdt∂tОбратите внимание, что состояние в представлении Лиувилля и наблюдаемая в представлении Гамильтона эволюционируют «в разныестороны» (разный знак перед скобкой Пуассона). Данные уравнения при замене скоб1ки Пуассона на коммутатор {·, ·} → ih̄[·, ·]переходят в квантовые уравнения для операторов и матриц плотности в представленияхШрёдингера и Гайзенберга соответственно.Рис.

5.1. Уильям Роуан ГаИнтегралы, задающие средние наблюдае- мильтон (1805–1865). Wмой F в момент времени t связаны друг с другом заменой переменных интегрирования:, F t = dQ dP Fл (Q, P, t) л (Q, P, t) == dQ dP Fл (Q(Q0 , P0 , t), P (Q0 , P0 , t), t) ×Fг (Q0 ,P0 ,t)× л (Q(Q0 , P0 , t), P (Q0 , P0 , t), t) =г (Q0 ,P0 )=dQ0 dP0=∂(Q, P )Fг (Q0 , P0 , t) г (Q0 , P0 ) =∂(Q0 , P0 ) =1dQ dP Fг (Q, P, t) г (Q, P ).8 Представление Гамильтона обозначено индексом «г», точно так же как выше обозначалипредставление Гайзенберга. Поскольку одно представление переходит в другое в классическом пределе, то это не должно вызвать путаницы, а наоборот, это даёт нам мнемоническоеправило как классические представления временной эволюции соотносятся с классическими:Гайзенберг и Гамильтон начинаются на одну букву и у обоих эволюция описывается черезнаблюдаемые.152ГЛАВА 5Здесь Q(Q0 , P0 , t) и P (Q0 , P0 , t) — координаты и импульсы в момент t как функции от начальных значений Q0 , P0 и времени t:Q(Q0 , P0 , 0) = Q0 ,P (Q0 , P0 , 0) = P0 .Тождество на якобианJ=Рис.

5.2. Жозеф Лиувилль (1809–1882).W∂(Q, P )=1∂(Q0 , P0 )— теорема Лиувилля о сохранении фазового объёма.Его физический смысл — сохранение вероятности,в этом оно аналогично условию унитарности квантовой эволюции.Докажем теорему Лиувилля. Для этого достаточно показать, что dJdt = 0в начальный момент времени.∂H· δt + o(δt),∂Qi2H∂2Hδji + ∂P∂i ∂Q∂(Q(δt), P (δt))j · δt∂P i ∂P j · δt+ o(δt) == det22HH∂(Q0 , P0 )− ∂Q∂i ∂Qδji − ∂Q∂i ∂Pj · δtj · δt22Qi (δt) = Qi0 +∂H· δt + o(δt),∂P i= 1 + tr=1+i∂ H∂P i ∂Qj2H− ∂Q∂i ∂Qj2P i (δt) = P0i −∂ H∂P i ∂P j2H− ∂Q∂i ∂Pj2· δt + o(δt) =!∂ H∂ H+ o(δt) = 1 + o(δt).−∂P i ∂Qi∂Qi ∂P iТаким образом,J(0) = 1,dJ=0dt⇒J ≡ 1.5.2.10. Уравнения в представлении взаимодействия*Дифференциальное уравнение для оператора в представлении взаимодействия мы можем получить дифференцированием выражения (5.17) Âв =(0)†(0)= Ût Âш Ût , но результат можно написать сразу, он совпадает с уравнениями Гайзенберга для невозмущённого гамильтониана (5.18):dÂвi (0)dÂш= [Ĥв , Âв ] +.(5.30)dth̄dtв5.3.

И ЗМЕРЕНИЕ(0)†Волновая функция (5.15) |ψв (t) = Ûtпо времени даёт153|ψш (t) при дифференцировании(0)†ddÛt(0)† d|ψв (t) =|ψш + Ût|ψш =dtdtdti (0)†(0)† −i= Ut Ĥ (0) |ψш + ÛtĤh̄h̄ |ψш =(Ĥ (0) +V̂ )=−i (0)†i (0)†i(0)V̂ |ψш = − Ût V̂ Ût |ψв = − V̂в |ψв .Ûh̄ th̄ h̄(0)Ût|ψв V̂вТаким образом, временная эволюция волновой функции в представлении взаимодействия описывается уравнением Шрёдингера, в котором вместо гамильтониана используется оператор возмущения, записанный в представлении взаимодействия:d|ψв (t) = V̂в |ψв .(5.31)dtЭволюцию волновой функции в представлении взаимодействия мы можем описать как действие на исходную волновую функцию специальногооператора эволюцииih̄(0)†|ψв (t) = Ût(0)†|ψш (t) = Ût Ût |ψ(0) = Ûtв |ψ(0).

ÛtвГлядя на (5.31), мы можем записать уравнение Шрёдингера для оператора(0)†эволюции Ûtв = Ût Ûtih̄d вÛ = V̂в Ûtв ,dt tÛ0в = 1̂.(5.32)При этом, оператор V̂в может зависеть от времени, даже если гамильтонианы Ĥ (0) и Ĥ = Ĥ (0) + V̂ от времени не зависели.

Это возможно в томслучае, если [Ĥ (0) , V̂ ] = 0.5.3. ИзмерениеПроцедура измерения — единственное место в стандартной квантовоймеханике, которое вносит в теорию вероятности и необратимость. При154ГЛАВА 5унитарной эволюции переход от начального состояния к конечному описывается обратимыми операторами, а значит всегда можно восстановитьпо конечному состоянию начальное. При измерении иначе: состояние после измерения всегда получается из состояния до измерения с помощьюнеобратимого оператора (проектора), случайным образом выбираемого изнекоторого набора.Влияние измерения на состояние системы неизбежно в квантовоймеханике. Это накладывает принципиальные ограничения на точностьпри одновременном измерении различных величин (соотношения неопределённостей).