М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику, страница 18

Попутно вводимыепонятия обсуждают с разных точек зрения: различные обозначения, связьмежду понятиями, физический смысл, применение, аналогии с простейшими случаями (которые, вероятно, известны читателю), отличия от такихпростейших случаев и природа этих отличий . . .Математический аппарат вводится с запасом (хотя это и не единственная математическая глава в книге), так что при первом чтении настоятельно рекомендуется не пытаться изучить всё, а, пропуская непонятные места(особенно помеченные звёздочками), побыстрее перейти в главе 5 «Принципы квантовой механики».4.1.

Пространство волновых функций4.1.1. Функцией каких переменных является волновая функция?Волновая функция может зависеть от времени, но эту зависимость мыпока не рассматриваем, а берём систему в фиксированный момент времени.72ГЛАВА 4Распределение вероятностей для классической механической системыможно записать как функцию от координат и импульсов всех входящихв систему частиц (x, p), т. е., если вспомнить терминологию теоретическоймеханики, как функцию от точки фазового пространства1 .В квантовой механике мы не можем одновременно измерить координату и соответствующий этой координате импульс.

Аргументом волновойфункции должен быть максимальный набор одновременно измеримых величин, поэтому волновая функция не может зависеть одновременно от всехкоординат и импульсов.Волновая функция может быть представлена как функция от всех координат всех частиц системы2 , т. е., если вспомнить терминологию теоретической механики, как функцию от точки конфигурационного пространства3 .Впрочем, задание волновой функции как функции на конфигурационном пространстве — координатное представление — это лишь одно извозможных представлений. Мы можем, например, задать волновую функцию как функцию на пространстве импульсов — импульсное представление (аргументы — все импульсы, всех частиц системы) получается из координатного представления преобразованием Фурье. Число всевозможныхпредставлений волновой функции бесконечно, подобно тому, как бесконечно число базисов, по которым можно раскладывать векторы.

Это сравнениене случайно. Далее мы будем рассматривать волновые функции как векторы.Важно отметить, что волновая функция описывает не отдельнуючастицу, а систему в целом. Если мы имеем систему из 10 частиц, тоона описывается не 10 волновыми функциями, от 3 переменных каждая,а одной волновой функцией, от 30 переменных (что гораздо сложнее длявычислений). Действительно, информация, необходимая для описания системы, растёт с числом частиц не как арифметическая прогрессия, как былов классической механике, а как геометрическая.(*) Если мы описываем одну частицу в трёхмерном пространстве, тодля приближённого задания её состояния в классической механике надо задать 6 · K цифр (3 координаты и 3 импульса, на каждое число считаем по1 Точка фазового пространства задаётся значениями всех обобщённых координат и импульсов системы.2 Для бесспиновых частиц. Для частиц со спином полный набор одновременно измеримыхпеременных будет включать, например, проекции спинов всех частиц на какое-то направление,или какие-то другие спиновые переменные.3 Точка конфигурационного пространства задаётся заданием всех обобщённых координатсистемы.4.1.

П РОСТРАНСТВОВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ73K десятичных знаков), а в квантовой механике — L3 · 2K цифр (по K десятичных знаков для вещественной и мнимой части каждого из значений волновой функции в L3 узлов решётки L × L × L). Если мы увеличиваем числочастиц в классической задаче, то число необходимых для описания системыцифр растёт пропорционально числу частиц N , т.

е. требуется 6N · K цифр.Для квантовой системы число цифр оказывается (L3 )N · K. Даже для сравнительно небольшой решётки 100 × 100 × 100 объём информации растётв 106 раз при добавлении каждой новой частицы. По этой причине в квантовой механике систем многих частиц (таких как сколько-нибудь сложныеатомы, молекулы, конденсированные среды и т. п.) для расчётов приходитсяиспользовать те или иные приближения, например, приближение среднегополя, когда рассматривается одночастичная задача, а влияние всех остальных частиц учитывается через эффективное поле, в котором движется частица4 .Часто пишут, что для системы, состоящей из невзаимодействующихподсистем, можно определить отдельные волновые функции для этихподсистем.

Понимать это надо следующим образом. Пусть полный набор одновременно измеримых переменных (x1 , x2 ) состоит из переменных (x1 ), описывающих первую подсистему, и переменных (x2 ), описывающих вторую. Тогда волновую функцию всей системы можно записатькак Ψ12 (x1 , x2 ). И если в некоторый момент времениΨ12 (x1 , x2 ) = ψ1 (x1 ) · ψ2 (x2 ),(4.1)то и в последующие моменты времени волновая функция системы записывается как произведение функций, описывающих подсистемы.

