Ю.Н. Киселёв, С.Н. Аввакумов, М.В. Орлов - Оптимальное управление. Линейная теория и приложения, страница 24

Имея в виду эту формулу, рассмотрим другие алгоритмырешения задачи о сужении, более удобные в определённых ситуацияхс вычислительной точки зрения.6.21.6Решение задачи о сужении при задании граничной кривой натуральным уравнениемОбратимся сейчас к решению задачи о сужении в случае заданиякривой ∂U натуральным уравнениемx = Y (s),0 s L,215(36)где параметр s – длина участка дуги кривой ∂U , отсчитываемаяот начальнойточки Y (0) до точки Y (s), L – длина границы ∂U ,Y1 (s)Y (s) =– гладкая векторная функция. Предполагается, чтоY2 (s)точка Y (s) при возрастании параметра s от 0 до L обходит кривую ∂Uв направлении против часовой стрелки. Предполагается также положительность кривизны Y (s).Решение. Вектор(37)τ (s) = Y (s)является единичным касательным вектором к кривой ∂U в её точке Y (s), а вектор0 1ν(s) = Jτ (s),J=,(38)−1 0является единичным вектором внешней нормали к граничной кривой втой же точке.

Вектор (38) получен поворотом вектора (37) на угол π/2в направлении вращения часовой стрелки. Точка Y (s) служит опорнойточкой выпуклого компакта U в направлении опорного вектора ν(s).Поэтому имеем:c(ν(s)) = (Y (s), ν(s)) ≡ (Y (s), JY (s)) ≡≡ Y1 (s)Y2 (s) − Y1 (s)Y2 (s).(39)Введём угол α, связанный с параметром s соотношениямиq(α0 ) = ν(0).q(α) = ν(s),(40)С ростом параметра s от 0 до L угол α считаем непрерывно изменяющимся, причём он возрастает от α0 до α0 + 2π. Функция α(s)определена и непрерывна вместе с обратной функцией s(α). Дифференцируя (40) по s, получаем:q (α)dα= ν (s),dsоткуда, умножив последнее равенство скалярно на q (α), находим: (38) (37)dα = q (α), ν (s) = q (α), Jτ (s) =ds ∗ (40) (38)= J q (α), Y (s) = − q(α), Y (s) = − ν(s), Y (s) = (37) = − Jτ (s), Y (s) = J ∗ Y (s), Y (s) = Y (s), JY (s) .216Так как Y (s) = 1, вектор JY (s) параллелен и одинаково направлен с вектором Y (s), тоdα = Y (s), JY (s) ≡ Y1 (s)Y2 (s) − Y1 (s)Y2 (s) = Y (s) > 0.dsВ последней формуле приведены различные выражения для кривизныграничной кривой в точке Y (s).

Итак,dα= Y (s) > 0.ds(41)Теорема 21.3. Пусть кривая ∂U задана натуральным уравнением(36). Тогда функция (35) в задаче о сужении определяется равенствомc0 (α) = Y (s), JY (s) s=s(α) ,(42)где функция s(α) есть решение задачи Кошиds1=,dαY (s)s(α)α=α = 0,0α0 α α0 + 2π.(43)2 Утверждения теоремы 21.3 следуют из (39), (41).Замечание 21.5. Функции c0 (α), s(α) можно определить, решаязадачу Коши⎧dc0⎪= Y (s), Y (s) , c0 (α)α=α = Y (s), Y (s) s=0 ,⎪⎪0⎪⎨ dα1ds(44)=,s(α)α=α0 = 0 ,⎪⎪dαY (s)⎪⎪⎩α0 α α0 + 2π.Действительно, используя соотношенияY (s) = 1,JY (s) = Y (s)Y (s),(Y (s), JY (s)) = 0,имеем dsdc0 (α) (42) d .Y (s), JY (s) ·==dαdsdα.  ds== Y (s), JY (s) + Y (s), JY (s) ·dα. ds (43) = 0 + Y (s) Y (s), Y (s) ·= Y (s), Y (s) s=s(α) ,dα217что приводит к первому уравнению системы (44); второе уравнениеэтой системы совпадает с уравнением (43).Упражнение 21.1.

