Ю.Н. Киселёв, С.Н. Аввакумов, М.В. Орлов - Оптимальное управление. Линейная теория и приложения

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТим. М.В. ЛОМОНОСОВАФакультет вычислительной математики и кибернетикиЮ.Н. Киселёв, С.Н. Аввакумов, М.В. ОрловОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ.ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯУчебное пособие для студентовфакультета ВМиК МГУМосква2007УДК 517.977.5ББК 22.161.8K??Печатается по решению редакционно-издательского советафакультета вычислительной математики и кибернетикиМГУ им. М.В. ЛомоносоваР е ц е н з е н т ы:акад. Коровин С.К.проф.

Никольский М.С.Киселёв Ю.Н., Аввакумов С.Н., Орлов М.В.K??Оптимальное управление. Линейная теория и приложения: Учебное пособие для студентов факультета ВМиК МГУ.– М.: Издательский отдел факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова (лицензия ИД N 05899 от 24.09.2001 г.), 2007. – 270 с.ISBN 5-89407-288-3Данное учебное пособие разработано в поддержку курса “Оптимальное управление”, читаемого на факультете ВМиК длястудентов 3-5 курсов. Приводятся подробные пояснения и рекомендации.270 стр., рис.: 101, библиогр.: 32 наим.УДК 517.977.5ББК 22.161.8ISBN 5-89407-288-3c Факультет вычислительной математикии кибернетики МГУ им.

М.В. Ломоносова, 2007c Киселёв Ю.Н., Аввакумов С.Н., Орлов М.В., 20071Введение1.1Постановка математических задач оптимальногоуправления1.1.1Управляемый объект и его динамикаМы постоянно встречаемся с управляемыми объектами, к числукоторых относится, например, автомобиль, корабль, летательный аппарат, робот, технологический процесс на производстве и т.п. У всехэтих объектов есть органы управления (“рули”), изменением положения которых можно влиять на движение объекта.

Возникает вопрос отом, как управлять объектом наилучшим образом (оптимально), какприменять для этих целей математические методы.Применение математических методов для исследования физических, технических, технологических и т.д. процессов становится возможным после того, как построена математическая модель изучаемого процесса. Математические модели реальных физических процессовмогут описываться• обыкновенными дифференциальными уравнениями,• разностными уравнениями,• дифференциальными уравнениями в частных производных,• интегральными уравнениями,• смешанным образом, например, обыкновенными дифференциальными уравнениями и уравнениями в частных производных,• и т.д.Математическое моделирование реальных процессов является ответственным этапом исследования.Мы будем рассматривать математические модели, описываемые системами обыкновенных дифференциальных уравнений.

Такими моделями описывается достаточно широкий круг процессов, например, механическое движение летательных аппаратов и других техническихобъектов.Предположим, что рассматриваемый объект в каждый момент времени t полностью описывается конечным набором чиселx1 (t), . . . , xn (t),3которые называются фазовыми координатами объекта. Из этих чисел образуем вектор⎛ ⎞x1⎜ ..

⎟x = ⎝ . ⎠ , x ∈ En,xnразмерности n, который будем называть вектором фазовых координат объекта. Пусть закон изменения фазовых координат во времениописывается системой обыкновенных дифференциальных уравненийẋi = fi (t, x1 , . . . , xn ; u),i = 1, . . .

, n,dxi– производная по времени t, fi – известныеdtфункции своих аргументов. Основой для составления таких системдифференциальных уравнений служат законы конкретных областейзнания (например, физические законы). Эту систему дифференциальных уравнений удобно записывать в векторной формегде t – время, ẋi =ẋ = f (t, x, u).(1)Итак, динамика управляемого объекта описывается векторным дифференциальным уравнением (1), в правую часть которого входит параметр u, называемый управлением.

