М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику (1156773), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Соотношения неопределённостей7.2.1. Соотношения неопределённостей и (анти)коммутаторыДля пары величин, описывающихся некоммутирующими эрмитовымиоператорами Â и B̂, невозможно задать общий базис собственных функций,7.2. С ООТНОШЕНИЯНЕОПРЕДЕЛ ЁННОСТЕЙ205т. е. базис состояний, в каждом из которых обе величины однозначно определены. Это накладывает принципиальные ограничения на одновременнуюизмеримость Â и B̂.Соотношение неопределённостей позволяет охарактеризовать эти ограничения количественно через среднеквадратичные отклонения.Исследуем величину следующего вида:X = (δA)2 (δB)2 = (Â − Â)2 (B̂ − B̂)2 .Пусть |ψ — некоторое произвольное нормированное на единицу состояние.Определим для данного |ψ смещённые операторы:Â0 = Â − ψ|Â|ψ,B̂0 = B̂ − ψ|B̂|ψ.Для коммутаторов ([·, ·]) и антикоммутаторов ([·, ·]+ ) мы можем написатьследующие очевидные соотношения:[Â, B̂] = iĈ = 0,Ĉ = Ĉ † ,[Â0 , B̂0 ] = Â0 B̂0 − B̂0 Â0 = [Â, B̂] = iĈ,[Â0 , B̂0 ]+ = Â0 B̂0 + B̂0 Â0 = D̂0 ,[Â, B̂]+ = ÂB̂ + B̂ Â = D̂,ψ|D̂0 |ψ = ψ|D̂|ψ − 2ψ|Â|ψψ|B̂|ψ.Теперь X расписывается как произведение скалярных квадратов, для которого существует оценка снизу через скалярное произведение:3X = ψ|Â20 |ψψ|B̂02 |ψ = Â0 ψ|Â0 ψB̂0 ψ|B̂0 ψ |Â0 ψ|B̂0 ψ|2 = |ψ|Â0 B̂0 |ψ|2 .Произведение операторов расписывается через коммутатор и антикоммутатор:11([Â0 , B̂0 ] + [Â0 B̂0 ]+ ) = (D̂0 + iĈ),2211ψ|D̂0 |ψ + iψ|Ĉ|ψ .ψ|Â0 B̂0 |ψ = ψ| 2 (D̂0 + iĈ)|ψ =2Â0 B̂0 =3 Мы применяем неравенство Коши – Буняковского, согласно которому |ψ|φ| ψ · φ,причём неравенство превращается в равенство тогда и только тогда, когда ψ и φ коллинеарны.206ГЛАВА 7Поскольку операторы Ĉ и D̂0 эрмитовы, средние от них вещественны:21 X |ψ|Â0 B̂0 |ψ|2 = ψ|D̂0 |ψ + iψ|Ĉ|ψ =41ψ|D̂0 |ψ2 + ψ|Ĉ|ψ2 .=4Соотношение1ψ|D̂0 |ψ2 + ψ|Ĉ|ψ2 ,4112т.
е. (δA) (δB)2 [Â0 , B̂0 ]+ 2 + i[Â, B̂]2 ,44X(7.1)мы будем называть обобщённым соотношением неопределённостей.Обычно используют более слабое соотношение неопределённостейX1ψ|Ĉ|ψ2 ,4т. е.(δA)2 (δB)2 1i[Â, B̂]2 .4(7.2)Для пары из оператора координаты и соответствующей компоненты импульса [x̂, p̂] = ih̄, и мы получаем(δx)2 (δp)2 14h̄2 .Обобщённое соотношение неопределённостей (7.1) обычно переписывается через коэффициент корреляции1[A0 , B0 ]+ r = 2=(δA)2 (δB)2 12[A, B]+ − AB.(δA)2 (δB)2 Перенеся антикоммутатор в левую часть неравенства и выразив его через r, выводим обобщённое соотношение неопределённостей в виде, первоначально полученном Робертсоном и Шрёдингером в 1930 году:(δA)2 (δB)2 1 i[Â, B̂]2.4 1 − r2(7.3)7.2.2.
