М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику (1156773), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Обрезание описывается одним параметром δt с размерностью времени. После преобразования Фурье мы обнаружим волновой пакетa(ω) со (средней) частотой ω0 и шириной δω. δt → ∞ при δω → 0. Таким1образом, из соображений размерности δω ∼ δt. Коэффициент пропорциональности зависит от способа вырезания волнового пакета, однако он неможет быть сколь угодно мал, поскольку δω = 0 только для монохроматической волны неограниченной длины. Таким образом,δt · δω const ∼ 1.Как мы выясним ниже, в разделе 7.2 константа в данном неравенстве равна 12 .С учётом того, что в квантовой механике круговая частота и волновойвектор представляют собой энергию и импульс, выраженные в других единицах (2.1), мы получаем для времени и частоты (энергии) соотношениенеопределённостей1h̄⇔ δt · δE .(2.2)22Аналогичное соотношение неопределённостей для координаты и соответствующей компоненты волнового вектора (импульса):1h̄δx · δkx ⇔ δx · δpx .22δt · δω 8 На самом деле, возможны разные определения неопределённостей координат и импульсов,которым соответствуют разные, не сводимые друг к другу, точные формулировки соотношениянеопределённостей Гайзенберга.48ГЛАВА 2Представленные в таком виде соотношения неопределённостей не содержат в себе ничего специфически квантового, а лишь демонстрируютнекоторые свойства преобразований Фурье.
В точности такие же соотношения между длиной волнового пакета и шириной спектральной линии мыможем использовать, например, в акустике или электродинамике. «Неопределённость» здесь не связана с какой-либо процедурой измерения, а является свойством самой системы.2.7.4. Микроскоп Гайзенберга и соотношение неопределённостейМысленный эксперимент «микроскоп Гайзенберга» позволит нам вывести соотношение неопределённостей. Это соотношение будет очень похоже на рассмотренные выше в разделе 2.7.3 «Преобразование Фурье и соотношения неопределённостей», но будет иметь другой физический смысл:будет оценён разброс при последовательном измерении координаты и импульса для одной и той же системы.При измерении координаты частицы с помощью света длины волны λ ∼ k1 наилучшая точность измерения координаты (наилучшая разрешающая способность микроскопа)δx ∼ k1 ∼ λ.При этом на частице должен рассеятьсяпо крайней мере один фотон, который передаст импульс порядка δpx ∼ h̄k.
Рассеяниена точечной частице даст сферическую волну,т. е. фотон может рассеяться в произвольномнаправлении. Если рассеянный фотон попадётРис. 2.11. Вернер Гайзенберг(примерно 1926–1927 гг.) в объектив микроскопа, то, в какую бы сторону он не летел, микроскоп направит его на(1901–1976).
Wдатчик. Определить конкретную траекториюфотона в микроскопе принципиально невозможно9 . В предельном случаедля попадания в объектив микроскопа фотону достаточно отлететь в нужное полупространство. Поскольку направление рассеяния фотона неизвестно, переданный частице импульс не может быть определён, т. е.
измерениекоординаты размывает значение импульса не менее чем на δpx .Таким образом, для произведения неточностей получаем:δx · δpx ch̄,9 Условиеc = const ∼ 1.интерференции, см. ниже раздел 3.1 «Вероятности и амплитуды вероятности».ГЛАВА 3Понятийные основы квантовой теорииПрирода — сфинкс. И тем она вернейСвоим искусом губит человека,Что, может статься, никакой от векаЗагадки нет и не было у ней.Ф.И. ТютчевНетерпеливый читатель может пропустить и эту главу, как и предыдущие, но эта глава в книге самая главная.
Здесь всё ещё нет последовательного формального изложения квантовой механики, а даны ключевыеидеи, следствиями которых можно пользоваться по-обезьяньи без понимания. Однако, если квантовая теория и в самом деле нужна читателю, толучше запоминать не столько формулы, сколько идеи. Если же вы хотитене просто считать, а ещё и понимать, то лучше с этими идеями не толькоознакомиться, но и обдумать их ещё раз, уже познакомившись с аппаратомквантовой теории.3.1. Вероятности и амплитуды вероятностиКвантовая механика принципиально отличается от классической. Эторазличие состоит вовсе не в наличии в квантовой механике вероятностей,поскольку и классическая механика может быть переформулирована так,что вероятности там появятся.
