М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику, страница 35

Значит нам осталось исследовать условие сшивкирешений с нулевым потенциалом в точке 0.Единственное, что можно делать с дельта-функцией, — проинтегрировать её. Поскольку нас интересует условие сшивки в нуле, то естественноинтегрировать по малой окрестности нуля:2h̄− 2m+εψ (x) dx −h̄2m+ε+εδ(x) ψ(x) dx = Eψ(x) dx.κ0−ε−ε+εh̄2− 2mψ (x) −−εh̄2m−ε+εκ0 ψ(0) = Eψ(x) dx.−εДля ограниченной функции ψ(x) при ε → 0 получаем условие сшивкив нуле:+01 (6.9)2 ψ (x) −0 + κ0 ψ(0) = 0.Сама волновая функция в нуле должна быть непрерывна, т.

к. для разрывной в нуле волновой функции ψ будет содержать член ∼ δ (x), которыйбудет нечем скомпенсировать.ψ(+0) = ψ(−0).δ(x) = δ(−x), т. е. дельта-яма — чётный потенциал и мы можем искатьрешения уравнения (6.8) отдельно для чётного и нечётного случаев.174ГЛАВА 6Для непрерывных нечётных волновых функций ψ также оказываетсянепрерывным:ψ(0) = 0 ⇒ ψ (+0) = ψ (−0).Это условие сшивки не чувствует дельта-ямы. Таким образом, все нечётныесобственные функции для дельта-ямы такие же как для потенциалаU (x) ≡ 0.

Связанных состояний среди нечётных функций нет.Будем искать связанное чётное состояние. Оно обязано иметь видψ(x) = Ce−κ|x| ,E=−h̄2 κ2.2mМы сразу откинули растущие на бесконечности решения. Условие непрерывности выполняется автоматически. Осталось проверить условие сшивки (6.9). Оно даётκ = κ0⇒E0 = −h̄2 κ20.2mТаким образом, мы воспроизвели результат (6.7), полученный ранее предельным переходом для мелкой прямоугольной ямы.Задача: Об условии сшивки в точке δ-ямы**Мы можем составить базис в пространстве L2 (R) из собственныхфункций уравнения (6.8).

Все базисные функции будут удовлетворять линейному однородному условию сшивки (6.9). В силу линейности условия (6.9) любая конечная взвешенная сумма базисных функций будет удовлетворять тому же условию сшивки.Означает ли это, что тому же условию сшивки будет удовлетворятьлюбая линейная комбинация базисных функций? Как условие (6.9), наложенное на базисные функции, согласуется с тем, что не все функции пространства L2 (R) удовлетворяют этому условию?6.1.6. Существование уровня в мелкой ямеПусть для рассматриваемого потенциала U (x) выполняются условияU1 = U− = U+ > U0 .

Нам надо доказать, что существует хотя бы однособственное состояние с энергией U1 > E > U0 . Это состояние, как былопоказано выше (см. рис. 6.2), неизбежно будет принадлежать дискретномуспектру.6.2. О СЦИЛЛЯТОРНАЯТЕОРЕМА175В соответствии с вариационным принципом (4.69) нам достаточнопредъявить любое состояние ψп , для которого средняя энергия меньше U1 .Энергия этого состояния даст оценку сверху на энергию основного состояния.

Оно неизбежно попадёт в указанный диапазон, т. к. ниже дна ямы U0уровней быть не может (см. рис. 6.2).В качестве состояния ψп возьмём основное состояние для мелкой симметричной прямоугольной ямы, такой, что она всюду мельче, чем яма U (x):(U1 , x ∈ (a, b),Uп (x) =∀x ∈ R, Uп (x) U (x).U1 − V, x ∈ (a, b),Как было показано выше, дискретное состояние с энергией U1 > Eп > U1 −− V > U0 есть в любой сколь угодно мелкой симметричной прямоугольнойямеE0 < ψп |Ĥ|ψп = ψп |p̂2+ U (x)|ψп =2mp̂2+ Uп (x)|ψп + ψп | U (x) − Uп (x) |ψп < Eп < U1 .= ψп | 2m <0∀xEп<0Таким образом, в любой мелкой яме, удовлетворяющей условию (6.5),неизбежно имеется хотя бы одно связанное состояние с энергией E0 , удовлетворяющей условию U1 > Eп > E0 > U0 .6.2.

Осцилляторная теоремаОсцилляторная теорема позволяет уточнить структуру дискретногоспектра одномерной квантовой системы, давая информацию о поведениинулей собственных состояний.Всякое одномерное состояние дискретного спектра (для гамильтониана вида (6.1)) имеет два нуля на границах области определения волновойфункции: это либо точки ±∞, либо точки, в которых стоят бесконечно высокие стенки, ограничивающие области движения частицы.Помимо нулей на границе могут быть нули внутри области определения волновой функции.

Для рассматриваемых нами потенциалов (удовлетворяющих условиям теоремы существования и единственности решений176ГЛАВА 6обыкновенного дифференциального уравнения) все нули внутри областиопределения являются точками перемены знака волновой функции (собственные волновые функции мы выбираем вещественными).Пронумеруем все дискретные уровни в порядке возрастания энергии,начиная с основного состояния, которому присвоим номер 0.