Доказать, исходя из полученной выше формуds− c0 (α). Сравнить слы c0 (α) = Y (s), Y (s) s=s(α) , что c0 (α) =dαуравнением (6).Итак, задача сужения решена при задании граничной кривой натуральным уравнением и результат сформулирован в теореме 21.3 изамечании 21.4.6.21.7Решение задачи о сужении при задании граничной кривой параметрическим уравнением общего видаРассмотрим теперь решение задачи о сужении в случае заданиякривой ∂U параметрическими уравнениями общего вида.Пусть кривая ∂U положительной кривизны задана параметрическим уравнениемβ0 β β1 ;y(β0 ) = y(β1 ),(45)y1 (β)является гладкой,причём векторная функция y(β) =y2 (β)y (β) = 0, при возрастании параметра β от β0 до β1 точка делаетодин оборот вдоль граничной кривой в направлении против часовойстрелки. От уравнения (45) этой кривой несложно перейти к её натуральному уравнениюx = y(β),x = Y (s),где0 s L,Y (s) = y(β)β=β(s) ,(46)0 s L,(47)а функция β(s) есть решение задачи Кошиdβ1= ,dsy (β)β1L=β(s)s=0 = β0 ,0 s L,(48)y (β) dβ – длина граничной кривой.β0Имеется взаимно однозначное соответствие между точками кривой∂U с одной стороны и каждым из параметров s ∈ [0, L), β ∈ [β0 , β1 )218и α ∈ [α0 , α0 + 2π) с другой стороны.

Поэтому определена функцияβ = β(α), производная которой, в силу (48) и (41), имеет видdβdβ ds11=·= ·,dαds dαy (β) k(β)гдеk(β) =(49)(y (β), Jy (β))y1 (β)y2 (β) − y1 (β)y2 (β)≡y (β)3y (β)3– кривизна граничной кривой. В силу (48), (49) имеем:Y (s) = y(β)β=β(s) ,y (β) dβ= .Y (s) = y (β) ·dsy (β) β=β(s)(50)(51)От представления (42) на основании (50), (51) получаем следующее:y (β) .(52)c0 (α) = y(β), J y (β) β=β(α)Теорема 21.4.

Пусть кривая ∂U задана параметрическим уравнением (45). Тогда функция (35) в задаче сужения определяется равенством (52), в котором функция β(α) является решением задачи Кошиy (β)2dβ= ,dα(y (β), Jy (β))β(α)α=α0 = β0 ,α0 α α0 + 2π,(53)где начальное значение α0 определяется условиемy (β0 )= q(α0 ).y (β0 )2 Утверждения теоремы 21.4 следуют из (52) и (49).Замечание 21.6.

Пару функций c0 (α), β(α) можно определить,решая задачу Коши⎧dc0y (β)y (β0 )⎪⎪= y(β), , c0 (α) α=α = y(β0 ), J ,⎪⎪0y (β)y (β0 )⎪⎨ dαy (β)2dβ(54)=,β(α)α=α = β0 ,⎪⎪0⎪dα(y (β), Jy (β))⎪⎪⎩α0 α α0 + 2π.219Действительно, используя соотношенияy (β)y ∗ (β)1 0I≡= ν(β)ν ∗ (β) +,0 1y (β)2y (β), J 2 = −I,ν(β) = J y (β)(55)получаем:0dc0 (α) (52) dy (β)y (β)dβ=y (β), J =y(β), J ·+dαdβy (β)dαy (β)1dβ (55)y (β)y ∗ (β)J(β)·=yI−+ y(β), y (β)y (β)2dα10dβJν(β)ν ∗ (β)y (β) ·== 0 + y(β), y (β)dαJdβν(β) (ν(β), y (β)) ·== y(β), y (β)dα Jy (β)Jy (β) Jdβ,y== y(β), (β)·y (β) y (β)y (β)dα 1(y (β), Jy (β))1y (β)· == y(β), y (β)y (β)y (β)y (β)k(β)y (β) = y(β), ,y (β) β=β(α)что приводит к первому уравнению системы (55); второе уравнениеэтой системы совпадает с уравнением (53).Упражнение 21.2.

Доказать, исходя из полученного равенстваy (β) c0 (α) = y(β), ,y (β) β=β(α)чтоds− c0 (α).dαСравнить с уравнением (6), см. также упражнение 21.2.Итак, задача сужения решена при задании граничной кривой параметрическим уравнением общего вида и результат сформулированв теореме 21.4 и замечании 21.5.Упражнение 21.3. Решить задачу о сужении без привлечения натурального уравнения.c0 (α) =2206.21.8Опорная функция плоского центрально-симметричного выпуклого компакта при заданных параметрическихуравнениях его границыПусть U – плоский центрально-симметричный выпуклый компакт, ∂U – его граница, состоящая из двух частей: кривой и кривой = (−1) · .