Мы можем описывать поведение классической системы как эволюцию облака вероятностей в фазовом пространстве(в пространстве координат и импульсов), причём для неустойчивых системна больших временах на более подробное описание мы рассчитывать неможем.На взгляд автора, главным отличием квантовой теории является то, чтопомимо вероятностей p в ней появляются амплитуды вероятности A —50ГЛАВА 3комплексные числа, квадрат модуля которых задаёт вероятность (или плотность вероятности)p = |A|2 = (ReA)2 + (ImA)2 = A∗ A.(3.1)Таким образом, вероятность взаимнооднозначно определяется модулемамплитуды вероятности, тогда как фаза амплитуды вероятности оказывается тем существенным элементом квантовой теории, который полностьютеряется в классике.A = |A|eIm Aij|A|jRe AРис. 3.1.
|A|2 — то, что было в классике, ϕ — квантовые эффекты.Волновая функция даёт максимально полное описание квантовой системы, но она задаёт только лишь амплитуды вероятностей для всевозможных результатов измерений. Мы можем считать, что аргументами волновойфункции являются всевозможные результаты измерений некоторого наборавеличин (полного набора независимых наблюдаемых), а значения функциизадают соответствующие амплитуды. Причём нет необходимости помещатьв аргументы функции все возможные величины, надо ограничиться лишьтеми, которые одновременно измеримы, т.
е. такими, что измерение однойвеличины из набора не влияет на все остальные, но набор таких величиндолжен быть полным, т. е. таким, чтобы любая физическая величина, измеримая одновременно с аргументами волновой функции, выражалась черезних1 . Таким образом, понятие волновой функции сводится к понятию амплитуды вероятности.1 Мыещё вернёмся далее к обсуждению волновой функции.3.1. В ЕРОЯТНОСТИИ АМПЛИТУДЫ ВЕРОЯТНОСТИ51Вероятности в классической механике обусловлены нашим незнанием точного состояния системы.
В квантовой механике невозможно знатьо системе больше, чем её волновая функция. Тем не менее, многое в поведении амплитуд вероятности можно понять по аналогии с поведениемвероятностей.В ряде случаев, когда в классике мы складывали или умножали вероятности, в квантовой механике надо аналогично складывать или умножатьамплитуды вероятности.Волновая функция аналогична распределению вероятностей, и подобно ему задаёт вероятность всех возможных исходов измерения некоторогонабора величин, полностью задающего состояние системы. То есть есливсе эти величины определены, то состояние системы определяется однозначно.
В классической механике других состояний систем и не бывает.В квантовой механике такие состояния образуют лишь базис в линейномпространстве состояний.3.1.1. Сложение вероятностей и амплитудЕсли какое-то событие может произойти двумя различными способами, и мы знаем вероятность каждого из этих способов, то классическаявероятность события вычисляется как сумма вероятностей этих способов.Если из начального состояния 1 классическая система попадает в конечное состояние 3 через промежуточное состояние 2 или 2 , то мы можемзаписать:p(1→2→3 или 1→2 →3) = p(1→2→3) + p(1→2 →3) .(3.2)Если конечный результат чуть-чуть различается и классическая системав одном случае в итоге попадает в состояние 3, а в другом в чуть-чутьотличное состояние 3 , то вероятности по-прежнему складываются:p(1→2→3 или 1→2 →3 ) = p(1→2→3) + p(1→2 →3 ) .(3.3)Таким образом, в классике мы можем не различать похожие результаты3 и 3 и произвольным образом огрублять конечный результат, т.
к. на вычислении вероятностей это не скажется.В квантовой механике формулу (3.2), для случая когда конечный результат в точности совпадает, необходимо заменить аналогичной формулой для амплитудA(1→2→3 или 1→2 →3) = A(1→2→3) + A(1→2 →3) ,(3.4)а формулу (3.3), для случая когда конечный результат хотя бы чуть-чутьотличается, следует оставить без изменений.52ГЛАВА 3Рис. 3.2. Сложение амплитуд вероятности.Возводя формулу (3.4) в квадрат, получаем (для упрощения записиздесь (1 → 2 → 3) обозначается как a, а (1 → 2 → 3) — как b)p(a или b) = |A(a или b) |2 == |Aa |2 + |Ab |2 + (A∗a Ab + Aa A∗b ) == |Aa |2 + |Ab |2 + 2|Aa | |Ab | cos(ϕa − ϕb ) =√= pa + pb + 2 pa pb cos(ϕa − ϕb ).(3.5)Здесь ϕa = arg Aa , ϕb = arg Ab — фазы амплитуд вероятности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