Так что же мы посчитали? (ф)Так что же мы посчитали? Каков физический смысл полученных соотношений неопределённостей?7.2. С ООТНОШЕНИЯНЕОПРЕДЕЛ ЁННОСТЕЙ207Во-первых, мы более аккуратно, с учётом всех числовых констант,уточнили и обобщили выводы раздела 2.7.3 «Преобразование Фурье и соотношения неопределённостей». То есть связали между собой среднеквадратичную ширину волновых пакетов по переменным Â и B̂. Тем самым мыполучили ограничение на то, какие вообще бывают состояния, без рассмотрения какого-либо измерения.Во-вторых, мы ответили на вопрос об экспериментальных неопределённостях, но эти неопределённости соответствуют иному случаю, чемслучай микроскопа Гайзенберга.Рассматривая микроскоп Гайзенберга, мы исследовали случай последовательного измерения координаты и импульса для одной и той же системыи оценивали разброс результатов.
То есть мы рассматривали ансамбль одинаковых систем в одинаковом начальном состоянии, над каждой из которыхвыполняется последовательно измерение координаты и импульса.Здесь мы оцениваем квантовомеханический разброс (среднеквадратичные отклонения) наблюдаемых  и B̂ для одного и того же состояния. Этосоответствует тому, что мы рассматриваем ансамбль одинаковых системв одинаковом начальном состоянии, над каждой из которых выполняетсяизмерение  или B̂ (например, измерение координаты или импульса). Тоесть над каждой системой выполняется измерение только одной из двухнекоммутирующих величин, и одно измерение «не мешает» (не изменяет состояние) для другого, поскольку другое измерение производится наддругой (или заново приготовленной) системой.7.2.3. Когерентные состоянияНаводящие соображения*Исследуем, при каких условиях обобщённое соотношение неопределённостей (7.1) и обычное соотношение неопределённостей (7.2) могутобращаться в равенства.Для того, чтобы обобщённое соотношение неопределённостей (7.1)стало равенством, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие2Â0 ψ|Â0 ψB̂0 ψ|B̂0 ψ = Â0 ψ|B̂0 ψ ,что равносильно тому, что векторы Â0 |ψ и B̂0 |ψ пропорциональны другдругу.208ГЛАВА 7Таким образом, необходимое и достаточное условие обращения обобщённого соотношения неопределённостей в равенство:(αÂ0 + β B̂0 )|ψ = 0⇔(α + β B̂)|ψ = Z|ψZ ∈ C.(7.4)Состояния (7.4) мы будем называть обобщёнными когерентными состояниями для пары операторов Â, B̂.Для того, чтобы обычное соотношение неопределённостей обратилосьв равенство, в дополнение к (7.4) следует потребовать обнуления среднегоот антикоммутатора:ψ|[Â0 , B̂0 ]+ |ψ = 0,(αÂ0 + β B̂0 )|ψ = 0 ⇒ (αÂ0 + β B̂0 )2 |ψ = 0 ⇒ψ|α2 Â20 + β 2 B̂02 + αβ[Â0 , B̂0 ]+ |ψ = 0.Получаем, что следующие выражения должны быть равны нулю:α2 Â20 + β 2 B̂02 = −αβ[Â0 , B̂0 ]+ = 0.Â20 и B̂02 неотрицательны, если они отличны от нуля, тоα2B̂02 =−.β2Â20 Таким образом, отношение коэффициентов оказывается чисто мнимым:,B̂02 α= iγ0 = ±i,γ0 ∈ R.βÂ20 Подставив в уравнение (7.4), получаем (дальше мы не будем использоватьуравнение на γ0 , нам лишь надо было угадать вид уравнения на ψ),B̂02 (iγ0 Â0 + B̂0 )|ψ = 0, γ0 = ±.(7.5)Â20 Уравнение когерентных состоянийРассмотрим произвольное состояние вида|χ = (iγ Â0 + B̂0 )|ψ,γ ∈ R.7.2.
