М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику, страница 26

Матрица плотности для подсистемы*Целое больше, чем сумма частей.Аристотель, «Метафизика»Описание квантовой системы на языке матрицы плотности становится необходимым, когда система является частью (подсистемой) некоторойбольшой системы. Чтобы перейти от системы к подсистеме, необходимоусреднить (взять частичный след) по переменным, описывающим то, чтоне попадает в выбранную подсистему:ρ̂1 = tr2 ρ̂,ρ1 (x; x ) = ρ(x, y; x , y) dy.(4.64)При таком переходе от системы к подсистеме чистое состояние можетперейти в смешанное. Возьмём, например, следующее состояние большойсистемы|Ψ = A1 |φ1 |χ1 + A2 |φ2 |χ2 .Здесь |φ1 и |φ2 — два ортонормированных состояния подсистемы, |χ1 и |χ2 — два ортонормированных состояния остатка системы (термостата),4.8. М АТРИЦАПЛОТНОСТИ *119√√A1 = eiα1 p1 и A2 = eiα2 p2 (α1 , α2 , p1 , p2 ∈ R+ , |A1 |2 + |A2 |2 = p1 ++ p2 = 1) — комплексные амплитуды членов суперпозиции.Матрица плотности исходной системы имеет видρ̂ = |ΨΨ| = A1 A∗1 |φ1 |χ1 χ1 |φ1 | + A2 A∗2 |φ2 |χ2 χ2 |φ2 | ++ A1 A∗2 |φ1 |χ1 χ2 |φ2 | + A2 A∗1 |φ2 |χ2 χ1 |φ1 |.ρ̂ уже не зависит от общего фазового множителя (который всё равно является нефизическим), а зависит только от вероятностей p1 , p2 и разностифаз (α1 − α2 ).Возьмём теперь частичный след по переменным, описывающим термостат, при этом мы можем циклически переставлять под tr2 только множители χi , но не φi :ρ̂1 = tr2 |ΨΨ| = A1 A∗1 tr2 |φ1 |χ1 χ1 |φ1 | + A2 A∗2 tr2 |φ2 |χ2 χ2 |φ2 | ++ A1 A∗2 tr2 |φ1 |χ1 χ2 |φ2 | + A2 A∗1 tr2 |φ2 |χ2 χ1 |φ1 | == A1 A∗1 tr2 |φ1 χ1 |χ1 φ1 | + A2 A∗2 tr2 |φ2 χ2 |χ2 φ2 | ++ A1 A∗2 tr2 |φ1 χ2 |χ1 φ2 | + A2 A∗1 tr2 |φ2 χ1 |χ2 φ1 | == p1 |φ1 φ1 | + p2 |φ2 φ2 |.Теперь мы полностью потеряли информацию о фазах αi .Аналогично мы можем записать матрицу плотности для термостата,взяв частичный след по переменным подсистемыρ̂2 = tr1 |ΨΨ| = p1 |χ1 χ1 | + p2 |χ2 χ2 |.Мы видим, что, поскольку матрицы плотности для обеих подсистем не содержат какой-либо информации о фазах αi знание ρ̂1 и ρ̂2 не позволяетвосстановить матрицу плотности всей системы ρ̂.

В этом смысле, квантовой механике присущ некоторый холизм, т. е. описание сложной системы несводится к описанию всех её подсистем (см. эпиграф).Может показаться, что аналогичная ситуация имеет место в классической механике для смешанных состояний. Пусть (Q1 , Q2 , P1 , P2 ) — распределение вероятностей для сложной системы, тогда распределение вероятностей для подсистем имеют вид1 (Q1 , P1 ) = (Q1 , Q2 , P1 , P2 ) dQ2 dP2 ,2 (Q2 , P2 ) =(Q1 , Q2 , P1 , P2 ) dQ1 dP1 .120ГЛАВА 4При этом общее распределение (Q1 , Q2 , P1 , P2 ) в случае общего положения (когда не представимо в виде произведения функций от Q1 , P1и Q2 , P2 ) не восстанавливается по распределениям 1 (Q1 , P1 ) и 2 (Q2 , P2 ),описывающим подсистемы.Однако в классической механике (точнее даже в классической теориивероятностей) это свойство имеет место только для смешанных состояний.Если классическое состояние сложной системы является чистым, то(Q1 , Q2 , P1 , P2 ) = δ(Q1 − Q01 )δ(Q2 − Q02 )δ(P1 − P10 )δ(P2 − P20 ),состояния подсистем также оказываются чистыми1 (Q1 , P1 ) = δ(Q1 − Q01 )δ(P1 − P10 ),2 (Q2 , P2 ) = δ(Q2 − Q02 )δ(P2 − P20 ),причём состояние сложной системы может быть восстановлено(Q1 , Q2 , P1 , P2 ) = 1 (Q1 , P1 )2 (Q2 , P2 ).В квантовом случае, как мы показали выше, чистое состояние сложнойсистемы в общем случае не восстановимо по состояниям подсистем.Чистое состояние системы может дать смешанное для подсистемы.Возможна и обратная ситуация, когда смешанное состояние системы даётчистое для подсистемы.

Пустьρ̂ = ρ̂1 ⊗ ρ̂2 .Тогда если ρ̂1 = |ψψ| — чистое состояние подсистемы 1, а ρ̂1 — смешанное состояние подсистемы 2, то состояние сложной системы ρ̂ являетсясмешанным. В данном случаеρ̂1 = tr2 (ρ̂1 ⊗ ρ̂2 ) = ρ̂1 (tr2 ρ̂2 ), =1ρ̂2 = tr1 (ρ̂1 ⊗ ρ̂2 ) = (tr1 ρ̂1 ) ρ̂2 . =14.9. Наблюдаемые*Наблюдаемые величины (наблюдаемые) в физике — величины, которыемы можем в принципе измерить на эксперименте.

В классической механике в полностью определённом состоянии наблюдаемая — просто функцияот состояния системы. Поэтому в классике вопрос о наблюдаемых частообходится. В квантовой теории в одном и том же состоянии результатыизмерения одной и той же наблюдаемой могут быть различны.4.9. Н АБЛЮДАЕМЫЕ *1214.9.1.

Квантовые наблюдаемые*В стандартной терминологии квантовой механики наблюдаемые величины, или просто наблюдаемые, отождествляются с эрмитовыми операторами.Спектр наблюдаемой, который мы уже упоминали как набор значений,которые она может принимать, отождествляется со спектром оператора —набором его собственных чисел. Состояния, для которых значение наблюдаемой определено и равно некоторому собственному числу, оказываются собственными состояниями соответствующего оператора, отвечающимиданному собственному числу.Каждой наблюдаемой Â мы можем сопоставить её спектральное разложение: разбиение пространства чистых состояний H на подпространстваHα = P̂α H, в которых значение данной наблюдаемой определено и равнонекоторому вещественному числу α.

(В данном случае мы обсуждаем случай дискретного спектра.) Оператор  в этом случае удобно представитьчерез собственные числа α и соответствующие проекторы P̂α :α P̂α , α ∈ W ⊂ R, = † =αP̂α = 1̂,P̂α† = P̂α ,P̂α P̂β = δαβ P̂α .αЧерез спектральное разложение мы можем легко определить действиеоператора наблюдаемой на состояниеÂ|ψ =α P̂α |ψαи среднее значение наблюдаемой в данном состоянии = ψ|Â|ψ =α ψ|P̂α |ψ =α pα ,ααгдеpα = ψ|P̂α |ψ— вероятность того, что измеренное значение наблюдаемой  совпадёт с α.Для непрерывного спектра суммы по α следует заменить на интегралыпо проекторнозначной мере (см. 5.3.1 «Проекторнозначная мера**»).На множестве наблюдаемых возможны следующие операции, результатом которых снова являются наблюдаемые:122••••ГЛАВА 4c — умножение на вещественное число c ∈ R; + B̂ — сложение наблюдаемых  и B̂;B̂  • B̂ = ÂB̂ +— симметризованное умножение наблюдаемых;21{Â, B̂}q = ih̄ [Â, B̂] — квантовая скобка Пуассона.Квантовая скобка Пуассона, как и коммутатор, является скобкой Ли,т.