Вторая кривая получается из первой центральносимметричным преобразованием. Предположим, что кривая заданавекторным параметрическим уравнением(56)x = y(β), β• β β • ,y1 (β)где векторная функция y(β) =является гладкой или кусочноy2 (β)гладкой. Обратим внимание на то, что в этом подразделе гладкость всмысле определения 21.1 не предполагается.Теорема 21.5. Опорная функция c(U, ψ) центрально-симметричного выпуклого компакта U определяется формулой•β1 c(U, ψ) = ψ, y (β) dβ,2ψ ∈ E2,(57)ψ1 y1 (β) + ψ2 y2 (β) dβ,(58)β•или, в подробной записи,1c(U, ψ) =2β•β•где ψ1 , ψ2 – координаты вектора ψ, y1 (β), y2 (β) – производные функций y1 (β), y2 (β), которые являются координатами векторной функции y(β) в параметрическом уравнении (56).2 Доказательство.

Пусть полная граница ∂U описывается уравнением (56) при β• β β •• , где β •• − β • = β • − β• . Тогда в силусимметричности фигуры имеем:•••β β ψ ψ dβ.2 , y (β) dβ =,y(β)ψψβ•β• ψПодынтегральная функция ψ, y (β) равна модулю скорости движения проекции точки y(β) на прямую, содержащую вектор ψ и проходящую через 0 (параметр β отождествляем со временем). Поэтому221последний интеграл даёт расстояние, пройденное проекцией при однократном обходе точкой y(β) границы множества. Но это расстояние,в силу симметричности множества, равно учетверённому расстояниюот точки 0 до опорной прямой Γψ , или, принимая во внимание геометψрический смысл опорной функции, равно 4 c(U, ψ), откуда следуетравенство•β ψψ, y (β) dβ = 4 c U,2 ,ψψβ•которое влечёт формулу (57) при ψ = 0. При ψ = 0 формула (57)также, очевидно, верна. Теорема 21.5 доказана.Другое доказательство теоремы 21.5, основанное на приближениимножества вписанным многоугольником, намечено в указаниях к задаче 21.13.

Прямой вывод результата возможен также из интегральнойформулы для ширины гладкого множества, см. задачу 21.13.Иногда интеграл (57) может быть вычислен в аналитической форме, и тогда для опорной функции получается некоторое явное выражение. Если же интегрирование в аналитической форме выполнить неудаётся, то формула (57) позволяет находить приближённо значенияопорной функции при заданном векторе ψ численным методом на основе одной из квадратурных формул, что удобно для алгоритмизациивычислений.Замечание 21.7. На основании формулы (57) решение задачи осужении даётся формулой1c0 (α) =2β•cos α y1 (β) + sin α y2 (β) dβ.β•Приведём несколько примеров применения теоремы 21.5.Пример 21.3. Пусть U = SR (0) – круг радиуса R с центром внуле.

Выберем в качестве кривой верхнюю полуокружностьx1 = y1 (β) ≡ R cos β,0 β π.x2 = y2 (β) ≡ R sin β,Применение формулы (58) даёт:1c(U, ψ) =2πψ1 (−R sin β) + ψ2 (R cos β) dβ =0222ψ=R2π ψ1ψ2 dβ =(−sinβ)+(cosβ) ψψ0ψψψ=R2ψ=R2π0− cos γ sin β + sin γ cos β dβ =0π= q(γ) =cos γsin γsin (β − γ) dβ = R ψ2π0sin β dβ = R ψ 2 = Rψ.2Упражнение 21.4. Что даёт формальное применение формулы (58)в случае сдвинутого круга?Пример 21.4. Пусть U – выпуклое множество, ограниченное элx2 x2липсом 21 + 22 = 1 с полуосями a1 , a2 .

Выберем в качестве кривой a1 a2верхнюю половину эллипсаx1 = y1 (β) ≡ a1 cos β,0 β π.x2 = y2 (β) ≡ a2 sin β,Применение формулы (58) дает:*πa21 ψ12 + a22 ψ221 ψ1 (−a1 sin β) + ψ2 (a2 cos β) dβ =c(U, ψ) =×220π a1 ψ1a2 ψ2*× * 2 2(−sinβ)+(cosβ) dβ =2222 a1 ψ1 + a22 ψ22a1 ψ1 + a2 ψ20⎧⎛⎫⎞a1 ψ1⎪⎪⎪⎪⎨⎜ * 2 2⎬2 2⎟⎜ a1 ψ1 + a2 ψ2 ⎟ = q(γ) = cos γ⎝⎠a2 ψ2sin γ ⎪⎪⎪⎪⎩ * 2 2⎭22a1 ψ1 + a2 ψ2*π)a21 ψ12 + a22 ψ22 =sin (β − γ) dβ = a21 ψ12 + a22 ψ22 .20Пример 21.5. Пусть U – квадрат с вершинами V1 (−1, 0), V2 (0, 1),223V3 (1, 0), V4 (0, −1). Выберем в качестве кривой ломаную V1 V2 V3 .

