Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » Ю.Н. Киселёв, С.Н. Аввакумов, М.В. Орлов - Оптимальное управление. Линейная теория и приложения

Ю.Н. Киселёв, С.Н. Аввакумов, М.В. Орлов - Оптимальное управление. Линейная теория и приложения, страница 27

PDF-файл Ю.Н. Киселёв, С.Н. Аввакумов, М.В. Орлов - Оптимальное управление. Линейная теория и приложения, страница 27 Вариационное исчисление (53182): Книга - 7 семестрЮ.Н. Киселёв, С.Н. Аввакумов, М.В. Орлов - Оптимальное управление. Линейная теория и приложения: Вариационное исчисление - PDF, страница 27 (53182) -2019-09-18СтудИзба

Описание файла

PDF-файл из архива "Ю.Н. Киселёв, С.Н. Аввакумов, М.В. Орлов - Оптимальное управление. Линейная теория и приложения", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "вариационное исчисление" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 27 страницы из PDF

ДоказатьУтверждение: Ширина w0 (γ) допускает представление1w0 (γ) =22π q(γ), q (φ) R(φ) dφ.(7)0Указания. Можно обосновать следующую интегральную формулудля ширины выпуклого компакта U в направлении единичного вектора ψ = q(γ):γ+πw0 (γ) =q(γ), −q (φ) R(φ) dφ,(8)γ244илиγ+πsin (φ − γ) R(φ) dφ 0.w0 (γ) =(9)γВ силу неравенства (9) формулу (8) можно записать в видеγ+π q(γ), q (φ) R(φ) dφ.w0 (γ) =(10)γТак как w0 (γ) = w0 (γ + π), q(γ) = −q(γ + π), то из (10) получаемγ+πγ+2π q(γ), q (φ) R(φ) dφ + q(γ + π), q (φ) R(φ) dφ =2w0 (γ) =γγ+πγ+2π q(γ), q (φ) R(φ) dφ.=(11)γСвойство 2π-периодичности подынтегральной функции позволяет вместо отрезка интегрирования [γ, γ + 2π] длины 2π взять отрезок [0, 2π],и из (11) получить следующее выражение для ширины1w0 (γ) =22π q(γ), q (φ) R(φ) dφ.(12)0Утверждение (7) обосновано. Формула (12) получена как следствиеформулы (8).

Для вывода (8) следует записать формулу для c0 (α) вследующем виде:c0 (α) = c0 (γ) cos (α − γ) +c0 (γ) sin (αα− γ) +sin (α − φ)R(φ) dφ.γ245Отсюда получаем:w0 (γ) = c0 (γ) + c0 (γ + π) =γ+πsin (γ + π − φ)R(φ) dφ == c0 (γ) + c0 (γ) cos π +γγ+πsin (φ − γ)R(φ) dφ.=γРавенство (8) получено.Следствие формулы (7): в центрально-симметричном случае выполняется условие c(ψ) = c(−ψ) и для ширины имеет место формулаπ w0 (γ) = q(γ), q (φ) R(φ) dφ(13)0в силу π-периодичности подынтегральной функции. На основаниитеоремы 21.1 граница множества определяется параметрическим уравнением x = x(α) ≡ c (q(α)), причём (см. (17), раздел 6.21) имеем:x (α) = R(α) q (α). Поэтому (13) влечётπ w0 (γ) = q(γ), x (φ) dφ.(14)0Принимая во внимание положительную однородность измерения 1функции ширины и считая ψ = ψ q(γ), имеем:π w(ψ) = ψw0 (γ) = ψ, x (φ) dφ.(15)0Так как в центрально-симметричном случае c(ψ) = c(−ψ), то из (15)получаемπ11 c(ψ) = w(ψ) =(16) ψ, x (φ) dφ.220Если граничная кривая задана параметрическим уравнением (56) израздела 6.21, то из (16) следует результат теоремы 21.5 – формула (57), раздел 6.21, которая выражает опорную функцию центральносимметричного выпуклого компакта в терминах её параметрического246уравнения.

Приведённое доказательство предполагает гладкость опорной функции. Результат сохраняется и в кусочно-гладком случае.Задача 24.15. Найти ширину криволинейного “треугольника Рело” – выпуклой фигуры, которая является пересечением трёх кругов сцентрами в вершинах равностороннего треугольника, радиус каждогоиз этих кругов равен стороне треугольника.Задача 24.16. Вычислить центр Штейнера выпуклого N -угольника с вершинами Vν (aν , bν ), ν = 1, . .

. , N.Задача 24.17. Найти плоскую выпуклую фигуру наибольшей площади при заданной длине L её границы. Указание: решить вариационную задачуS≡122π.(c0 (α))2 − (c0 (α))2 dα → max,c0 (·)0Функция Лагранжа:L = λ02πc0 (α) dα = L.01 . 2c − c20 +λc0 .2 0Уравнение Эйлера−принимает видdLċ0 + Lc0 = 0dαλ0 [c0 + c0 ] + λ = 0.Полагая λ0 = −1, приходим к линейному уравнению c0 + c0 = λ. Его общее решение c0 (α) = λ + κ1 cos α + κ2 sin α содержит две произвольные постоянные κ1 ,κ2 . Изопериметрическое условие позволяет определить множитель λ = L/2π.

Посужению c0 (α) опорной функции c(ψ), ψ = ψ q(α), находим опорную функцию:c(ψ) = ψ c0 (α) = λψ+κ1 ψ1 +κ2 ψ2 . Таким образом, c(ψ) = Rψ+κ1 ψ1 +κ2 ψ2 ,R = L/2π. Эта опорная функция определяет круг радиуса R с центром (κ1 , κ2 ).Окружность, ограничивающая это множество, решает поставленную задачу. Искомаявыпуклая кривая – окружность радиуса R, определяется с точностью до параллельногопереноса.Задача 24.18. Найти плоскую выпуклую фигуру заданной площади с наименьшей длиной её границы.2477Приложение 1. Численные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Схема продолжения по параметру. Компактная формулировка алгоритма. ПримерырасчётовЗдесь описывается метод продолжения по параметру6 в алгоритмахрешения нелинейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Приводятся результаты численных экспериментовдля решения краевых задач, в том числе краевых задач, возникающих в теории оптимального управления. Схему вариации параметра(метод продолжения) можно рассматривать как специальное развитие и модификацию классического метода Ньютона. Основная идеярассматриваемого подхода допускает сжатую формулировку: сведениекраевой задачи к задаче Коши. При рассмотрении задачи Коши в качестве элементарной операции мы приходим к компактному описаниюалгоритма решения краевой задачи методом продолжения по параметру.

Интерес к данной тематике связан с исследованием численныхалгоритмов решения линейной задачи быстродействия и нацелен накраевые задачи принципа максимума. Разработанная программа BVPпозволяет решать в среде Maple регулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений, некоторые краевые задачипринципа максимума, возникающие в оптимальном управлении, задачи поиска периодических решений, предельных циклов и т.д. Излагаемый материал написан на основе работы [32]. Он использовался припроведении практикума по численным методам решения задач управления для студентов кафедры оптимального управления факультетаВМиК МГУ.7.25Метод продолжения для нелинейного векторного уравнения в E nРассмотрим векторное уравнениеΦ(p) = 0,6 см.[24]-[29], а также [31]-[33].248(1)где Φ : E n → E n — гладкая векторная функция.

Предполагаетсяразрешимость уравнения (1). Классический метод Ньютонаpk+1 = pk − [Φ (pk )]−1 Φ(pk ),k = 0, 1, ...,(2)требующий невырожденности вдоль процесса матрицыΦ (p) = (∂Φi (p)/∂pj )i,j=n ,n(3)в случае сходимости обладает квадратичной скоростью сходимости,но он обычно требует “достаточно хорошего” начального приближения p0 . Этот недостаток метода Ньютона преодолевается в методе продолжения, который вырабатывает “хорошее” начальное приближениек решению при грубом начальном приближении. В методе продолжения проблема поиска решений уравнения (1) сводится к некоторойзадаче Коши. Это можно сделать при определённых формулируемыхниже предположениях. В методе продолжения рассматривается уравнение(4)Φ(p) = (1 − µ)Φ(p0 ), µ ∈ [0, 1],содержащее параметр µ. Здесь p0 — некоторая фиксированная точкаиз E n , которую можно рассматривать в качестве начального приближения к решению уравнения (1); погрешность этой аппроксимациине предполагается “малой”.

Уравнение (4) при µ = 0 имеет известноерешение p0 . Для µ = 1 уравнение (4) совпадает с исходным уравнением (1). В методе продолжения по параметру решение p0 трансформируется в искомое решение уравнения (1). Закон этой трансформации описывается задачей Коши. Заметим, что вспомогательное уравнение (4) может быть выбрано в общей форме: H(p, µ) = 0,H(p0 , 0) = 0, H(p, 1) = Φ(p); конкретный выбор функции H можетбыть сделан с учётом специфики решаемой задачи.

Ограничимся рассмотрением вспомогательного уравнения метода продолжения в форме (4). Ниже считаются выполненными следующие два предположения.Предположение 1 (о гладкой ветви).Уравнение (4) при любомµ ∈ [0, 1] имеет решениеp = p(µ),0 µ 1;(5)функция (5) является гладкой функцией параметра µ и удовлетворяет начальному условиюp(µ)|µ=0 = p0 .249(6)Предположение 2 (о невырожденности). Матрица (3) невырождена вдоль ветви (5).Справедливость Предположений 1, 2 зависит от уравнения (1) иот выбора точки p0 . Конечно, прямая проверка Предположений 1, 2 всложных нелинейных задачах невозможна.

Успешное завершение вычислительного процесса может служить косвенным подтверждениемвыполнения этих предположений. Подстановка (5) в (4) приводит ктождествуΦ(p(µ)) = (1 − µ)Φ(p0 ), µ ∈ [0, 1].Дифференцирование этого тождества по параметру µ влечёт соотношениеdp(µ)Φ (p(µ))= −Φ(p0 ).(7)dµИз (6), (7) следует, что функция (5) является решением векторнойзадачи КошиIVP :dp= −[Φ (p)]−1 Φ(p0 ),dµp(µ)|µ=0 = p0 ,0 µ 1.(8)Численное решение задачи Коши (8) позволяет найти функцию p(µ),0 µ 1; векторp(µ)|µ=1(9)должен быть точным решением (1) в идеальной ситуации точного нахождения решения p(µ).

В реальных вычислениях вектор (9) даётновое приближение для решения; точность решения зависит от использованного численного метода и его параметров. Один шаг итерационной процедуры ассоциируется с решением задачи Коши (8).Итерационный процесс p0 , p1 , p2 , . . . поиска решения уравнения (1)представим схемойIVP(8)IVP(8)IVP(8)p0 −−−−→p1 = p(µ)µ=1 −−−−→p2 = p(µ)µ=1 −−−−→p3 .

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5076
Авторов
на СтудИзбе
455
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее