Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику

М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику, страница 30

PDF-файл М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику, страница 30 Квантовые вычисления (53188): Книга - 7 семестрМ.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику: Квантовые вычисления - PDF, страница 30 (53188) - СтудИзба2019-09-18СтудИзба

Описание файла

PDF-файл из архива "М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "квантовые вычисления" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 30 страницы из PDF

е.|ψш (t) = |ψ(t) = Ût |ψ(0)⇔ ρ̂ш (t) = Ût ρ̂(0)Ût† ,Âш (t) = Â(t)— это представление Шрёдингера.Именно представлением Шрёдингера мы пользовались выше в разделах 5.1.1 и 5.1.4, когда писали уравнение Шрёдингера для зависящей отвремени волновой функции.Если динамика системы описывается как эволюция оператора, а векторсостояния (или матрица плотности) никак не зависит от времени, т. е.|ψг = |ψ(0) = |ψш (0)Âг (t) =Ût† Â(t)Ût=(⇔ρ̂г = ρ̂(0) = ρ̂ш (0)),Ût† Âш (t)Ût— это представление Гайзенберга.Хотя состояния и операторы в представлениях Гайзенберга и Шрёдингера эволюционируют по-разному, в нулевой момент времени они совпадают, а матричные элементы совпадают во все моменты времени:ϕш (t)|Âш (t)|ψш (t) = (ϕ(0)|Ût† )Â(t)(Ût |ψ(0)) == ϕ(0)|(Ût† Â(t)Ût )|ψ(0) = ϕг |Âг (t)|ψг .Мы видим, что два выражения для матричных элементов, расписанныхс помощью оператора эволюции, различаются лишь расстановкой скобок.6 Здесь и далее для сокращения записи введено обозначение Û (t, 0) = Û .

Автономностьtэволюции при этом не подразумевается, т. е. выполнение условия Û (t + τ, τ ) = Ût возможно,но не обязательно.142ГЛАВА 5Мы можем ввести также некоторое представление, промежуточноемежду представлениями Шрёдингера и Гайзенберга и обобщающее обаэтих представления — представление взаимодействия (представлениеДирака):(0)†|ψв (t) = Ûtρ̂в (t) =Âв (t) =(0)†|ψш = ÛtÛt |ψг ,(0)†(0)(0)†(0)Ût ρ̂ш (t)Ût = Ût Ût ρ̂г Ût† Ût ,(0)†(0)(0)†(0)Ût Âш (t)Ût = Ût Ût Âг (t)Ût† Ût .(0)(5.15)[∗](5.16)(5.17)(0)Здесь Ût — зависящий от t унитарный оператор.

В случае Ût ≡ 1̂представление взаимодействия совпадает с представлением Гайзенберга,(0)а в случае Ût = Ût — с представление Шрёдингера.Название «представление взаимодействия» связано с наиболее распространённым способом его использования, когда в качестве операто(0)ра Ût берут оператор эволюции, для гамильтониана без учёта взаимодействия, каких-либо подсистем — «невозмущённый гамильтониан» Ĥ0 . Полный («возмущённый») гамильтониан, порождающий эволюцию Ût , представляют как сумму невозмущённого гамильтониана Ĥ0 и некоторой добавки V̂ , описывающей взаимодействие:Ĥ = Ĥ0 + V̂ .Операторы в представлении взаимодействия совпадают с операторамив гайзенберговском представлении для невозмущённого гамильтониана, нопоявляется зависимость волновой функции от времени, связанная с возмущением (взаимодействием).В тех случаях, когда представление явно не указано, мы будем подразумевать представление Шрёдингера.

Аналогично указание на представление может отсутствовать, когда формулы одинаково записываются в разныхпредставлениях (см. следующий раздел).5.2.4. Функции от операторов в разных представленияхПереход между различными представлениями операторов в фиксированный момент времени осуществляется с помощью унитарного преобразования:Â → Û † ÂÛ .Новый оператор при этом можно рассматривать как представление старогооператора в новом базисе.

