М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику (1156773), страница 38
Текст из файла (страница 38)
ОДНОМЕРНАЯЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ191Условия нормировки имеют видψ|ψ = |f (k)|2 dk = |f˜(x)|2 dx = 1.Волновая функция ψ(x) осциллирует с волновым числом, близким1к k0 , при этом длина волнового пакета δx ∼ δkоценивается из соотношения неопределённостей.Волна с волновым числом k осциллирует во времени с циклическойчастотой ω(k):ei(kx−ω(k) t) .В частности, для свободной нерелятивистской частицыh̄k2E(k)=.h̄2mДля исходного волнового пакета получаем1ψ(x, t) = √ei(kx−ω(k) t) f (k − k0 ) dk =(6.23)2π1= ei(k0 x−ω(k0 ) t) √ei(k x−[ω(k0 +k )−ω(k0 )] t) f (k ) dk .2πω(k) =Предположим, что функция f (k ) достаточно быстро спадает с ростомаргумента, чтобы разность частот можно было выразить через производную:dω ω(k0 + k ) − ω(k0 ) ≈k = v(k0 ) k . dk k0ω0dω dk k0— функция с размерностью скорости, которуюЗдесь v0 = v(k0 ) =далее мы идентифицируем как групповую скорость (для свободной частицыpv(k) = h̄km = m)1i(k0 x−ω0 t)√eik (x−v0 t) f (k ) dk =ψ(x, t) ≈ e2π(6.24)f˜(x−v0 t)= f˜(x − v0 t) ei(k0 x−ω0 t) .Таким образом, волновой пакет движется, не меняя формы11 , с групповой скоростью v0 = v(k0 ).11 Чтобыучесть расплывание волнового пакета, разность частот ω(k0 + k ) − ω(k0 ) надо192ГЛАВА 6Рассеяние волнового пакета*Точно также как выше (6.21), мы построили волновой пакет из монохроматических волн, построим с помощью той же функции f (k − k0 )суперпозицию волновых функций, описывающих рассеяние почти монохроматических волн положив U− = 0:1ψ(x) = √ψk (x) f (k − k0 ) dk,(6.25)2πψk (x) +2m(E(k)h̄2− U (x))ψk (x) = 0,ψk (x) → eikx + r(k) e−ikx ,ik (k)xψk (x) → d(k) e,x → −∞,x → +∞,h̄ k, k (k) = h̄1 2m(E(k) − U+ ) =E(k) =2m|f (k)|2 dk = |f˜(x)|2 dx = 1.2 2&k2 −2mU+,h̄2Если теперь учесть зависимость от времени, дающую для состоянияс энергией E(k) множитель e−iω(k) t , ω(k) = E(k)h̄ , мы получим1ψ(x, t) = √ψk (x) e−iω(k) t f (k − k0 ) dk.(6.26)2πИсследуем асимптотическое поведение ψ(x, t) при x → ±∞.Запишем амплитуды отражения и прохождения в следующем виде:r(k) = |r(k)| eiα(k) ≈ |r(k)| ei(α0 +α1 (k−k0 )) ≈ r0 eiα1 (k−k0 ) ,d(k) = |d(k)| eiβ(k) ≈ |d(k)| ei(β0 +β1 (k−k0 )) ≈ d0 eiβ1 (k−k0 ) .Мы пренебрегли изменением абсолютной величины амплитуд, но учли изменение их фазы до первого порядка по k − k0 .12Проделывая для двух слагаемых асимптотики x → −∞ преобразования, аналогичные преобразованиям, приведшим к бегущему волновомуразложить до второй производной по k , чтобы учесть дисперсию (зависимость от волновогочисла) групповой скорости.12 Если учесть зависимость |r| и |d| от k, то это приведёт лишь к искажению формы волнового пакета и необходимости усреднения R(k) и D(k) с весом |f (k − k0 )|2 .6.3.
ОДНОМЕРНАЯЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ193пакету (6.24), получаемx → −∞,(6.27)1(eikx + r(k) e−ikx ) e−iω(k) t f (k − k0 ) dk =ψ(x, t) → √2π1=√ei(kx−ω(k) t) f (k − k0 ) dk +2π1+√r0 ei(−kx−ω(k) t+α1 (k−k0 )) f (k − k0 ) dk =2π= f˜(x − v0 t) ei(k0 x−ω0 t) + r0 f˜(α1 − x − v0 t) ei(−k0 x−ω0 t) . падающий пакетотражённый пакетМы видим, что при достаточно больших отрицательных значениях x, когдапотенциал уже можно считать константой, падающий волновой пакет, чьяформа описывается функцией f˜(x − v0 t), движется направо по закону x == v0 t. Через рассматриваемую область этот пакет проходит при большихотрицательных временах.Вероятность обнаружить частицу в падающем пакете равна 1:02|ψ(x, t → −∞)| dx =2|ψ(x, t)| dx =|f˜(x)|2 dx = 1.−∞Отражённый пакет имеет форму, описывающуюся функцией f˜(−x −− v0 t + α1 ), он движется через ту же область больших отрицательных xпри больших положительных временах по законуα1x = α1 − v0 t = −v0 t −.v0Вероятность обнаружить частицу в отражённом пакете равна |r0 |2 , т.