Поучительно сравнить уравнение (1) с уравнениемẋ = f (t, x),(2)которое является предметом исследования теории обыкновенных дифференциальных уравнений; правая часть уравнения (2) не содержитаргумента u.Ответим сейчас на вопрос о том, как пользоваться дифференциальным уравнением (1) для выделения и исследования конкретногодвижения управляемого объекта. Уравнение (1) описывает не конкретное движение управляемого объекта, а его технические возможности.Для описания конкретного движения управляемого объекта следует• выбрать управление u = u(t) как некоторую функцию времени t;• задать начальное условиеx(t0 ) = x0 ;4(3)• решить задачу Кошиẋ = f (t, x, u(t)) ≡ F (t, x),x(t0 ) = x0 .(4)Решение x(t) задачи Коши (4), зависящее от управления u(t) и отначального условия x0 , описывает конкретное движение управляемогообъекта.1.1.2Класс допустимых управленийУправление u = u(t) характеризует положение “рулей” управляемого объекта.

Пусть u = (u1 , . . . , ur ) – r-мерный вектор.Если u1 – угол, равный отклонению руля от некоторого направления, то типично ограничение+u−1 u1 u1 ,+где u−1 , u1 – заданные числа, причём важно подчеркнуть, что крайние+значения u−1 , u1 допустимы (неравенства нестрогие).Если, например, u2 – сила тяги, то типично ограничение0 u2 u+2,где u+2 – максимально возможная сила тяги, причём и здесь крайниезначения 0, u+2 также допустимы.Обобщая эту ситуацию, будем считать, что вектор управления вкаждый момент времени t удовлетворяет условиюu ∈ U,где U – некоторое замкнутое ограниченное множество в r-мерномпространстве E r .

Множество U называется областью управления.Опишем теперь класс допустимых управлений У: класс У состоитиз вектор-функций u(t), значения которых удовлетворяют условиюu(t) ∈ U∀t;в описание класса допустимых управлений входит также структурноеограничение на управление u(t), т.е. указание характера зависимости допустимых управлений u(t) от времени t. Например, допустимыеуправления u(t) могут быть5• кусочно-непрерывными функциями времени t,• кусочно-постоянными функциями времени t,• измеримыми функциями времени t,• гладкими функциями времени t.Таким образом, можно кратко записать определение класса У допустимых управлений следующим образом:⎫⎧ 1) u(t) ∈ U ∀t⎪⎪⎬⎨У = u(t) 2) u(t) удовлетворяет заданному структурному ог- .⎪⎪⎭⎩раничению на характер зависимости от времениВыбор структурного ограничения определяется с одной сторонытехническими, а с другой стороны математическими соображениями.Для приложений весьма важен класс кусочно-непрерывных управлений; для решения вопросов теоретического обоснования привлекаетсяболее обширный класс измеримых управлений.Чтобы подчеркнуть зависимость класса У допустимых управленийот области управления U , будем писать У = УU .Определение 1.1.

Управление u(t) называется кусочно-непрерывным на отрезке [t0 , t1 ], если функция u(t) непрерывна на отрезке[t0 , t1 ] всюду, кроме, быть может, конечного числа точек τ1 , . . . , τN ∈(t0 , t1 ), которые являются точками разрыва первого рода (точкамиразрыва с конечными скачками); кроме того, на концах отрезка [t0 , t1 ]выполняются равенстваu(t1 − 0) = u(t1 ).u(t0 + 0) = u(t0 ),Определение 1.2. Управление u(t) будем называть гладким наотрезке [t0 , t1 ], если функция u(t) определена и непрерывна на этомотрезке вместе с первой производной u̇(t).1.1.3Множества начальных и конечных состояний управляемого объектаМы уже говорили (раздел 1.1.1) о том, что для выделения конкретного движения управляемого объекта нужно выбрать управлениеu = u(t) и задать начальное условие x(t0 ) = x0 , а затем решить задачу Коши (4).

Начальный момент времени t0 считается заданным,6управление u(t) выбирается из класса допустимых управлений, описанного в разделе 1.1.2; вектор x0 (начальное состояние управляемогообъекта) может быть однозначно заданным или принадлежать некоторому множеству M0 , лежащему в фазовом пространстве E n . Такимобразом, должно быть выполнено условиеx(t0 ) ∈ M0 ,(5)в котором множество M0 называется множеством начальных состояний управляемого объекта. Это множество может состоять из однойточки x0 , но может быть и более обширным (содержать более однойточки).Предположим, что целью управления движением рассматриваемого объекта является перевод объекта из начального состояния (5) вконечное состояние(6)x(t1 ) ∈ M1 ,где M1 – некоторое множество, лежащее в фазовом пространстве E n .Множество M1 называется множеством конечных состояний объекта.