М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику, страница 25

По этойпричине импульс на полупрямой не имеет собственных функций.Для отличия эрмитовых (или продолжаемых до эрмитовых) операторов от просто симметричных мы можем использовать следующий простойкритерий: эрмитов оператор всегда диагонализуется (имеет полный базиссобственных векторов).Именно эрмитовы операторы в квантовой механике сопоставляютсянаблюдаемым величинам, так что «чисто математическое» различие междусимметричными и эрмитовыми операторами на самом деле имеет физический смысл.4.7.8. След оператора*Данный раздел нужен в первую очередь для работы с матрицами плотности (4.8 «Матрица плотности*»).

При первом чтении всё, что касаетсяматриц плотности, можно пропустить, включая этот раздел.4.7. О ПЕРАТОРЫ113По аналогии со следом матрицы можно ввести след оператора как сумму (интеграл) диагональных матричных элементов:⎛⎞⎛⎞tr  = ⎝+dx⎠ Axx = ⎝+dx⎠ x|A|x.(4.50)x∈Wx∈Wx∈Ux∈UВ отличие от конечномерных матриц, для которых след определён всегда, для операторов соответствующий интеграл (сумма) может расходиться.В частности, след единичного оператора равен размерности пространстваи расходится для бесконечномерного пространства.(*) След, вычисленный по формуле (4.50), может изменяться или дажесходиться/расходиться при перенумерации базисных векторов. След оказывается определён однозначно, если ряд/интеграл (4.50) сходится абсолютно, т.

е. если он сходится при замене Axx на |Axx |. Для матриц плотностиэто условие выполняется всегда, т. к. их диагональные элементы — неотрицательные вероятности базисных состояний.Для оператора, записанного как произведение кет-вектора на бра-вектор, след можно записать следующим образом:tr |ψφ| = φ|ψ.(4.51)Если дополнить формулу (4.51) условием линейности следа:tr(α + B̂) = α tr  + tr B̂,(4.52)то её можно принять в качестве определения следа вместо (4.50).То, что (4.48), (4.51), (4.52) ⇒ (4.50), очевидно.В свою очередь из определения (4.50) сразу следует линейность (4.52),а формула (4.51) легко выводится:⎛⎞tr |ψφ| = ⎝+dx⎠ φx |ψφ|φx =x∈W⎛=⎝x∈Udx⎠ φ|(|φx φx |)|ψ =+x∈W⎡⎛= φ| ⎣⎝⎞x∈Ux∈W+x∈U⎞⎤dx⎠ |φx φx |⎦ |ψ = φ|1̂|ψ = φ|ψ.114ГЛАВА 4Формула (4.51) позволяет циклически переставлять под следом нетолько операторы (матрицы), но и бра- и кет-векторы (строки и столбцы):tr(ab .

. . yz) = tr(zab . . . y) = tr(b . . . yza).(4.53)Здесь a, b, . . . , y, z — произвольный набор чисел, операторов, бра- и кетвекторов, записанных в виде произведения, для которого имеет смысл след,т. е. в виде оператора или числа (матрицы 1 × 1).Мы можем принять (4.53) вместе с условием линейности (4.52) в качестве ещё одного определения следа, если ввести условие, что след числаравен самому числу:tr α = α,α ∈ C.(4.54)(!!!) Определив след от числа как само это число, мы определили эточисло как матрицу 1 × 1, однако мы можем понимать то же число какматрицу n × n вида α1̂, где 1̂ — единичная матрица n × n.

Очевидно, чтоtr(α1̂) = nα = α = tr α.Частичный след оператора*Пусть пространство состояний представлено в виде тензорного произведения:H = H1 ⊗ H2 .Это означает, что волновая функция представляется как функция от двухнаборов аргументов, отвечающих первому и второму пространствам:ψ(x, y) = y|x|ψ.|ψ =ψ(x, y)|x|y.x,y(Для упрощения формул мы пишем только суммы, как для дискретногоспектра.) Здесь (y|x|)† = |x|y — базисное состояние в пространстве H,записанное как произведение базисных состояний |x и |y в пространствах H1 и H2 .Ядро оператора в пространстве H оказывается функцией (для непрерывного спектра м.

б. обобщённой функцией) уже от двух двойных набороваргументов:A(x, y; x , y ) = y|x|Â|x |y .|x|yA(x, y; x , y )y |x |. =x,y;x ,y 4.8. М АТРИЦАПЛОТНОСТИ *115Для оператора на пространстве H = H1 ⊗ H2 мы можем определитьчастичный след по пространству H2 :|xA(x, y; x , y)x | =y|Â|y.(4.55)trH2  =x,y;xyПолучившийся объект является не числом, как обычный след, а операторомнад пространством H1 . Ядро частичного следа зависит только от одногодвойного набора переменных и задаётся соотношениемtrH2  (x; x ) =A(x, y; x , y).(4.56)yЗаметим, что при преобразовании базиса в пространстве H2 векторы и операторы в пространстве H1 не преобразуются (т.

е. с точки зрения трансформационных свойств ведут себя как скаляры/числа, хотя и не коммутативные).Все приведённые выше способы вычисления следа относятся такжеи к частичному следу по H2 с той оговоркой, что в качестве состояний, покоторым берётся след, рассматриваются только состояния на H2 . В частности, по аналогии с (4.54) (и с теми же оговорками!) для любого оператора Â1 : H1 → H1trH2 Â1 = Â1 .(4.57)Между частичным и полным следом существует очевидное соотношение:tr  = trH1 trH2  = trH2 trH1 Â.(4.58)4.8. Матрица плотности*До сих пор мы описывали состояния с помощью векторов состояния (волновых функций),однако существует другой, более общий способописания состояния квантовой системы — матрица плотности.Матрица плотности была введена различными способами Л.