Функция от операторов, определяемая с помощью операций сложения, умножения на число и умножения операторов5.2. РАЗНЫЕПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВРЕМЕННОЙ ЭВОЛЮЦИИ143между собой, не зависит от базиса. Поэтому смена базиса (переход к новому представлению) может с равным успехом осуществляться как до, таки после вычисления функции, например:( + bB̂)г = Ût† ( + bB̂)Ût = Ût† ÂÛt + bÛt† B̂ Ût = Âг + bB̂г ,(ÂB̂)г = Ût† (ÂB̂)Ût = (Ût† ÂÛt )(Ût† B̂ Ût ) = Âг B̂г .Аналогичные формулы можно получить и для более сложных объектов,таких как коммутатор и матричная экспонента (достаточно расписать этиоперации через сложение/вычитание и умножение):[Â, B̂]г = (ÂB̂ − B̂ Â)г = Âг B̂г − B̂г Âг = [Âг , B̂г ],†(e )г = Ût† e Ût = eÛt ÂÛt = eÂг .5.2.5.

Гамильтониан в представлении ГайзенбергаКогда мы определяли представление Гайзенберга, мы не делали никаких специальных предположений о виде гамильтониана, т. е. в общемслучае гамильтониан — некоторый зависящий от времени эрмитов оператор Ĥ(t). Однако для большинства задач гамильтониан от времени не заiвисит, в этом случае Ût = e− h̄ Ĥ t и оператор эволюции коммутирует с гамильтонианом:[Ĥ, Ût ] = 0.Таким образом, для автономных систем (когда гамильтониан не зависит отвремени) получаем:Ĥг = e h̄ Ĥ t Ĥe− h̄ Ĥ t = e h̄ Ĥ t e− h̄ Ĥ t Ĥ = Ĥш .iiii5.2.6. Уравнение ГайзенбергаДля того, чтобы задать дифференциальное уравнение, описывающеевременную эволюцию гайзенберговских операторов, продифференцируемпо времени гайзенберговский оператор, выраженный через шрёдингеровский оператор и оператор эволюции:Âг = Ût† Âш Ût ,dÂгdÛtdÂшdÛt†=+ Ût†Âш Ût + Ût† ÂшÛt .dtdtdtdt144ГЛАВА 5Используя уравнение (5.11), мы получаем:idÛt†= Ût† Ĥ,dth̄dÂгi †idÂш† dÂш= Ût [Ĥ, Âш ]Ût + Ût.Ût = [Ĥг , Âг ] +dth̄dth̄dtdÛti= − Ĥ Ût ,dth̄(5.18)гПолные и частные производные от операторов по времениВ формуле Гайзенберга (5.18) фигурируют две разные производные отоператора по времени:dÂгdÂш,.dtdtгПервая формула — «просто производная по времени» в представленииГайзенберга, вторая — «просто производная по времени» в представленииШрёдингера (которую потом выразили в представлении Гайзенберга).ÂшПри этом производная ddtникак не зависит от гамильтониана, т.

е. наней никак не сказывается временная эволюция системы.Введём следующее определение: полная производная от оператора Âпо времени — оператор, среднее от которого по любому состоянию равнопроизводной по времени от среднего по этому же состоянию:"#dÂd= Â.(5.19)dtdtУдобнее всего вычислять полную производную по времени в представлении Гайзенберга, поскольку в этом случае от времени зависят толькооператоры (не не волновые функции), и полная производная от оператораоказывается «просто производной по времени».Определим также частную производную по времени от оператора Â,как полную производную при замороженной эволюции системы, т. е.

в случае Ĥ ≡ 0 (т. е. Û ≡ 1̂). Частная производная по времени совпадает с «просто производной» в представлении Шрёдингера.Таким образом мы перенесли из классической теоретической механикив квантовую механику понятия частной и полной производной по времени5.2. РАЗНЫЕПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВРЕМЕННОЙ ЭВОЛЮЦИИот наблюдаемой величины.dÂdÂг,=dtdtг∂ Â∂t=ш145dÂш.dtТеперь мы можем переписать формулу Гайзенберга следующим образом:dÂ∂ Âi=+ [Ĥ, Â].(5.20)dt∂th̄Эта формула применима в любом представлении, поэтому мы убрали указание на то, в каком представлении берутся входящие в неё операторы.Правило Лейбница и коммутатор*Правило Лейбница для полной производной по времениdÂB̂dB̂dÂ= Â+B̂dtdtdtследует из тождества:[ÂB̂, Ĉ] = [Â, Ĉ]B̂ + Â[B̂, Ĉ].(5.21)Эту формулу легко проверить, расписав коммутаторы в левой и правой частях равенства как разности произведений операторов. Эту формулу можноназвать правилом Лейбница для коммутатора, относительно операторного умножения.Для операторов есть ещё одно естественное умножение — сам коммутатор.