е.коэффициенту (вероятности) отражения:0|ψ(x, t → +∞)|2 dx =−∞= |r0 |2|r0 f˜(−x)|2 dx =|f (k − k0 )|2 dk = |r02 | = R0 .194ГЛАВА 6Функцию k (k) мы также разложим до первого порядка по k − k0 :dk (k − k0 ) = k1 + Ck2 ,k (k) = k (k0 ) + dk k=k0 k1k2Ckk0dk = = .C=dk k=k0k k=k0k1Проделывая для x → +∞ аналогичные преобразования, получаемx → +∞,(6.28)1d(k) eik (k) x e−iω(k) t f (k − k0 ) dk ≈ψ(x, t) → √2πi(k1 x−ω0 t) 1√≈ed0 ei(C(k−k0 ) x−[ω(k)−ω0 ] t+β1 (k−k0 )) f (k − k0 ) dk ≈2πi(k1 x−ω0 t) 1√≈ed0 eik2 (C x−v(k0 ) t+β1 ) f (k2 ) dk2 =2π= d0 f˜(Cx − v(k0 ) t + β1 ) ei(k1 x−ω0 t) =прошедшая волнаk0(x − v1 t) + β1 ei(k1 x−ω0 t) ,k1dω v(k0 )dω dk = dk =.v1 = Cdk k =k1dk= d0 f˜(6.29)k =k1Таким образом,прошедшийпакет имеет форму, описывающуюсяk0˜функцией f k1 (x − v1 t) + β1 , которая сжата по координате, по сравнению с функцией f˜, в kk01 раз, он движется через область больших положительных x при больших положительных временах по законуk1β1 k1β1t−=vt−.x = v1 t − β1= v11k0v1 k0v0Вероятность обнаружить частицу в прошедшем пакете равна |d|2т.
е. коэффициенту (вероятности) прохождения:+∞|ψ(x, t → +∞)|2 dx =02d0 f˜ k0 x dx = |d0 |2 k1 = D0 .k1k0k1k0 ,6.3. ОДНОМЕРНАЯЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ195Таким образом, мы проверили, что определённые ранее коэффициенты отражения и прохождения действительно определяют вероятности отражения и прохождения частицы для почти монохроматического волновогопакета.Если продолжить законы движения волновых пакетов на малые времена, то окажется, что через точку x = 0 они проходят в ненулевые моментывремени, αv01 и βv01 .Если α1 (v0 − v1 ) + 2v1 β1 = 0, тогда три прямые, изображающие движение трёх волновых пакетов, пересекаются в одной точке и мы можемобратить эти задержки в нуль сдвигом начала координат по x, но в общемслучае эти задержки не могут быть обнулены.Таким образом, рассмотрев рассеяние волновых пакетов, мы не только проверили постановку одномерной задачи рассеяния, но и уточнили её.Теперь помимо амплитуд и коэффициентов отражения и прохождения мыможем определять времена (или длины) задержки волновых пакетов прирассеянии.
Длины задержки можно выразить следующими формуламиα1 (k) = Im1 dr(k),r ∗ (k) dkβ1 (k) = Im1 dd(k).d∗ (k) dkСоответствующие времена получаются делением на групповую скоростьпри x → −∞, т. е. v0 = h̄km.Далее мы рассмотрим эти задержки на примерах рассеяния на ступеньке и δ-яме.Пример: задержка волновых пакетов, рассеянных ступенькой*Вернёмся к рассмотренному ранее процессу рассеяния волнового пакета на ступеньке. Амплитуды прохождения и отражения имеют вид (6.17)d=2k,k + kr=k − k,k + kE > V,k, k ∈ R.Для энергии выше высоты ступеньки обе амплитуды вещественны, т. е. прошедший и отражённый волновые пакеты выходят из начала координат беззадержки.Для энергии ниже высоты ступеньки d надо положить равным нулю,а амплитуды r можно получить аналитическим продолжением:d = 0,r=k − kk − iκ,=k+kk + iκE < V,k, κ ∈ R,196ГЛАВА 6&'2mV2 =κ=2m(V − E) =−kκ21 − k2 ,h̄2k − i κ21 − k212mVκ21 =,r∗ = ,,r(k) =rh̄2k + i κ21 − k2√k=2mE,1h̄1h̄α1 (k) = Imdrκ41 + 4κ21 k2 − 4k41 dr=Imr=2.r ∗ dkdkκ41 κ5040302010000.20.40.60.81Рис.
6.6. α1 (k) — длина задержки для волны, отражённой от ступеньки. Единицаизмерения длины — κ11 .Для высокой ступеньки (κ1 k) получаемα1 (k) ≈2.κТо есть задержка отражённого волнового пакета соответствует глубине проникновения волны в потенциальный барьер.Пример: задержка волновых пакетов, рассеянных δ-ямой*Вернёмся к рассмотренному ранее процессу рассеяния волнового пакета на δ-яме.
Амплитуды прохождения и отражения имеют вид (6.18)d=α1 = κ0k,k − iκ0κ20 − 3k2,(k2 + κ20 )2r=iκ0.k − iκ0β1 = −κ0k2 − 3κ20.(k2 + κ20 )26.3. ОДНОМЕРНАЯЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ19732.521.510.50012k345Рис. 6.7. Длина задержки для волны, отражённой (нижний график) и прошедшей(верхний график) через δ-яму. Единица измерения длины — κ10 .В пределе низкой энергии (|κ0 | k) задержки определяются длиной затухания волновой функции в связанном состоянии δ-ямы:α1 ≈1,κ0β1 ≈3.κ0В пределе высокой энергии (|κ0 | k) мы получаем уже не задержки, а опережения:κ0κ0α1 ≈ −3 2 ,β1 ≈ − 2 .kk6.3.7. Резонансное рассеяние*Процесс рассеяния на потенциале можно рассматривать как интерференцию падающей волны и волн, отражённых (возможно многократно)от неоднородностей потенциала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
