М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику, страница 22

(4.26),(4.27), (4.28) в случае невырожденного состояния).4.6. Базисы в пространстве состояний4.6.1. Разложение по базису в пространстве состояний, нормировкабазисных векторовСобственно задавая чистое состояние |ψ как волновую функцию ψ(x)от какого-то набора переменных x, мы уже имеем дело с разложением вектора состояния по некоторому базису.|ψ = ψ(x) |φx dx +ψ(k) |φk .(4.30)U9Вk∈Wклассической теории мы бы имели всегда вероятность 0 для несовпадающих чистыхсостояний (состояний с определёнными значениями координат и импульсов) и вероятность 1для совпадающих чистых состояний.

В квантовой теории мы можем подобрать такой наборсостояний, что квадрат каждого равен 1, а скалярное произведение разных состояний будет давать 0. Причём мы сможем задать базис из таких взаимоисключающих состояний. Нопоскольку пространство состояний является линейным пространством, в него будут попадать и всевозможные линейные комбинации базисных векторов, которые соответствуют тому,что различные взаимоисключающие состояния имеют место одновременно с некоторой амплитудой вероятности.

В классической механике мы тоже можем получать при измеренииразличные значения с некоторыми вероятностями, для смешанных состояний, задаваемыхраспределениями вероятностей.96ГЛАВА 4Здесь |φx и |φk — базисные кет-векторы непрерывного и дискретногоспектров с номерами x и k соответственно. По непрерывному спектру(x ∈ U ) идёт интегрирование, а по дискретному (k ∈ W ) — суммирование.Базисные векторы с различными номерами ортогональны друг другу.Однако базисные векторы дискретного и непрерывного спектров нормируются по-разному. Хотя в обоих случаях это нормировка на ядро единичногооператора10 .

То есть нормировка проводится так, чтобы компоненту вектора состояния (значение волновой функции) можно было бы получить какскалярное произведение:ψ(k) = φk |ψ = φk | ψ(x) |φx dx + φk |ψ(k ) |φk ==Uψ(k ) φk |φk =k ∈Wψ(x) = φx |ψ = φx |=Uk ∈Wψ(k ) δkk ,k ∈Wψ(x ) |φx dx + φx |Uψ(x ) φx |φx dx =ψ(k) |φk =k∈Wψ(x ) δ(x − x ) dx .UПричём условия нормировки для базисных векторов задают одновременно компоненты базисных векторов по базису, к которому эти векторыотносятся, т.

е. φx0 (x) = φx |φx0 , т. к. и то, и другое определяется скалярным произведением выбранного базисного вектора на все векторы базиса.Таким образом, базисные векторы дискретного спектра нормируютсяна δ-символ:φk |φl = δkl = φl (k).(4.31)То естьφk |φl = 0,φk |φk = 1.k = l,(4.32)(4.33)А базисные векторы непрерывного спектра нормируются на δ-функцию:φx |φy = δ(x − y) = φy (x).10 Ядрооператора — разложение оператора по базису. Подробнее см. раздел 4.7.6.(4.34)4.6. Б АЗИСЫВ ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ97То естьφx |φy = 0,x = y,(4.35)φx |φx = ∞скалярное произведениене определено (расходится).(4.36)Для базисных векторов непрерывного спектра скалярный квадрат оказывается не определён, т. е.

вероятности для состояния, описываемого такими состояниями, не могут быть отнормированы на единицу! В этом состоитсущественное отличие от базисных векторов дискретного спектра, которыенормированы на единицу и представляют собой вполне «хорошие» векторычистых состояний.Строго говоря, базисные векторы непрерывного спектра вообще не относятся к пространству состояний H, поскольку для всех векторов состояний задано скалярное произведение.Обратите внимание, что уравнения (4.32), (4.33) эквивалентны условию нормировки (4.31), но аналогичные уравнения (4.35), (4.36) не эквивалентны условию нормировки (4.34) (бесконечности, в отличие от единиц,бывают разные).

А учитывая, что δ-функция обладает свойством δ(ax) == δ(x)|a| (для одномерной переменной x), мы видим, что нормировка однойединственной функции непрерывного спектра невозможна. Нормируетсясразу набор векторов непрерывного спектра, причём нормировка зависитот нумерации векторов: замена x → ax требует изменения нормировки баφxзисных векторов φx → √.aПри работе с состояниями непрерывного и дискретного спектра обычно условие квадратичной интегрируемости волновой функции заменяют наболее мягкое условие локальной (на любом конечном интервале) квадратичной интегрируемости и ограниченности на бесконечности.4.6.2.

Природа состояний непрерывного спектра*Итак, рассматривая базисные векторы непрерывного спектра, мыневзначай вылезли из первоначально постулируемого пространства H квадратично интегрируемых (суммируемых) функций. Оказывается, что такиевекторы вроде уже и не состояния, и скалярное произведение с их участиемопределено не всегда: когда надо посчитать соответствующую этому базисному вектору компоненту «хорошего» состояния ψ(x) = φx |ψ, то скалярное произведение определено, а когда надо посчитать скалярный квадрат98ГЛАВА 4φx |φx — оно вдруг отказывается работать, но выдаёт нечто осмысленное,если взять φx |φy .

