Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику

М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику, страница 30

Описание файла

PDF-файл из архива "М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику", который расположен в категории "книги и методические указания". Всё это находится в предмете "квантовые вычисления" из седьмого семестра, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 30 страницы из PDF

е.|ψш (t) = |ψ(t) = Ût |ψ(0)⇔ ρ̂ш (t) = Ût ρ̂(0)Ût† ,Âш (t) = Â(t)— это представление Шрёдингера.Именно представлением Шрёдингера мы пользовались выше в разделах 5.1.1 и 5.1.4, когда писали уравнение Шрёдингера для зависящей отвремени волновой функции.Если динамика системы описывается как эволюция оператора, а векторсостояния (или матрица плотности) никак не зависит от времени, т. е.|ψг = |ψ(0) = |ψш (0)Âг (t) =Ût† Â(t)Ût=(⇔ρ̂г = ρ̂(0) = ρ̂ш (0)),Ût† Âш (t)Ût— это представление Гайзенберга.Хотя состояния и операторы в представлениях Гайзенберга и Шрёдингера эволюционируют по-разному, в нулевой момент времени они совпадают, а матричные элементы совпадают во все моменты времени:ϕш (t)|Âш (t)|ψш (t) = (ϕ(0)|Ût† )Â(t)(Ût |ψ(0)) == ϕ(0)|(Ût† Â(t)Ût )|ψ(0) = ϕг |Âг (t)|ψг .Мы видим, что два выражения для матричных элементов, расписанныхс помощью оператора эволюции, различаются лишь расстановкой скобок.6 Здесь и далее для сокращения записи введено обозначение Û (t, 0) = Û .

Автономностьtэволюции при этом не подразумевается, т. е. выполнение условия Û (t + τ, τ ) = Ût возможно,но не обязательно.142ГЛАВА 5Мы можем ввести также некоторое представление, промежуточноемежду представлениями Шрёдингера и Гайзенберга и обобщающее обаэтих представления — представление взаимодействия (представлениеДирака):(0)†|ψв (t) = Ûtρ̂в (t) =Âв (t) =(0)†|ψш = ÛtÛt |ψг ,(0)†(0)(0)†(0)Ût ρ̂ш (t)Ût = Ût Ût ρ̂г Ût† Ût ,(0)†(0)(0)†(0)Ût Âш (t)Ût = Ût Ût Âг (t)Ût† Ût .(0)(5.15)[∗](5.16)(5.17)(0)Здесь Ût — зависящий от t унитарный оператор.

В случае Ût ≡ 1̂представление взаимодействия совпадает с представлением Гайзенберга,(0)а в случае Ût = Ût — с представление Шрёдингера.Название «представление взаимодействия» связано с наиболее распространённым способом его использования, когда в качестве операто(0)ра Ût берут оператор эволюции, для гамильтониана без учёта взаимодействия, каких-либо подсистем — «невозмущённый гамильтониан» Ĥ0 . Полный («возмущённый») гамильтониан, порождающий эволюцию Ût , представляют как сумму невозмущённого гамильтониана Ĥ0 и некоторой добавки V̂ , описывающей взаимодействие:Ĥ = Ĥ0 + V̂ .Операторы в представлении взаимодействия совпадают с операторамив гайзенберговском представлении для невозмущённого гамильтониана, нопоявляется зависимость волновой функции от времени, связанная с возмущением (взаимодействием).В тех случаях, когда представление явно не указано, мы будем подразумевать представление Шрёдингера.

Аналогично указание на представление может отсутствовать, когда формулы одинаково записываются в разныхпредставлениях (см. следующий раздел).5.2.4. Функции от операторов в разных представленияхПереход между различными представлениями операторов в фиксированный момент времени осуществляется с помощью унитарного преобразования:Â → Û † ÂÛ .Новый оператор при этом можно рассматривать как представление старогооператора в новом базисе.

Функция от операторов, определяемая с помощью операций сложения, умножения на число и умножения операторов5.2. РАЗНЫЕПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВРЕМЕННОЙ ЭВОЛЮЦИИ143между собой, не зависит от базиса. Поэтому смена базиса (переход к новому представлению) может с равным успехом осуществляться как до, таки после вычисления функции, например:( + bB̂)г = Ût† ( + bB̂)Ût = Ût† ÂÛt + bÛt† B̂ Ût = Âг + bB̂г ,(ÂB̂)г = Ût† (ÂB̂)Ût = (Ût† ÂÛt )(Ût† B̂ Ût ) = Âг B̂г .Аналогичные формулы можно получить и для более сложных объектов,таких как коммутатор и матричная экспонента (достаточно расписать этиоперации через сложение/вычитание и умножение):[Â, B̂]г = (ÂB̂ − B̂ Â)г = Âг B̂г − B̂г Âг = [Âг , B̂г ],†(e )г = Ût† e Ût = eÛt ÂÛt = eÂг .5.2.5.

Гамильтониан в представлении ГайзенбергаКогда мы определяли представление Гайзенберга, мы не делали никаких специальных предположений о виде гамильтониана, т. е. в общемслучае гамильтониан — некоторый зависящий от времени эрмитов оператор Ĥ(t). Однако для большинства задач гамильтониан от времени не заiвисит, в этом случае Ût = e− h̄ Ĥ t и оператор эволюции коммутирует с гамильтонианом:[Ĥ, Ût ] = 0.Таким образом, для автономных систем (когда гамильтониан не зависит отвремени) получаем:Ĥг = e h̄ Ĥ t Ĥe− h̄ Ĥ t = e h̄ Ĥ t e− h̄ Ĥ t Ĥ = Ĥш .iiii5.2.6. Уравнение ГайзенбергаДля того, чтобы задать дифференциальное уравнение, описывающеевременную эволюцию гайзенберговских операторов, продифференцируемпо времени гайзенберговский оператор, выраженный через шрёдингеровский оператор и оператор эволюции:Âг = Ût† Âш Ût ,dÂгdÛtdÂшdÛt†=+ Ût†Âш Ût + Ût† ÂшÛt .dtdtdtdt144ГЛАВА 5Используя уравнение (5.11), мы получаем:idÛt†= Ût† Ĥ,dth̄dÂгi †idÂш† dÂш= Ût [Ĥ, Âш ]Ût + Ût.Ût = [Ĥг , Âг ] +dth̄dth̄dtdÛti= − Ĥ Ût ,dth̄(5.18)гПолные и частные производные от операторов по времениВ формуле Гайзенберга (5.18) фигурируют две разные производные отоператора по времени:dÂгdÂш,.dtdtгПервая формула — «просто производная по времени» в представленииГайзенберга, вторая — «просто производная по времени» в представленииШрёдингера (которую потом выразили в представлении Гайзенберга).ÂшПри этом производная ddtникак не зависит от гамильтониана, т.

е. наней никак не сказывается временная эволюция системы.Введём следующее определение: полная производная от оператора Âпо времени — оператор, среднее от которого по любому состоянию равнопроизводной по времени от среднего по этому же состоянию:"#dÂd= Â.(5.19)dtdtУдобнее всего вычислять полную производную по времени в представлении Гайзенберга, поскольку в этом случае от времени зависят толькооператоры (не не волновые функции), и полная производная от оператораоказывается «просто производной по времени».Определим также частную производную по времени от оператора Â,как полную производную при замороженной эволюции системы, т. е.

в случае Ĥ ≡ 0 (т. е. Û ≡ 1̂). Частная производная по времени совпадает с «просто производной» в представлении Шрёдингера.Таким образом мы перенесли из классической теоретической механикив квантовую механику понятия частной и полной производной по времени5.2. РАЗНЫЕПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВРЕМЕННОЙ ЭВОЛЮЦИИот наблюдаемой величины.dÂdÂг,=dtdtг∂ Â∂t=ш145dÂш.dtТеперь мы можем переписать формулу Гайзенберга следующим образом:dÂ∂ Âi=+ [Ĥ, Â].(5.20)dt∂th̄Эта формула применима в любом представлении, поэтому мы убрали указание на то, в каком представлении берутся входящие в неё операторы.Правило Лейбница и коммутатор*Правило Лейбница для полной производной по времениdÂB̂dB̂dÂ= Â+B̂dtdtdtследует из тождества:[ÂB̂, Ĉ] = [Â, Ĉ]B̂ + Â[B̂, Ĉ].(5.21)Эту формулу легко проверить, расписав коммутаторы в левой и правой частях равенства как разности произведений операторов. Эту формулу можноназвать правилом Лейбница для коммутатора, относительно операторного умножения.Для операторов есть ещё одно естественное умножение — сам коммутатор.