С ООТНОШЕНИЯНЕОПРЕДЕЛ ЁННОСТЕЙ2090 χ|χ = ψ|(−iγ Â0 +B̂0 )(iγ Â0 +B̂0 )|ψ = ψ|γ 2 Â20 −iγ[Â0 , B̂0 ]+B̂02 |ψ.Таким образом, для любого вещественного γγ 2 Â20 + γĈ + B̂02 0.Квадратный трёхчлен в левой части неравенства имеет следующие корни:'−Ĉ ± Ĉ2 − 4Â20 Â2B γ1,2 =.2Â20 Из того, что неравенство выполняется для всех вещественных γ, следует,что эти корни либо комплексные, либо совпадающие, условием чего является неположительность подкоренного выражения, т. е.
соотношение неопределённостей:Ĉ2 − 4Â20 Â2B 0.Таким образом, мы ещё раз вывели соотношение неопределённостей.Если (iγ Â0 + B̂0 )|ψ = 0, то это автоматически означает, что γ = γ1 == γ2 ,4 т. е. соотношение неопределённостей обращается в равенство:(iγ Â0 + B̂0 )|ψ = 0⇔(iγ Â + B̂)|ψ = Z|ψ, Z ∈ C, γ ∈ R. (7.6)Состояния (7.6) мы будем называть когерентными состояниями для парыоператоров Â, B̂.
Такие состояния оказываются собственными состояниями неэрмитовых операторов вида iγ Â + B̂.Вопрос о существовании когерентных состояний для той или иной пары операторов мы оставляем открытым. Для пары операторов координатаимпульс мы ещё вернёмся к нему, в процессе изучения гармоническогоосциллятора.7.2.4. Соотношения неопределённости время-энергия.
. . время — это то, что измеряется часами.Г. Бонди, «Гипотезы и мифы в физической теории»С точки зрения преобразования Фурье, пара переменных время-частота должна вести себя так же, как пара переменных координата-волновое4 Мыизбавились от отдельного условия на γ0 .210ГЛАВА 7число. Или если умножить частоту и волновое число на постоянную Планка, то пара время-энергия должна быть аналогична паре координата-импульс.Эту же аналогию можно ожидать исходя из специальной теории относительности, в которой время — дополнительная координата, энергия —компонента 4-мерного импульса по времени, частота — компонента 4-мерного волнового вектора по времени.Однако рассматриваемая нами (гамильтонова) формулировка квантовой механики предполагает выделение времени из числа пространственновременных координат.
В рассматриваемом формализме время, в отличиеот пространственных координат, — не наблюдаемая (эрмитов оператор),а некоторый числовой параметр. Пространственные координаты проквантовались (стали операторами), а время осталось классическим (числовымпараметром).Описание времени как числового параметра не позволяет описать процесс его измерения. «Время — это то, что измеряется часами» (см. эпиграфк данному разделу). То есть измерение времени — это измерение состояниячасов, а соответствующая наблюдаемая («физическое время»), например, —координата стрелки часов.Оператор «физического времени по идеальным часам» τ̂ должен удовлетворять условию5dτ̂= 1 ⇔ [τ̂ , Ĥ] = ih̄.(7.7)dtДля реальных часов соотношение (7.7) можно заменить более слабым соотношением, представляющим его ограничение на интересующее5 Данное замечание предназначено исключительно тем читателям, которые знакомы с ковариантными и контравариантными векторами применительно к специальной теории относительности.
Векторы и ковекторы в данном случае следует понимать по отношению к линейным преобразованиям координат.∂Если «сократить» уравнение Шрёдингера Ĥψ = ih̄ ∂tψ на волновую функцию, то мыполучим для гамильтониана выражение, аналогичное выражению для импульса с противо∂∂положным знаком: Ĥ = ih̄ ∂t. Формальное вычисление коммутатора [t, ih̄ ∂t] = −ih̄ даётпротивоположный (по сравнению с коммутатором координата-импульс) знак. Как это совместить с [τ̂ , Ĥ] = +ih̄? Дело в том, что канонические коммутационные соотношения пишутсядля обобщённых координат и импульсов. Обобщённые импульсы в теоретической механикеpα = ∂∂Lследует считать компонентами ковариантного вектора. Однако 4-вектор энергииq̇ αимпульса с компонентами pi = (E, px , py , pz ) — это контравариантный вектор.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