Попытаемся понять, что же это такое с двух точек зрения: с точки зрения физики, и с точки зрения математики.С точки зрения физики ненормируемые состояния не могут быть реализованы, поскольку суммарная вероятность всех исходов не должна превышать единицу. Таким образом, состояния непрерывного спектра физически нереализуемы. Если физическая величина имеет непрерывный спектрвозможных значений, то не существует состояний, в которых её значениеиз непрерывного спектра было бы определено однозначно. Это также означает, что значение величины из непрерывного спектра может быть измерено только с конечной точностью. Это относится, например, к измерениюкоординаты.Однако мы можем приближать функцию непрерывного спектра «хорошими» квадратично интегрируемыми функциями, и такое приближениебудет в некотором смысле сходиться, т.

е.∀ψ ∈ D ⊂ Hlim ψn |ψ = φx0 |ψ = ψ(x0 ).n→∞Например, мы можем приближать дельта-функцию узкими и высокими прямоугольными импульсами или гауссовыми кривыми с единичным интегралом.Таким образом мы можем приближать невозможное состояние непрерывного спектра, в котором x определён с бесконечной точностью «хорошими» состояниями, в которых x определён с конечной (но сколь угодномалой) неопределённостью. Невозможное состояние непрерывного спектра при этом оказывается некоторой вполне законной идеализацией. Да, дляэтого состояния полная вероятность оказывается бесконечной, а значит мыне можем считать абсолютные вероятности, однако мы можем считать относительные вероятности как отношения частот попадания какой-то величины в те или иные интервалы.С точки зрения математики, упомянутая выше сходимость — сходимость в смысле слабого предела, т. е.wlim ψn (x) = δ(x − x0 ) = φx0 (x)n→∞⇔∀ψ ∈ D ⊂ H⇔lim ψn |ψ = φx0 |ψ = ψ(x0 ).n→∞Такую сходимость применяют для того, чтобы определить обобщённыефункции класса D как линейные функционалы над основными функциями класса D.

Сходимость в слабом смысле, если D = H, совпадает со4.6. Б АЗИСЫВ ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ99сходимостью по норме · , которую мы определили с помощью скалярного квадрата. Линейные функционалы над пространством H относятсяк пространству H∗ , которое изоморфно исходному и отождествляется с нимпри эрмитовом сопряжении.

Можно сказать, что пространство обобщённыхфункций класса H совпадает с H∗ . Поэтому в пространстве H ряды, приближающие δ-функцию, расходятся. Нужное нам пространство основныхфункций не совпадает с исходным пространством состояний D = H. Чтобы расширить класс обобщённых функций, нам надо сузить класс основных функций: чем шире выбор в ψ, тем уже выбор в φ, при условии чтоинтеграл типа скалярного произведения сходитсяφ∗ (x) ψ(x)dx.Другими словами, включение каждой новой функции в D накладываетдополнительное условие на все функции, которые могут быть включеныв D .11Угловые скобки в дираковских обозначениях, помимо скалярного произведения волновых функций из пространства H, теперь могут обозначатьи другую операцию: действие линейного функционала из D на волновуюфункцию из D.

Получившаяся при этом конструкцияD ⊂ H ⊂ D(4.37)называется оснащённым гильбертовым пространством.Конкретный выбор пространства основных функций D зависит от решаемой задачи.Однако мы ещё не выяснили природу интеграла по непрерывномуспектру в формуле (4.30), а также природу «скалярного произведения» состояний непрерывного спектра друг на друга, в частности в формуле длянормировки (4.34).Про смысл «скалярного произведения» векторов непрерывного спектра друг на друга см. ниже в разделе 4.6.3 «Замена базиса», а также в разделах 4.7.1 «Ядро оператора» и 4.7.2 «Матричный элемент оператора».4.6.3. Замена базисаПрежде всего отметим, что формула (4.30) для разложения кет-векторапо базису сама по себе не позволяет вычислить какое бы то ни было число,11 Это остаётся верным до тех пор, пока D плотно в H, если слишком сильно уменьшить D,то мы перестанем различать разные обобщённые функции с точки зрения их действия наосновные.100ГЛАВА 4поскольку она записана через другие кет-векторы.

Чтобы получить из кетвектора число (хотя бы его компоненту по какому-либо базису), его надодомножить слева на бра-вектор. Так и сделаем, умножим формулу (4.30)слева на некоторый базисный вектор ξm | (непрерывного или дискретногоспектра, из старого базиса {|φx }x∈U∪W , или из какого-либо другого):⎛⎞ψ(x) |φx ⎠,ξm | × ⎝|ψ = ψ(x) |φx dx +Uψ(m) = ξm |ψ =x∈Wψ(x) ξm |φx dx +ψ(x) ξm |φx =(4.38)x∈WUψ(x) φx (m) dx +=ψ(x) φx (m).x∈WUПолученная формула (4.38) выражает компоненты ψ(m) вектора |ψ в новом базисе, через его же компоненты ψ(x) в старом базисе.