Два раза применив формулу (5.21), мы получаем уже правило Лейбница для коммутатора, относительно коммутатора7[[Â, B̂], Ĉ] = [ÂB̂, Ĉ] − [B̂ Â, Ĉ] = [[Â, Ĉ], B̂] + [Â, [B̂, Ĉ]].Отсюда следует:(5.22)$% $%d[Â, B̂]dB̂dÂ= Â,+, B̂ .dtdtdtС учётом антисимметрии коммутатора формула (5.22) может быть переписана как тождество Якоби для коммутатора:[[Â, B̂], Ĉ] + [[B̂, Ĉ], Â] + [[Ĉ, Â], B̂] = 0.(5.23)7 Обратите внимание, здесь коммутатор выступает сразу в двух ипостасях: как производнаяи как произведение.146ГЛАВА 5Антисимметрия, линейность и наличие тождества Якоби позволяетрассматривать коммутатор как скобку Ли, задействуя в квантовой механикемощный математический аппарат теории алгебр Ли.

Возможность рассмотрения коммутатора как скобки Ли будет важна и для установления соответствия с теоретической механикой, где аналогичную роль играет скобкаПуассона.Интегралы движенияОпределив полную производную от оператора по времени, мы можемобратиться к вопросу об интегралах движения.Чтобы оператор  задавал закон сохранения достаточно, чтобы оператор явно не зависел от времени и коммутировал с гамильтонианом∂ Â= 0,∂t[Ĥ, Â] = 0⇒dÂ= 0.dtТакой эрмитов оператор порождает соответствующую однопараметрическую группу симметрий (унитарных операторов) вида eia . Это соответствует выводам раздела 11.3 «Непрерывные симметрии и законы сохранения».(*) Возможны также интегралы движения зависящие от времени (диÂиÂинамические инварианты), для которых ∂∂t= 0, но ddt= 0.

Динамическиеинварианты (в представлении Шрёдингера) меняются со временем в обратную сторону по сравнению с эволюцией гайзенберговских операторовÂи (t2 ) = Û (t2 , t1 ) Âи (t1 ) Û † (t2 , t1 ),Âг (t2 ) = Û † (t2 , t1 ) Âг (t1 ) Û (t2 , t1 ).Ниже мы продемонстрируем это на примере свободной частицы.Вопрос для самопроверки: Как зависит от времени интеграл движения в представлении Гайзенберга?Пример: эволюция волнового пакета для свободной частицыГамильтониан для свободной частицы получается из классического надеванием шляпок на H и p (в координатном представлении, когда волновые∂функции представлены как функции от координат, p̂ = −i ∂x) в формуле дляклассической функции Гамильтона (в выражении энергии через координаты и импульсы):p̂2Ĥ =.2m5.2.

РАЗНЫЕПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВРЕМЕННОЙ ЭВОЛЮЦИИ147Используя его, мы можем написать полные производные по времени отоператоров координаты и импульса (координата и импульс не зависят отвремени явно, так что частная производная по времени вклада не даёт):!!dp̂i p̂2dx̂i p̂2ip̂=, p̂ = 0,=, x̂ =(p̂ [p̂, x̂] + [p̂, x̂] p̂) = .dth̄ 2mdth̄ 2m2mh̄ m−ih̄−ih̄Мы воспользовались здесь тождеством (5.21).Формулы совпадают с классическими «с точностью до шляпок».В представлении Гайзенберга мы получаем:dp̂г= 0, p̂г (0) = p̂ш ;dtСистема легко интегрируется:p̂гdx̂г= ,dtmx̂г (0) = x̂ш .p̂шp̂г (0)= x̂г (0) + t.mm(*) Для любой наблюдаемой мы можем задать такую зависимость отвремени, что она станет динамическим инвариантом.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5057
Авторов
на СтудИзбе
456
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее