М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику, страница 19

4.1. Давид Гильбертзначениях аргументов при этом можно рас- 1886 г. (1862–1943). Wсматривать как комплексные значения компонент вектора из пространства H.Если рассматривать вектор как набор компонент, то можно сказать, чтовектор определяет функцию, которая по номеру компоненты вектора возвращает значение этой компоненты. Для привычных нам конечномерныхвекторов компоненты нумеруются дискретным числом, которое пробегает конечный набор допустимых значений, а для волновых функций числокомпонент как правило бесконечно, причём переменная, нумерующая компоненты (аргумент волновой функции), может быть как дискретной, таки непрерывной (а также непрерывной на некоторых интервалах и дискретной на других).На пространстве волновых функций нам нужно скалярное произведение, поскольку для единичных векторов оно имеет хороший физическийсмысл амплитуды вероятности (3.13) при измерении.76ГЛАВА 4Для обычных векторов в комплексном n-мерном пространстве у математиков принято определять скалярное произведение следующим образом:(a, b) =nak b∗k .(4.6)k=1Компоненты одного из сомножителей комплексно сопрягаются для того,чтобы скалярный квадрат любого ненулевого вектора был вещественнымположительным числом(a, a) =nk=1ak a∗k =nRe2 ak + Im2 ak .(4.7)k=1Эту формулу легко обобщить на случай, когда компоненты векторанумеруются неограниченной дискретной переменной, а для непрерывнойпеременной мы заменяем сумму на интегралφ|ψ = φ∗ (x) ψ(x) dx,илиφ|ψ =φ∗ (k) ψ(k).(4.8)kОбратите внимание! У физиков принято комплексно сопрягать компоненты первого аргумента скалярного произведения, тогда как у математиковсопрягают компоненты второго аргумента.

Но физики для скалярного произведения волновых функций используют угловые скобки вместо круглыхи черту вместо запятой, что позволяет сразу различать, какой из традицийпридерживается тот или иной автор.В этих выражениях можно легко узнать скалярные произведения в пространствах L2 (пространство квадратично интегрируемых функций) и l2(пространство квадратично суммируемых последовательностей). Эти пространства мы обычно и берём в качестве пространства волновых функций H. В некоторых задачах могут возникать и конечномерные пространства состояний Cn .(*) Линейные полные пространства со скалярным произведением известны в математике как гильбертовы пространства.

Причём все бесконечномерные сепарабельные5 гильбертовы пространства изоморфны, т. е.одинаковы с точностью до сохраняющей скалярное произведение (унитарной) замены координат. В частности, бесконечномерные пространства L2и l2 отличаются друг от друга только выбором базиса.5 Сепарабельноепространство содержит всюду плотное счётное подмножество.4.2. М АТРИЦЫ ( Л )77Если переменная x пробегает непрерывные значения из области Uи дискретные из множества W , тоφ|ψ = φ∗ (x) ψ(x) dx +φ∗ (k) ψ(k).(4.9)k∈WUЧерез скалярный квадрат вектора определяется норма (длина вектора):ψ2 = ψ|ψ.4.2. Матрицы (л)Несколько прискорбно, что теорию линейных алгебр снова и сноваприходится излагать с самого начала, поскольку фундаментальныепонятия этой ветви математики широко используются в математикеи физике и их знание должно быть так же широко распространено, какзнание элементов дифференциального исчисления.Г.

Вейль, «Теория групп и квантовая механика», «Введение»Коротко напомним некоторые понятия и факты из линейной алгебры,обобщение которых понадобится нам далее.Матрица — прямоугольная таблица из чисел, элементы которой нумеруются двумя индексами как Aij . Первый индекс нумерует строки, а второй — столбцы.Столбец (матрица-столбец) — матрица, состоящая из одного столбца,элементы которой нумеруются одним индексом как Ai• .

