М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику, страница 23

При этомотображение записалось как линейное отображение одного векторного пространства на другое с ядром, задаваемым скалярными произведениями базисных векторов двух наборов друг на друга ξm |φx . Это ядро имеетвполне конкретный смысл и является, вообще говоря, обобщённой функцией от m и x. Как обобщённая функция ξm |φx может не иметь определённого значения при каких-то значениях переменных, но имеет смыслкак форма записи линейного отображения. Даже если значение функцииξm |φx при каких-то значениях m и x из непрерывного спектра определено, интеграл, формально соответствующий скалярному произведениюξm |φx может расходиться.

Например, скалярное произведение двух волнде Бройля, отвечающих различным значениям импульса в одномерном случае сводится к пределу, который не существует, но которому мы формальноприписываем нулевое значение:+∞+∞ip xip2 xi(p2 −p1 )x− h̄1h̄ψp1 |ψp2 =ee h̄ dx =edx =−∞−∞+Ri(p2 −p1 )xh̄edx = 0.= limR→+∞−R21 R( p2 −p)h̄sin(p2 −p1 )/h̄(4.39)4.6. Б АЗИСЫВ ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ101Замена базиса и унитарные операторы*Мы описали замену базиса как отображение из одного векторного пространства в другоеG : H1 → H2 .Здесь H1 и H2 — два векторных пространства, элементами которых являются наборы компонент вектора состояния из пространства H по базисамномер 1 и номер 2.

Конечно, пространства H, H1 и H2 одинаковы (изоморфны), но иногда бывает полезно различать сам вектор состояния и егопредставление через набор компонент.Если оба векторных пространства H1 и H2 «устроены» одинаково, т. е.если мы можем пронумеровать векторы дискретного спектра обоих базисов и установить между ними взаимно-однозначное соответствие, пронумеровать векторы непрерывного спектра обоих базисов и также установитьмежду ними взаимно-однозначное соответствие, то такая одинаковая нумерация устанавливает естественное отображение между элементами обоихвекторных пространств:J : H1 → H2 ,J −1 : H2 → H1 .При этом у нас появляется возможность рассматривать те же формулы некак замену базиса (отображение вектора из H1 в H2 ), а как преобразование вектора, т.

е. отображение вектора из H1 на другой вектор того жепространства H1 :Û = J −1 G : H1 → H1 .Поскольку такое преобразование взаимно-однозначно (⇒обратимо)и сохраняет скалярное произведение (оба базиса одинаково нормированы),то оно называется унитарным преобразованием и описывается унитарнымоператором Û .Наоборот, если M1 : H → H1 задаёт компоненты вектора состоянияпо некоторому базису, а Û : H → H — унитарный оператор, то M2 == M1 Û : H → H1 задаёт компоненты вектора состояния по новому базису.Для любого базиса любой унитарный оператор задаёт некоторую замену базиса на новый базис, «устроенный» так же как исходный, и наоборот, любая замена базиса, при которой оба базиса «устроены» одинаково, задаёт унитарный оператор.Унитарное преобразование — обобщение поворота, а унитарныйоператор — обобщение матрицы поворота.102ГЛАВА 4Если базисы «устроены» различно, например в одном векторы нумеруются дискретным индексом, а в другом — непрерывным, то такую заменубазиса нельзя естественным образом представить как унитарное преобразование12 .Преобразование ФурьеРассмотрим пространство L2 (R) и базис, состоящий из волн де Бройля(состояний с определённым импульсом h̄k):1ξk (x) = √ eikx = φx |ξk ,2πk ∈ R.Здесь φx0 (x) = δ(x−x0 ) — волновые функции исходного базиса (состоянияс определённым значением координаты x0 ).Переход к новому базису соответствует преобразованию Фурье.