Будем говорить, что n-е возбуждённое состояние — это состояние номер n, по указанной нумерации. В частности, нулевое возбуждённое состояние — этосостояние номер 0, т. е. основное состояние.Осцилляторная теорема• Число внутренних нулей n-го возбуждённого состояния равно n.• Между каждой парой нулей состояния номер n (включая нули на границе области определения) находится один и только один нуль состояния номер n + 1.Доказывать осцилляторную теорему мы будем по частям.

Читатель может пропустить доказательство (все его пункты помечены звёздочками), нов любом случае знание осцилляторной теоремы полезно при исследованииспектров одномерных систем.6.2.1. Об области применимости теоремы*Применяя осцилляторную теорему, необходимо следить за условиямиеё применимости. Например, одномерная задача может решаться с граничными условиями отличными от обнуления волновой функции на границе.Приведём некоторые контрпримеры.• Если мы будем решать задачу о спектре свободной частицы на отрезке [0, a] с периодическими граничными условиямиψ(0) = ψ(a),ψ (0) = ψ (a),(6.10)то спектр (кроме основного состояния) будет дискретным и двухкратновырожденным (стоячие волны де Бройля: синусы и косинусы с длинойволны, укладывающейся в отрезок целое число раз):1h̄2 kn2, akn = 2πn, n = 1, 2, . .

. ,ψ0 (x) = √ ; En =2ma''ψn+ (x) = a2 cos(kn x), ψn− (x) = a2 sin(kn x).(6.11)E0 = 0,6.2. О СЦИЛЛЯТОРНАЯ177ТЕОРЕМА• Если мы будем решать задачу о спектре свободной частицы на отрезке [0, a] с антипериодическими граничными условиямиψ(0) = −ψ(a),ψ (0) = −ψ (a),то основное состояние станет двухкратно вырожденным:En =h̄2 kn2,2makn = π(2n + 1),n = 0, 1, 2, . . .Собственные функции задаются теми же формулами (6.11). При этомодно из двух основных состояний (ψ0+ ) будет менять знак в точке a2 .• Если мы будем решать задачу о спектре свободной частицы на отрезке [0, a] с периодическими граничными условиями со сдвигом фазы,напримерψ(0) = iψ(a), ψ (0) = iψ (a),то очевидно, что среди собственных функций (бегущих волн де Бройля) не будет ни одной вещественной и ни одной обращающейся в нуль.• Нарушение условий единственности решений стационарных уравнений Шрёдингера с данными граничными условиями физически соответствует тому, что область определения разделена бесконечно высокими стенками на несколько кусков, тогда в пределах каждого кускаволновая функция задаётся независимо.

В этом случае осцилляторнаятеорема применима для волновой функции, локализованной в пределах конкретного куска, но не для их объединения.6.2.2. Нули основного состояния*Покажем, что основное состояние не имеет внутренних нулей, т. е. ононе меняет знак на всей области определения.Пусть ψ0 (ψ0 = 1) — основное состояние. E0 — средняя энергия в основном состоянии. Согласно вариационному принципу (см.

раздел 4.11.2)основное состояние соответствует минимуму средней энергии системы.Поскольку в одномерном случае дискретный спектр невырожден, состояниесо средней энергией E0 единственно с точностью до числового множителя:E0 = ψ0 |Ĥ|ψ0 = ψ1 |Ĥ|ψ1 ,iαψ1 = e ψ0 ,ψ0 |ψ0 = ψ1 |ψ1 = 1α ∈ R.⇒178ГЛАВА 6Состояние, задающееся функцией ψ1 (x) = |ψ0 (x)| = ψ0 (x) sgn(ψ0 (x)),даёт ту же среднюю энергию:5h̄2 ψ1 |Ĥ|ψ1 = ψ1 (x) −ψ1 (x) + U (x)ψ1 (x) dx =2m= ψ0 (x) sgn(ψ0 (x))× h̄2 )*ψ0 (x) sgn(ψ0 (x)) + ψ0 (x) sgn (ψ0 (x)) + U (x)ψ0 (x)sgn(ψ0 (x)) dx =× −2mh̄2 ψ0 (x) + U (x)ψ0 (x) dx = ψ0 |Ĥ|ψ0 = E0 .= ψ0 (x) −2mДобавки, связанные с δ-функцией (sgn ), обнуляются, т.

к. попадают на нулифункции ψ0 (x) и умножаются на значение ψ0 в данных точках.Таким образом, в силу невырожденности дискретных уровней в одномерном случае, состояние ψ1 отличается от исходного состояния ψ0 напостоянный множитель, что возможно только когда ψ0 нигде не меняетзнака.Случай периодических граничных условий**Приведённое доказательство отсутствия нулей у основного состоянияможно модифицировать для случая периодических граничных условий наотрезке (6.10), который выше приводился в качестве контрпримера.Мы не можем заранее утверждать, что основное состояние невырождено, поэтому состояние ψ1 обязано иметь ту же энергию E0 , но оно можетоказаться другим состоянием.Пространство стационарных состояний с энергией E0 — линейное пространство, так что мы можем наряду с ψ0 и ψ1 рассматривать такие функции, какψ+ (x) =ψ0 + ψ1ψ0 − ψ1= ψ0 (x) θ(ψ0 (x)), ψ− (x) == ψ0 (x) θ(−ψ0 (x)).22Здесь θ(x) = sgnx+1— ступенька.