Первый индекснумерует строки, а отсутствующий второй индекс мы заменили точкой «•».Строка (матрица-строка) — матрица, состоящая из одной строки, элементы которой нумеруются одним индексом как A•i . Отсутствующий первый индекс мы заменили точкой «•», а второй индекс нумерует столбцы.Умножение строки на столбец той же длины даёт число:ua =u•i ai• .iУмножение столбца на строку даёт матрицу — таблицу умноженияэлементов строки на элементы столбца:(au)ij = ai• u•j .78ГЛАВА 4Произведение матриц даёт матрицу — таблицу умножения строк первой матрицы на столбцы второй:(AB)ik =Aij Bjk .jУмножение определяется для такой пары матриц, что число столбцов первой совпадает с числом строк второй.Умножение матриц ассоциативно, т.

е. скобки в произведении можноставить произвольным образом:((AB)C)il =(Aij Bjk )Ckl =Aij Bjk Ckl =k=jjAijjk(Bjk Ckl ) = (A(BC))il .kОднако, в общем случае, умножение матриц некоммутативно∃A, B :AB = BA,более того, произведение двух матриц в обратном порядке может быть вовсе не определено, так квадратную матрицу можно умножить на матрицустолбец, но не наоборот.След матрицы — сумма диагональных элементов, определяется толькодля квадратных матриц, у которых число строк и столбцов совпадает:tr A =Aii .iКвадратная матрица (в квантовой механике — оператор) может действовать (умножением) слева на столбец и превращать его в другой столбец,той же высоты, линейно зависящий от исходного:Aij aj• ,(Aa)i• =jA(αa + βb) = α(Aa) + β(Ab)(4.10)(здесь α и β — числа).Квадратная матрица может действовать (умножением) справа на строку и превращать её в другую строку, той же длины, линейно зависящую отисходной:(uA)•j =u•i Aij ,i(αu + βw)A = α(uA) + β(wA).(4.11)4.2.

М АТРИЦЫ ( Л )79Если заключить квадратную матрицу A между строкой u и столбцом a, то получится число, соответствующее произведению строки u настолбец Aa, или произведению строки uA на столбец a:uAa = u(Aa) = (uA)a.(4.12)Если строка и столбец имеют следующие компоненты:u = (0, .

. . , 0, 1, 0, . . . 0), a = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . 0)T , ijт. е. если мы взяли i-ю базисную строку и j-й базисный столбец, то произведение даёт соответствующий матричный элемент матрицы A:uAa = Aij .6†(4.13)A∗ji .Эрмитово сопряжение: (A )ij =Эрмитова матрица: A† = A.1, i = j,Единичная матрица: 1̂ij = δij =0, i = j.Унитарная матрица: U † U = U U † = 1̂.Умножение строки a† на столбец b даёт число, в частности, такимобразом можно определить скалярное произведение столбца на столбец:a|b = a† b =a∗i• bi• .(4.14)iУмножение столбца b на строку a† даёт матрицу:(ba† )ij = bi• a∗j• .(4.15)Собственный вектор: a матрицы (или оператора) A удовлетворяетусловиюAa = αa,где число α ∈ C называется собственным числом.Для эрмитовой матрицы (или эрмитового оператора) все собственныечисла вещественны.Для эрмитовой матрицы (или эрмитового оператора) можно построитьбазис, состоящий из собственных векторов данного оператора.6 Мы определили эрмитово сопряжение, но специально не стали определять комплексное сопряжение матрицы (A∗ )ij = A∗ij и транспонирование (AT )ij = Aji .

Дело в том,что по отдельности нам эти операции не понадобятся. Более того, операции транспонирования и комплексного сопряжения матриц зависят от выбора базиса при хороших (унитарных=сохраняющих скалярное произведение) преобразованиях координат. Такие операции нарушают независимость формул от базиса и они нам не нужны!80ГЛАВА 4Если для двух эрмитовых (или двух унитарных, или одной эрмитовойи одной унитарной) матриц (операторов) A и B коммутатор равен нулю:[A, B] = AB − BA = 0,тогда и только тогда существует базис, элементы которого являются собственными векторами для матриц (операторов) A и B одновременно.Для всякой матрицы (оператора) можно определить вещественную (эрмитову) часть и мнимую (антиэрмитову) часть:A + A†,2(ReA)† = ReA,ReA =A = ReA + i ImA,A − A†,2i(ImA)† = ImA,ImA =A† = ReA − i ImA.Поскольку для эрмитовой матрицы (оператора) все собственные числа вещественны, для произвольной матрицы (оператора) собственный вектор Aдолжен быть собственным одновременно для ReA и ImA:Aa = αa⇔(ReA)a = (Reα)a,(ImA)a = (Imα)a.Рис.

4.2Матрицы (операторы) ReA и ImA эрмитовы, так что для произвольной матрицы (оператора) A базис собственных векторов существует тогда и толькотогда, когда[ReA, ImA] = 0 ⇔ [A, A† ] = 0.Матрицы (операторы), удовлетворяющие этому условию, называются нормальными. В частности, это условие выполняется для произвольнойунитарной матрицы (оператора), поскольку из U † = U −1 следует, что[U, U † ] = U U −1 − U −1 U = 0.4.3. Д ИРАКОВСКИЕОБОЗНАЧЕНИЯ81Мы можем составить следующую классификацию матриц (операторов), которые могут быть диагонализованы при помощи унитарных преобразований базиса (см.

рис. 4.2):ТипСобственные числа ∈ Связь с эрмитовыминормальныеCÂ + iB̂ при [Â, B̂] = 0эрмитовыеRÂiRiB̂антиэрмитовыеунитарныеeiR = {eiϕ |ϕ ∈ R}eiÂЭрмитовы операторы в квантовой механике соответствуют наблюдаемым величинам (или, попросту, наблюдаемым). Унитарные операторы соответствуют симметриям. В число симметрий попадает также сдвиг по времени — временная эволюция системы.4.3. Дираковские обозначенияДираковские обозначения в квантовой механике во многом аналогичныматричным обозначениям, поэтому читателю полезно внимательно сравнить этот раздел с разделом 4.2.

Как и для матриц, для дираковских символов нет коммутативности (сомножители нельзя произвольно переставлять),но есть ассоциативность (т. е. при умножении можно свободно расставлятьскобки).Рис. 4.3. Поль Адриен Морис Дирак (1902–1984). WВ рассматриваемом формализме волновая функция c компонентами ψ(x) рассматривается как аналог матрицы-столбца и называется кетвектором, а комплексно-сопряжённая волновая функция с компонентами ψ ∗ (x) — как аналог матрицы-строки и называется бра-вектором.82ГЛАВА 44.3.1.

Основные «строительные блоки» дираковских обозначений• Комплексное число (или просто — число). На числа можно множить всепрочие, используемые нами объекты, причём комплексные числа можно свободно переставлять с множителями любого сорта, на результаттакие перестановки не влияют;• |ψ — кет-вектор (может обозначаться просто как ψ), рассматриваетсякак матрица-столбец, его компоненты — ψ(x);• ψ| — бра-вектор (может обозначаться просто как ψ † ), получается изкет-вектора эрмитовым сопряжением ψ| = (|ψ)† , рассматриваетсякак матрица-строка, его компоненты — ψ ∗ (x);• Â — оператор (аналог квадратной матрицы), обычно обозначается буквой в «шляпке».Эти четыре типа объектов образуют различные линейные пространства:• C — пространство комплексных чисел.• H — пространство кет-векторов.7 С точки зрения математики гильбертово пространство (бесконечномерное комплексное пространство соскалярным произведением и определяемой с помощью этого произведения метрикой, в котором сходятся все фундаментальные последовательности).

Кет-векторы можно складывать между собой (еслиони описывают состояния одинаковых физических систем) и умножать на комплексные числа, при этих операциях снова получаютсякет-векторы. Элементы H превращаются в элементы сопряжённогопространства при помощи эрмитова сопряжения.• H∗ — пространство бра-векторов. Бра-векторы можно складывать между собой (если они описывают состояния одинаковых физических систем) и умножать на комплексные числа, при этих операциях снова получаются бра-векторы. Пространство H∗ сопряжено к H — его элементы линейно отображают элементы H на C с помощью произведениястроки на столбец.• H ⊗ H∗ — пространство операторов из H в H. Операторы можно складывать между собой (если они действуют на состояния одинаковыхфизических систем) и умножать на комплексные числа, при этих операциях снова получаются операторы.7 Принято считать, что для каждой физической системы есть своё пространство состояний.Соответственно состояния (кет-векторы) для разных систем нельзя складывать или скалярноумножать.4.3.