Этотбазис является ортонормированным, т. е.ξk |ξl = δ(k − l).Хотя матричный элемент ξk |ξl является обобщённой функцией, при k = lона имеет хорошо определённое (нулевое) значение, однако соответствующий интеграл+∞1ξk |ξl =ei(l−k)x dx2π−∞расходится (см. (4.39)). При стремлении к бесконечности пределов интегрирования+R2 sin((l − k)R),ei(l−k)x dx =l−kR → +∞−Rзначение интеграла колеблется, но не стремится к какому-либо пределу. Мыможем домножить подынтегральное выражение на какой-либо регуляризующий фактор, например e−α|x| , после чего перейти к пределу α → +0,12 В некоторых книгах унитарными операторами называют также отображение одного пространства на другое.

Однако в данном пособии унитарные преобразования понимаются какотображение пространства на себя, для того чтобы любое преобразование можно было бырассматривать двояким образом: как активное преобразование (преобразование вектора), либо как пассивное преобразование (замена базиса).4.6. Б АЗИСЫВ ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ103но смысл формулы ξk |ξl = δ(k − l) не в этом, а в том, что скалярноепроизведение для функций и их преобразования Фурье записывается одинаково:+∞+∞∗φ|ψ =φ (x)ψ(x)dx =φ∗ (k)ψ(k)dk,−∞+∞∗−∞eikxφ (x) √ dx,2πφ (k) = φ|ξk =−∞∗+∞+∞ψ(k) = ξk |ψ =−∞+∞ψ(x)|φx dx =Поскольку |ψ =e−ikx√ ψ(x)dx.2π−∞ψ(k)|ξx dk мы можем удобно за−∞писать друг через друга ψ(k) = ξk |ψ и ψ(x) = φx |ψ, используя ядро ξk |φx = φx |ξk ∗ :+∞ξk |φx ψ(x)dx,ψ(k) =+∞ψ(x) =−∞−∞eikx√ ψ(k)dk =2π+∞φx |ξk ψ(k)dk.−∞Если величина x безразмерна, то k тоже безразмерна и мы можем рассматривать преобразование Фурье по своему выбору как замену базиса, либокак унитарное преобразование.

Если же x и k размерны, то мы можем рассматривать преобразование Фурье как замену базиса, но не можем рассматривать их как унитарное преобразование, впрочем, мы всегда можем обезразмерить переменные, разделив x и умножив k на некоторую константу x0с размерностью x.Часто в физике в качестве аргумента преобразования Фурье выбирается не волновое число k, а импульс p = h̄k. В этом случае нормированные√волновые функции нового базиса должны быть поделены на h̄:i1e h̄ px ,ξp (x) = √2πh̄p ∈ R.Другое преобразование Фурье*Определённое выше преобразование Фурье отличается от обратногопреобразования Фурье только знаком в комплексной экспоненте, однако1наличие нормировочного множителя √12π , или √2πh̄, часто неудобно.

Тем104ГЛАВА 4iболее, что без этого множителя волновая функция ψp (x) = eikx = e h̄ pxоказывается отнормирована на одну частицу, на единицу объёма.Избавиться от корней можно, переопределив скалярное произведениев импульсном представлении:φ|ψ =+∞dpφ∗ (p)ψ(p).2πh̄(4.40)−∞Можно сказать, что мы ввели в пространстве импульсов/волновых чиdpdk= 2π. То есть интегрирование по импульсу всегдасел меру вида 2πh̄ведётся по такой мере. nЕсли размерность пространства импульсов n, тоd pdn kтакая мера имеет вид (2πh̄)n = (2π)n .Теперь мы можем записывать преобразование Фурье и обратное преобразование Фурье без корней:iiψ(p) = φp |ψ = e− h̄ px ψ(x)dx, φp (x) = e− h̄ px = φx |φp ,iidp, φx (p) = e h̄ px = φp |φx = φx |φp ∗ .ψ(x) = φx |ψ = e h̄ px ψ(p)2πh̄Условия нормировки для импульсного базиса и для координатного базисаимеют различный вид:φx |φx = φx (x) = δ(x − x ),φp |φp = φp (p) = 2πh̄ δ(p − p ).Именно такие соглашения предпочитают в большинстве книг физики.Это весьма удобно: все дифференциалы импульса делятся на 2πh̄, и никаких корней не возникает.

