М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику, страница 39

При этом в зависимости от соотношениядлин волн и расстояний между неоднородностями (характерных длин потенциала) интерференция может усиливать или ослаблять отражённую илипрошедшую волну. В результате коэффициенты отражения и прохождениямогут осциллировать при изменении энергии (и волнового числа) падающей волны.Проще всего анализировать подобную ситуацию для случая кусочнопостоянного потенциала, когда все неоднородности являются точечными:представляют собой скачки потенциала.Пусть при данной энергии E волновое число в области (x0 , x0 ++ a) длины a с локально постоянным потенциалом Ua составляет k =198ГЛАВА 6= h̄1 2m(E − Ua ).

Решение стационарного уравнения Шрёдингера в данной области записывается в видеψa (x) = A cos(kx) + B sin(kx).Если в рассматриваемой области укладывается целое число волн, то внезависимости от A и B значения волновой функции и её первой производнойна концах интервала совпадают:ka = 2πn,n ∈ Z,ψa (x0 ) = ψa (x0 + a),ψa (x0 ) = ψa (x0 + a).Если мы будем сшивать волновую функцию слева и справа от рассматриваемой области, то саму область (x0 , x0 + a) можно удалить, напрямую склеивобласти (−∞, x0 ) и (x0 + a, +∞). Волновая функция вне вырезанного интервала при этом не изменится. В частности, не изменятся коэффициентыотражения и прохождения.Если в рассматриваемой области укладывается полуцелое число волн,то вне зависимости от A и B значения волновой функции и её первойпроизводной на концах интервала отличаются только знаком:ka = π(2n+1),n ∈ Z,ψa (x0 ) = −ψa (x0 +a),ψa (x0 ) = −ψa (x0 +a).Если мы будем сшивать волновую функцию слева и справа от рассматриваемой области, то саму область (x0 , x0 + a) можно удалить, напрямую склеив области (−∞, x0 ) и (x0 + a, +∞), поменяв при этом знакволновой функции в одной из этих областей.

Волновая функция с одной стороны вырезанного интервала при этом не изменится, а с другой —поменяет знак. Коэффициенты отражения и прохождения снова не изменятся.Таким образом, при рассмотрении одномерной задачи рассеяния в области постоянного потенциала можно убрать или добавить целое числополуволн без изменения коэффициентов отражения и прохождения.В частности, это означает, что при рассеянии на симметричной прямоугольной потенциальной яме (6.6) коэффициент отражения должен обращаться в нуль (при вырезании участка (− a2 , + a2 ) яма как бы исчезает) привыполнении следующего условия:k a =a2m(E + V ) = πn,h̄n ∈ N.6.3. ОДНОМЕРНАЯ199ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ10.80.60.40.2000.20.40.60.81Рис.

6.8. R(E) для прямоугольной ямы при a = 30, h̄ = m = V = 1.Действительно, если проделать соответствующие выкладки13 , то длятакой ямы (см. рис. 6.8)R==(2k k)2(k2 − k2 )2 sin2 (k a)=cos2 (k a) + (k2 + k2 )2 sin2 (k a)2mVsin2 (k a)h̄2(2k k)2 cos2 (k a) + (k2 + k2 )2sin2 (k a).При указанных (резонансных) условиях R = 0.При k a ≈ π(n + 12 ) также наблюдается резонанс, но не для прохождения, а для отражения.При работе с кусочно-постоянными потенциалами наличие резонансного рассеяния можно использовать для проверки полученного ответа.13 Читательможет проделать это в качестве упражнения.ГЛАВА 7Эффекты теории измеренийЕсли квантовая теория не потрясла тебя —ты её ещё не понял.Нильс Бор W7.1.

Классическая (колмогоровская) вероятность (л*)Предполагается, что читатель имеет некоторое (на физическом уровне строгости) представление о теории вероятностей. Однако,прежде чем обсуждать тонкие различия квантовых и классических вероятностей, полезнострого сформулировать, что же такое классическая вероятность.На протяжении столетий понятие вероятности формулировалось на полуинтуитивномуровне, как частота случайных событий, что Рис. 7.1.

Андрей Николаевичотсылало нас к плохо определённому поня- Колмогоров (1903–1987). Wтию случайности. Многие математики пытались формализовать это определение.На сегодняшний день мы имеем теорию вероятностей, основные понятия которой были сформулированы А. Н. Колмогоровым в 1933 году вообщебез отсылок к случайности1 , вместо этого вероятность рассматривается какмера (обобщение площади, объёма, массы и вообще количества) на некотором вероятностном пространстве.1 Интересно, что уже после создания аксиоматики теории вероятностей, А.

Н. Колмогоровисследовал возможность формализации понятия случайности, действуя в русле старой, доколмогоровской теории вероятностей. При этом были получены интересные результаты, но задачатак и не была полностью решена.202ГЛАВА 7Интересно, что к моменту создания квантовой теории у математиков ещё не было математически последовательной аксиоматической теории вероятностей. Лишь после возникновения квантовой теории, для которой понятие вероятности является центральным, была создана классическая аксиоматика теории вероятности.

При этом классическое пониманиевероятности полезно, но в некоторых случаях недостаточно для квантовойтеории2 .7.1.1. Определение вероятностного пространства**Вероятностное пространство — это тройка(Λ, Σ, P ),состоящая из непустого множества Λ — пространство элементарных событий, некоторой сигма-алгебры Σ, состоящей из подмножеств множества Λ — множество событий,Λ, ∅ ∈ Σ;∀A, B ∈ Σ : A ∩ B, A ∪ B ∈ Σ,+∀Ak ∈ Σ, k ∈ N :Ak ∈ Σ;k∈Nи вероятностной меры (вероятности) P :P : Σ → [0, 1],P (Λ) = 1,P (∅) = 0.∀A, B ∈ Σ, A ∩ B = ∅ :P (A ∪ B) = P (A) + P (B),⎛⎞+∀Ak ∈ Σ, k ∈ N, k = k ∈ N, Ak ∩Ak = ∅ : P ⎝Ak ⎠ =P (Ak ).k∈Nk∈N7.1.2. Смысл вероятностного пространства*Обсудим смысл введённых выше понятий.

Мы имеем пространствоэлементарных событий Λ, однако может оказаться, что некоторые из этихсобытий имеют нулевую вероятность, но конечная вероятность может бытьприписана некоторым диапазонам пространства Λ. Это типичная ситуациядля непрерывного распределения вероятностей.2 К сожалению, гуманитарная культура в понимании вероятности и случайности в массесвоей застряла в наивном классическом детерминизме, не усвоив даже классической вероятности.

См. 2.5.2 «Ересь аналитического детерминизма и теория возмущений (ф)».7.1. К ЛАССИЧЕСКАЯ ( КОЛМОГОРОВСКАЯ )ВЕРОЯТНОСТЬ ( Л *)203По этой причине, помимо пространства элементарных событий Λ, вводится множество событий Σ, для которых определено значение вероятности. События можно совмещать (пересекать, на языке теории множеств)и объединять. Причём объединять можно как конечные, так и счётные наборы событий. Допустимость таких операций заложена в определение Σ.Мера P — это и есть вероятность. Она ставит в соответствие событиямчисла от 0 до 1, причём при объединении (конечном или счётном) непересекающихся (взаимно исключающих) событий их вероятности складываются.7.1.3. Усреднение (интегрирование) по мере*Функция на вероятностном пространстве называется случайной величинойA : Λ → R.С помощью вероятностной меры P мы можем определить интегралпо пространству Λ, который задаёт среднее соответствующей случайнойвеличины:A = A(λ) P (dλ).ΛПри этом мы можем понимать это выражение как предел интегральныхсумм (интеграл Лебега), в которых P (dλ) — мера («длина») бесконечнокороткого интервала:P (dλ) = P (λ, λ + dλ] .Такой интеграл (если мы умеем брать обычные интегралы по Λ) можетбыть записан как сумма по элементарным событиям с ненулевой вероятностью и интеграл с некоторым весом (λ) по непрерывной части распределения вероятностей:A(λ) P (dλ) =A(λ) P ({λ}) + A(λ) (λ) dλ.Λλ∈Λ1Λ2Читатель, уже знакомый с квантовой механикой, может легко узнать здесьдискретный спектр Λ1 и непрерывный спектр Λ2 .

Множества, состоящиеиз одной точки имеют ненулевую вероятность, если эта точка принадлежит Λ1 .7.1.4. Вероятностные пространства в квантовой механике (ф*)В квантовой механике вероятностное пространство сопоставляетсякаждому процессу измерения. При этом оно зависит не только от текущего204ГЛАВА 7состояния системы (волновой функции ψ или матрицы плотности ρ̂), нои от измеряемой наблюдаемой Â.Для каждой наблюдаемой мы можем решить спектральную задачуи получить набор собственных чисел Λ, который является пространствомэлементарных событий, при измерении данной наблюдаемой. Пространство Σ порождается (получается с помощью пересечения и счётного объединения) из всевозможных открытых и замкнутых интервалов на Λ ⊂ R.Также при решении спектральной задачи мы получаем набор проекторов на собственные подпространства, соответствующие каждому из собственных чисел λ. Точнее (особенно при наличии непрерывного спектра)говорить не о наборе проекторов, а о проекторнозначной мере P̂ (см.

раздел 5.3.1), которая сопоставляет каждому «хорошему» подмножеству L ∈ Σпроектор на объединение собственных пространств для всех λ ∈ L.Вероятностная мера P (уже без шляпки!) получается усреднением P̂по квантовому состоянию (ψ или ρ):P (L) = ψ|P̂ (L)|ψилиP (L) = tr(P̂ (L) ρ̂).Среднее (совпадающее с квантовым средним) определяется как интеграл от собственного числа по этой вероятностной мере:ψ|Â|ψ = λ P (dλ) = λ ψ|P̂ (dλ)|ψ,ΛΛÂρ = tr(Â ρ̂) =λ P (dλ) =Λλ tr(P̂ (dλ) ρ̂).ΛПринципиально важно, что вероятностные пространства, возникающие в квантовой механике, зависят от измеряемой величины. Как следуетиз нарушения неравенства Белла, определить вероятностное пространствобез использования измеряемой величины в рамках локальной теории невозможно.7.2.