Два раза применив формулу (5.21), мы получаем уже правило Лейбница для коммутатора, относительно коммутатора7[[Â, B̂], Ĉ] = [ÂB̂, Ĉ] − [B̂ Â, Ĉ] = [[Â, Ĉ], B̂] + [Â, [B̂, Ĉ]].Отсюда следует:(5.22)$% $%d[Â, B̂]dB̂dÂ= Â,+, B̂ .dtdtdtС учётом антисимметрии коммутатора формула (5.22) может быть переписана как тождество Якоби для коммутатора:[[Â, B̂], Ĉ] + [[B̂, Ĉ], Â] + [[Ĉ, Â], B̂] = 0.(5.23)7 Обратите внимание, здесь коммутатор выступает сразу в двух ипостасях: как производнаяи как произведение.146ГЛАВА 5Антисимметрия, линейность и наличие тождества Якоби позволяетрассматривать коммутатор как скобку Ли, задействуя в квантовой механикемощный математический аппарат теории алгебр Ли.

Возможность рассмотрения коммутатора как скобки Ли будет важна и для установления соответствия с теоретической механикой, где аналогичную роль играет скобкаПуассона.Интегралы движенияОпределив полную производную от оператора по времени, мы можемобратиться к вопросу об интегралах движения.Чтобы оператор  задавал закон сохранения достаточно, чтобы оператор явно не зависел от времени и коммутировал с гамильтонианом∂ Â= 0,∂t[Ĥ, Â] = 0⇒dÂ= 0.dtТакой эрмитов оператор порождает соответствующую однопараметрическую группу симметрий (унитарных операторов) вида eia . Это соответствует выводам раздела 11.3 «Непрерывные симметрии и законы сохранения».(*) Возможны также интегралы движения зависящие от времени (диÂиÂинамические инварианты), для которых ∂∂t= 0, но ddt= 0.

Динамическиеинварианты (в представлении Шрёдингера) меняются со временем в обратную сторону по сравнению с эволюцией гайзенберговских операторовÂи (t2 ) = Û (t2 , t1 ) Âи (t1 ) Û † (t2 , t1 ),Âг (t2 ) = Û † (t2 , t1 ) Âг (t1 ) Û (t2 , t1 ).Ниже мы продемонстрируем это на примере свободной частицы.Вопрос для самопроверки: Как зависит от времени интеграл движения в представлении Гайзенберга?Пример: эволюция волнового пакета для свободной частицыГамильтониан для свободной частицы получается из классического надеванием шляпок на H и p (в координатном представлении, когда волновые∂функции представлены как функции от координат, p̂ = −i ∂x) в формуле дляклассической функции Гамильтона (в выражении энергии через координаты и импульсы):p̂2Ĥ =.2m5.2.

РАЗНЫЕПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВРЕМЕННОЙ ЭВОЛЮЦИИ147Используя его, мы можем написать полные производные по времени отоператоров координаты и импульса (координата и импульс не зависят отвремени явно, так что частная производная по времени вклада не даёт):!!dp̂i p̂2dx̂i p̂2ip̂=, p̂ = 0,=, x̂ =(p̂ [p̂, x̂] + [p̂, x̂] p̂) = .dth̄ 2mdth̄ 2m2mh̄ m−ih̄−ih̄Мы воспользовались здесь тождеством (5.21).Формулы совпадают с классическими «с точностью до шляпок».В представлении Гайзенберга мы получаем:dp̂г= 0, p̂г (0) = p̂ш ;dtСистема легко интегрируется:p̂гdx̂г= ,dtmx̂г (0) = x̂ш .p̂шp̂г (0)= x̂г (0) + t.mm(*) Для любой наблюдаемой мы можем задать такую зависимость отвремени, что она станет динамическим инвариантом.

Свежие статьи
Популярно сейчас