Это аналогично поведению распределений вероятности в классической механике.Запись (4.1) волновой функции системы через функции подсистем называют тензорным произведением и записывают какΨ12 = ψ1 ⊗ ψ2 .(4.2)В общем случае (если ψ1 = ψ2 ) Ψ12 = Ψ21 = ψ2 ⊗ ψ1 , т. к. Ψ21 (x1 , x2 ) == ψ2 (x1 ) · ψ1 (x2 ).4 Само по себе уравнение Шрёдингера, описывающее эволюцию квантовой системы во времени, линейно, но в приближении среднего поля большое количество частиц описывается одной волновой функцией, которая описывает фон, на котором движется каждая из частиц. Из-заэтого параметры уравнения начинают зависеть от волновой функции и уравнение становитсянелинейным. Таким образом, если вы где-то встретили нелинейное уравнение Шрёдингера, тоего написание, в большинстве случаев, вызвано не желанием обобщить одночастичное уравнение Шрёдингера, а желанием приближённо решить многочастичное уравнение.74ГЛАВА 4Однако в общем случае волновая функция Ψ12 уже не может бытьзаписана в виде произведения, хотя она и представима в виде суммы (илиинтеграла) от нескольких таких произведений (i) (i)(i)(i)Ψ12 (x1 , x2 ) =ψ1 (x1 ) · ψ2 (x2 )⇔Ψ12 =ψ1 ⊗ ψ2 .ii(4.3)На самом деле, в классической механике мы имеем похожий эффект,если описываем систему, не задавая координаты и импульсы всех частиц,а задавая распределение вероятностей нахождения у системы того илииного набора координат и импульсов.

Задание распределений вероятности для отдельных величин достаточно для предсказания вероятностей различных исходов любого процесса, только если эти величины независимы.Тогда12 (x1 , x2 ) = 1 (x1 ) · 2 (x2 )⇔12 = 1 ⊗ 2 .(4.4)Если между величинами есть вероятностные корреляции (т. е. знание одной величины изменяет распределение вероятностей другой), то распределение 12 уже не может быть записано в виде произведения, хотя онои представимо в виде суммы (или интеграла) от нескольких таких произведений (i) (i)(i)(i)12 (x1 , x2 ) =1 (x1 ) · 2 (x2 )⇔12 =1 ⊗ 2 . (4.5)iiКогда такое распределение вероятностей эволюционирует со временем, то независимые в начальный момент времени переменные, если ониотносятся к взаимодействующим друг с другом подсистемам, как правило, становятся коррелированы, и распределение вероятностей (волноваяфункция), которое сначала записывалось в виде произведения (факторизовалось), уже не факторизуется.

Это относится как к классическим, таки к квантовым системам.Таким образом, описание составных систем в классической и квантовой механике производится аналогично, если мы используем в обоих случаях вероятности (амплитуды вероятностей), однако в классической механике мы можем, хотя бы теоретически, обойтись без вероятностей, задаваяточные значения координат и импульсов, а для квантовой механики задание волновой функции (т. е. амплитуд всевозможных взаимоисключающихисходов) является наиболее полным возможным описанием системы.4.1. П РОСТРАНСТВОВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ754.1.2. Волновая функция как вектор состоянияВ разных разделах математики в слово «вектор» может вкладыватьсяразличный смысл, но обычно векторы — элементы некоторого линейногопространства, т.

е. объекты, для которых определено сложение (ψ + φ, т. е.суперпозиция состояний) и умножение на число (cψ). Очевидно, что дляволновых функций эти операции определены, причём поскольку сами волновые функции комплекснозначны, то естественно считать, что пространство волновых функций — комплексное векторное пространство.Принято считать, что волновая функцияопределена с точностью до произвольногоненулевого комплексного множителя, т. е. волновые функции ψ и cψ (где c = 0 — произвольная комплексная константа) описывают одинаковые состояния квантовой системы.Пространство волновых функций мы будем называть пространством чистых состояний системы, или просто пространством состояний. Сама волновая функция будет называться вектором состояния, или просто состоянием (точнее чистым состоянием, см.сноску 2).Значения волновой функции при разных Рис.