Д. Ландау (для подсистем) и И.фон Нейманом (для статистических ансамблей) в Рис. 4.4. Лев Давыдович1927 году.Ландау (1908–1968).116ГЛАВА 4Наибольшее, что мы в принципе можем знать о состоянии квантовойсистемы, — вектор состояния |ψ (волновая функция ψ(x)) с точностью допроизвольного фазового множителя (если фиксировать нормировку). Поэтому вектор состояния называют ещё чистым состоянием.

Такое состояние может быть описано матрицей плотности (на самом деле не матрицей,а оператором)ρ̂1 = |ψψ|,ψ|ψ = 1.(4.59)Если мы не знаем в каком чистом состоянии находится система, но знаем с какой вероятностью pk какой вектор состояния |ψk ей соответствует,то нам известно смешанное состояние. Такое состояние может быть описано матрицей плотностиρ̂ =|ψk pk ψk |,ψk |ψk = 1.(4.60)kСостояния |ψk нормированы, но не обязательно ортогональны.В общем случае матрица плотности — неотрицательно определённыйэрмитов оператор с единичным следом, т.

е.ρ̂ = ρ̂† ,ψ|ρ̂|ψ 0, ∀ψ ∈ H,tr ρ̂ = 1.(4.61)Смысл этих условий: вещественность и неотрицательность вероятности,нормировка суммарной вероятности на единицу. От условия единичногоследа матрицы плотности можно отказаться, приняв, что матрица плотности определена с точностью до вещественного положительного множителя.Тогда значение следа задаёт нормировку матрицы плотности.Нормированная на единицу матрица плотности однозначно определяется состоянием системы и содержит всю информацию, необходимую дляописания системы, т. е.

позволяет вычислять временную эволюцию системы (про эволюцию на языке матрицы плотности см. ниже в главе 5«Принципы квантовой механики») любые вероятности, получаемые при измерениях, и средние любых наблюдаемых.Вычисление среднего значение задаётся следующим образом:Âρ = tr(Âρ̂).(4.62)Используя линейность следа, возможность циклически переставлятьсомножители (включая бра- и кет-векторы) под следом (4.53), убедимсяна примере матриц плотности (4.59) и (4.60), что вычисляемое по формуле (4.62) соответствует принятым нами ранее для волновых функций4.8.

М АТРИЦАПЛОТНОСТИ *117правилам:Âρ1 = tr(Âρ̂1 ) = tr(Â |ψψ|) = tr(ψ|Â |ψ) = ψ|Â |ψ = Âψ ,Âρ = tr(Âρ̂) = tr Â|ψk pk ψk | =pk tr(Â |ψk ψk |) ==kkpk ψk |Â |ψk =kpk Âψk .kТаким образом, в одном случае мы получили то же самое среднее, чтои для волновой функции, а в другом — среднее взвешенное с весами pk отсредних значений оператора по чистым состояниям ψk .Вероятность обнаружения системы, описываемой матрицей плотности,в состоянии, принадлежащем некоторому подпространству, как и для случая исходного чистого состояния (4.29), задаётся как среднее от ортогонального проектора P̂ на соответствующее подпространствоp = P̂ ρ = tr(P̂ ρ̂).(4.63)Вычисление вероятностей и изменение матрицы плотности при измерениибудет обсуждено ниже в главе 5 «Принципы квантовой механики».4.8.1.

Роль и смысл матрицы плотности*Исходя из приведённых выше формул для средних в состоянии, задаваемом матрицей плотности, мы можем заключить, что если волновыефункции (чистые состояния) учитывают только чисто квантовые неопределённости наблюдаемых величин, то матрицы плотности (смешанные состояния) учитывают как квантовые неопределённости, так и наше классическое незнание того, в каком именно квантовом состоянии находитсясистема.Заметим, что представление матрицы плотности через волновые функции в виде (4.60) неоднозначно. Таким образом, разделение квантовыхи классических вероятностей в матрице плотности в принципе невозможно.Задаваемое матрицей плотности смешанное состояние (4.60) можнорассматривать как среднее взвешенное от чистых состояний (4.59).

Здесьимеется аналогия с классической механикой, где смешанное состояние, задаваемое распределением вероятностей в фазовом пространстве (Q, P ),также может рассматриваться как среднее взвешенное от чистых состояний ч (Q, P ) = δ(Q − Q0 ) δ(P − P0 ).118ГЛАВА 4Матрица плотности является естественным языком для описания состояния квантовой системы в статистической физике. В частности, распределение Гиббса, при котором вероятность квантового состояния системыс энергией E пропорциональна e−E/T , где T — температура, выраженнаяв единицах энергии (kT , если ввести постоянную Больцмана k), задаётсяследующей матрицей плотности нормированной на статсумму:ρ̂ = e− T ,ĤZ = tr ρ̂.Среди физиков нет единства в том, считать ли более фундаментальным описание на языке матрицы плотности, или на языке волновой функции.

Матрица плотности предоставляет нам более общее описание, но приэтом вносимые матрицей плотности вероятности можно объяснить простонезнанием точного состояния системы (волновой функции). Кроме того,принцип суперпозиции и явление интерференции более удобно описыватьс использованием волновых функций, а не матриц плотности.4.8.2.