Однако при этом прямое и обратное преобразования Фурье выглядят различно, различаются условия нормировки, а пространство волновых функций в координатном и импульсном представлении различаются даже после обезразмеривания, что затрудняет рассмотрение преобразований Фурье в качестве унитарных преобразований. По этойпричине математики часто предпочитают преобразование Фурье в том виде, в котором они приведены в разделе 4.6.3.4.7. ОператорыОператоры в квантовой теории во многом аналогичны матрицам.В случае, когда пространство волновых функций конечномерно, операторы4.7.

О ПЕРАТОРЫ105оказываются обычными матрицами. Можно сказать, что операторы — этои есть матрицы. Не случайно, например, описывающий смешанные квантовые состояния оператор называется матрицей плотности.Здесь мы постараемся сформулировать основные свойства операторовв таком виде, чтобы описание не зависело от того, конечна или бесконечнаразмерность пространства волновых функций.Линейный оператор действует на вектор состояния и превращает егов другой вектор состояния, причём полученное состояние линейно зависитот исходного13 :Â : D → V,D, V ⊂ H,ψ, φ ∈ H — чистые состояния,Âψ = φ,Â(αψ) = α(Âψ),α ∈ C,Â(ψ + φ) = Âψ + Âφ.Операторы можно задавать различными способами.

Например, оператор частной производной по координате x, если волновая функция заданапросто, как функция от координат, можно задать как дифференциальный∂оператор ∂x: ψ → ∂ψ∂x . Другие операторы может быть удобнее задать черезих действие на все векторы некоторого базиса, или в виде матрицы.4.7.1. Ядро оператора*По аналогиис обычной формулой умножения матрицы на столбец(Aa)m = n Amn an мы можем представить действие оператора Â : D → Vна кет-вектор следующим образом:Axy ψ(y) +Axy ψ(y) dy.(4.41)Âψ(x) =y∈Wy∈UЗдесь W — дискретный спектр, по которому берётся сумма, как для обычных матриц, а U — непрерывный спектр, по которому берётся интеграл.Функция Axy — обобщённая функция от x и y. Если волновая функция —функция от одного набора переменных x, то ядро оператора — функцияот двух наборов переменных (x, y).

Её можно представить как линейныйфункционал на пространстве D × H∗ , который ставит в соответствие объекту вида |ψφ| ∈ D × H∗ число φ|Â|ψ. В следующей формуле, чтобы13 Область определения D оператора Â может не совпадать с пространством H. Причём такое несовпадение имеет место для очень многих физически осмысленных операторов. Обычнофизики не обращают внимание на такие «мелочи», однако иногда такие «чисто математические» тонкости имеют интересный физический смысл.106ГЛАВА 4не загромождать запись, мы ограничились случаем, когда базис содержитвекторы только непрерывного спектра:A : D × H∗ → C,ψ ∈ D,φ ∈ H = L2 (U ),† φ|Â|ψ =φ∗ (x)Axy ψ(y) dx dy. (4.42)A : |ψφ| = ψ × φ →x,y∈UИнтеграл здесь следует понимать как линейный функционал от ψ × φ† .(Сравните с разделом 4.6.3 «Замена базиса».)4.7.2. Матричный элемент оператораЯдро оператора может быть записано через действие оператора на базисные векторыAxy = φx |Â|φy .(4.43)В этом можно легко убедиться, подставив в формулу (4.41) компонентыбазисных волновых функций (4.31), для дискретного спектра, и (4.34), длянепрерывного.Аналогичную формулу (4.13) мы уже писали для элемента обычнойматрицы.Формулы (4.42) и (4.43) позволяют записывать матричные элементы по одному базису через компоненты операторов/матриц и состояний/векторов в другом базисе.В соответствии со сложившейся в квантовой механике традицией мыбудем называть матричным элементом также значение билинейной формы, соответствующей данному оператору на паре произвольных состояний,и будем использовать соответствующие обозначения:Aφψ = φ|Â|ψ.(4.44)Если один или оба состояния в формуле (4.44) относятся к непрерывномуспектру, то понимать данную формулу следует в соответствии с разделами 4.6.2 «Природа состояний непрерывного спектра*», 4.7.1 «Ядро оператора*».4.7.3.