е. линейна по обоим аргументам, антисимметрична и удовлетворяет тождеству Якоби:{Â, {B̂, Ĉ}q }q + {B̂, {Ĉ, Â}q }q + {Ĉ, {Â, B̂}q }q = 0.Таким образом, пространство наблюдаемых оказывается вещественным линейным пространством с двумя операциями умножения (симметризованное умножение и скобка Пуассона), одна из которых симметрична,а вторая — скобка Ли.Пространство наблюдаемых с перечисленными выше операциями называется алгеброй наблюдаемых.Интересно, что состояние системы, задаваемое как матрица плотности,также оказывается элементом алгебры наблюдаемых.На самом деле не всякий элемент алгебры наблюдаемых может бытьи в самом деле измерен, но с точки зрения математического языка теорииэто пока16 не важно.4.9.2.

Классические наблюдаемые**В теоретической механике наблюдаемыми (классическими наблюдаемыми) оказываются вещественные функции на фазовом пространстве F (Q, P ).Для наблюдаемой F для каждого состояния, заданного определённымизначениями координат и импульсов (Q0 , P0 ) (классическое чистое состояние), задано определённое значение наблюдаемойF (Q0 , P0 ).Для состояния, задаваемого плотностью вероятности (Q, P ) (классическое смешанное состояние), определено среднее значениеF = dQ dP (Q, P ) · F (Q, P ).16 Из принципиальной неизмеримости некоторых наблюдаемых мы ещё извлечём понятиекалибровочной симметрии.4.9. Н АБЛЮДАЕМЫЕ *123На множестве классических наблюдаемых возможны операции, аналогичные введённым выше для квантовых наблюдаемых:• cF — умножение на вещественное число c ∈ R;• F + G — поточечное сложение наблюдаемых F и G;• F •G = F (Q, P )·G(Q, P ) — обычное поточечное умножение функций; ∂F ∂G∂G ∂F• {F, G} = k ∂Qk ∂Pk − ∂Qk ∂Pk — классическая скобка Пуассона.Классическая скобка Пуассона также является скобкой Ли.Таким образом, мы получаем алгебру классических наблюдаемых, накоторой заданы операции, аналогичные операциям, введённым выше дляквантовых наблюдаемых.Интересно, что состояние классической системы, задаваемое как распределение вероятностей (Q, P ), также оказывается элементом алгебрыклассических наблюдаемых.4.9.3.

Вещественность наблюдаемых***Как квантовая, так и классическая алгебра наблюдаемых устроены так,что значения наблюдаемых величин непременно должны быть вещественными.Однако значения измеряемых на эксперименте наблюдаемых величинвовсе не обязаны быть вещественными. Понятно, что с помощью нормальных операторов мы можем легко ввести комплексные наблюдаемые, но такое обобщение малоинтересно, т. к.

такая комплексная наблюдаемая будетпросто сводиться к двум коммутирующим вещественным наблюдаемым.Так что в этом разделе мы обсудим более общий случай.Пусть, например, в городе живут котыразного цвета. Наблюдатель ловит случайнымобразом одного из котов и определяет, чтос равной вероятностью 13 он может быть рыжим, чёрным или полосатым.Конечно, мы можем договориться и пронумеровать окрасы тем или иным способом,например так:чёрный = 1,рыжий = 2,полосатый = 3.После этого мы посчитаем среднее значениекошачьего окраса и вычислим (поскольку всеРис. 4.5. Окрас кота — тоже наблюдаемая величина, номы чаще описываем её словами, чем числами.124ГЛАВА 4три окраса равновероятны), что «средний кот» у нас имеет окрас номер 2(рыжий).