Отрезок V1 V2 допускает параметризациюx1 = y1 (β) ≡ β,−1 β 0; y1 (β) = 1, y2 (β) = 1,x2 = y2 (β) ≡ 1 + β,отрезок V2 V3 допускает параметризациюx1 = y1 (β) ≡ β,0 β 1;x2 = y2 (β) ≡ 1 − β,y1 (β) = 1, y2 (β) = −1,и применение формулы (58) даёт:c(U, ψ) =1=20−1121ψ1 y1 (β) + ψ2 y2 (β) dβ =−1ψ1 · 1 + ψ2 · 1 dβ + 121ψ1 · 1 + ψ2 · (−1) dβ =0 11= ψ 1 + ψ2 + ψ 1 − ψ2 .22Пример 21.6. Пусть U – ромб с вершинами V1 (−a1 , 0), V2 (0, a2 ),V3 (a1 , 0), V4 (0, −a2 ), a1 , a2 > 0.

Выберем в качестве кривой ломаную V1 V2 V3 . Отрезок V1 V2 допускает параметризациюx1 = y1 (β) ≡ a1 β,−1 β 0, y1 (β) = a1 , y2 (β) = a2 ;x2 = y2 (β) ≡ a2 (1 + β),отрезок V2 V3 допускает параметризациюx1 = y1 (β) ≡ a1 β,0 β 1,x2 = y2 (β) ≡ a2 (1 − β),y1 (β) = a1 , y2 (β) = −a2 ;и применение формулы (58) даёт:1c(U, ψ) =21ψ1 y1 (β) + ψ2 y2 (β) dβ =−1 11= a1 ψ1 + a2 ψ2 + a1 ψ1 − a2 ψ2 .22224Пример 21.7.

Пусть⎧⎫ − cos x1 x2 cos x1 ⎬⎨U = x ∈ E 2 ππ⎩⎭− x1 22– центрально-симметричный выпуклый компакт, ограниченный двумя дугами косинусоид. В качестве кривой берем часть границы,расположенную в верхней полуплоскости и определяемую параметрическими уравнениямиx1 = β,ππ− β .22x2 = cos β,Опорная функция множества U , на основании формулы (58), определяется равенством1c(U, ψ) =2π/2ψ1 − ψ2 sin β dβ.−π/2Пример 21.8. ПустьU= x2 − 4 x 4 − x2211x ∈ E2 −2 x1 2–центрально-симметричный выпуклый компакт,составленный из двухпараболических шапочек. В качестве кривой берем часть границы,расположенную в верхней полуплоскости и определяемую параметрическими уравнениямиx1 = β,− 2 β 2.x2 = 4 − β 2 ,Опорная функция множества U , на основании формулы (58), определяется равенством1c(U, ψ) =22ψ1 − 2βψ2 dβ.−2225Пример 21.9.

Пусть⎧⎫T2 ⎪(x2 + T )2⎪⎪⎪⎨⎬+ x1 −422U = x∈E 22⎪ x (x2 − T ) − T ⎪⎪⎪⎩⎭ 142– центрально-симметричный выпуклый компакт, ограниченный дугами двух парабол, T > 0 – параметр. Граница ∂U содержит две угловых точки P0 (T 2 /2, −T ) и P1 (−T 2 /2, T ). Она представляет собойT -изохрону в линейной задаче быстродействия для тележки. В качестве кривой берем верхнюю часть P0 P1 границы, которая допускаетпараметризацию⎧T2(β + T )2⎨+,x1 = −− T β T.42⎩x2 = β,Опорная функция множества U , на основании формулы (58), определяется равенством1c(U, ψ) =2T −ψ1 β + T + ψ2 dβ.2−TВведение новой переменной интегрирования ξ = β+T2 , dξ =водит к следующему выражению для опорной функцииTc(U, ψ) =dβ2 ,при-−ψ1 ξ + ψ2 dξ.0Пример 21.10.