Ю.Н. Киселёв, С.Н. Аввакумов, М.В. Орлов - Оптимальное управление. Линейная теория и приложения, страница 27
Описание файла
PDF-файл из архива "Ю.Н. Киселёв, С.Н. Аввакумов, М.В. Орлов - Оптимальное управление. Линейная теория и приложения", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "вариационное исчисление" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 27 страницы из PDF
ДоказатьУтверждение: Ширина w0 (γ) допускает представление1w0 (γ) =22π q(γ), q (φ) R(φ) dφ.(7)0Указания. Можно обосновать следующую интегральную формулудля ширины выпуклого компакта U в направлении единичного вектора ψ = q(γ):γ+πw0 (γ) =q(γ), −q (φ) R(φ) dφ,(8)γ244илиγ+πsin (φ − γ) R(φ) dφ 0.w0 (γ) =(9)γВ силу неравенства (9) формулу (8) можно записать в видеγ+π q(γ), q (φ) R(φ) dφ.w0 (γ) =(10)γТак как w0 (γ) = w0 (γ + π), q(γ) = −q(γ + π), то из (10) получаемγ+πγ+2π q(γ), q (φ) R(φ) dφ + q(γ + π), q (φ) R(φ) dφ =2w0 (γ) =γγ+πγ+2π q(γ), q (φ) R(φ) dφ.=(11)γСвойство 2π-периодичности подынтегральной функции позволяет вместо отрезка интегрирования [γ, γ + 2π] длины 2π взять отрезок [0, 2π],и из (11) получить следующее выражение для ширины1w0 (γ) =22π q(γ), q (φ) R(φ) dφ.(12)0Утверждение (7) обосновано. Формула (12) получена как следствиеформулы (8).
Для вывода (8) следует записать формулу для c0 (α) вследующем виде:c0 (α) = c0 (γ) cos (α − γ) +c0 (γ) sin (αα− γ) +sin (α − φ)R(φ) dφ.γ245Отсюда получаем:w0 (γ) = c0 (γ) + c0 (γ + π) =γ+πsin (γ + π − φ)R(φ) dφ == c0 (γ) + c0 (γ) cos π +γγ+πsin (φ − γ)R(φ) dφ.=γРавенство (8) получено.Следствие формулы (7): в центрально-симметричном случае выполняется условие c(ψ) = c(−ψ) и для ширины имеет место формулаπ w0 (γ) = q(γ), q (φ) R(φ) dφ(13)0в силу π-периодичности подынтегральной функции. На основаниитеоремы 21.1 граница множества определяется параметрическим уравнением x = x(α) ≡ c (q(α)), причём (см. (17), раздел 6.21) имеем:x (α) = R(α) q (α). Поэтому (13) влечётπ w0 (γ) = q(γ), x (φ) dφ.(14)0Принимая во внимание положительную однородность измерения 1функции ширины и считая ψ = ψ q(γ), имеем:π w(ψ) = ψw0 (γ) = ψ, x (φ) dφ.(15)0Так как в центрально-симметричном случае c(ψ) = c(−ψ), то из (15)получаемπ11 c(ψ) = w(ψ) =(16) ψ, x (φ) dφ.220Если граничная кривая задана параметрическим уравнением (56) израздела 6.21, то из (16) следует результат теоремы 21.5 – формула (57), раздел 6.21, которая выражает опорную функцию центральносимметричного выпуклого компакта в терминах её параметрического246уравнения.
Приведённое доказательство предполагает гладкость опорной функции. Результат сохраняется и в кусочно-гладком случае.Задача 24.15. Найти ширину криволинейного “треугольника Рело” – выпуклой фигуры, которая является пересечением трёх кругов сцентрами в вершинах равностороннего треугольника, радиус каждогоиз этих кругов равен стороне треугольника.Задача 24.16. Вычислить центр Штейнера выпуклого N -угольника с вершинами Vν (aν , bν ), ν = 1, . .
. , N.Задача 24.17. Найти плоскую выпуклую фигуру наибольшей площади при заданной длине L её границы. Указание: решить вариационную задачуS≡122π.(c0 (α))2 − (c0 (α))2 dα → max,c0 (·)0Функция Лагранжа:L = λ02πc0 (α) dα = L.01 . 2c − c20 +λc0 .2 0Уравнение Эйлера−принимает видdLċ0 + Lc0 = 0dαλ0 [c0 + c0 ] + λ = 0.Полагая λ0 = −1, приходим к линейному уравнению c0 + c0 = λ. Его общее решение c0 (α) = λ + κ1 cos α + κ2 sin α содержит две произвольные постоянные κ1 ,κ2 . Изопериметрическое условие позволяет определить множитель λ = L/2π.
Посужению c0 (α) опорной функции c(ψ), ψ = ψ q(α), находим опорную функцию:c(ψ) = ψ c0 (α) = λψ+κ1 ψ1 +κ2 ψ2 . Таким образом, c(ψ) = Rψ+κ1 ψ1 +κ2 ψ2 ,R = L/2π. Эта опорная функция определяет круг радиуса R с центром (κ1 , κ2 ).Окружность, ограничивающая это множество, решает поставленную задачу. Искомаявыпуклая кривая – окружность радиуса R, определяется с точностью до параллельногопереноса.Задача 24.18. Найти плоскую выпуклую фигуру заданной площади с наименьшей длиной её границы.2477Приложение 1. Численные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Схема продолжения по параметру. Компактная формулировка алгоритма. ПримерырасчётовЗдесь описывается метод продолжения по параметру6 в алгоритмахрешения нелинейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Приводятся результаты численных экспериментовдля решения краевых задач, в том числе краевых задач, возникающих в теории оптимального управления. Схему вариации параметра(метод продолжения) можно рассматривать как специальное развитие и модификацию классического метода Ньютона. Основная идеярассматриваемого подхода допускает сжатую формулировку: сведениекраевой задачи к задаче Коши. При рассмотрении задачи Коши в качестве элементарной операции мы приходим к компактному описаниюалгоритма решения краевой задачи методом продолжения по параметру.
Интерес к данной тематике связан с исследованием численныхалгоритмов решения линейной задачи быстродействия и нацелен накраевые задачи принципа максимума. Разработанная программа BVPпозволяет решать в среде Maple регулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений, некоторые краевые задачипринципа максимума, возникающие в оптимальном управлении, задачи поиска периодических решений, предельных циклов и т.д. Излагаемый материал написан на основе работы [32]. Он использовался припроведении практикума по численным методам решения задач управления для студентов кафедры оптимального управления факультетаВМиК МГУ.7.25Метод продолжения для нелинейного векторного уравнения в E nРассмотрим векторное уравнениеΦ(p) = 0,6 см.[24]-[29], а также [31]-[33].248(1)где Φ : E n → E n — гладкая векторная функция.
Предполагаетсяразрешимость уравнения (1). Классический метод Ньютонаpk+1 = pk − [Φ (pk )]−1 Φ(pk ),k = 0, 1, ...,(2)требующий невырожденности вдоль процесса матрицыΦ (p) = (∂Φi (p)/∂pj )i,j=n ,n(3)в случае сходимости обладает квадратичной скоростью сходимости,но он обычно требует “достаточно хорошего” начального приближения p0 . Этот недостаток метода Ньютона преодолевается в методе продолжения, который вырабатывает “хорошее” начальное приближениек решению при грубом начальном приближении. В методе продолжения проблема поиска решений уравнения (1) сводится к некоторойзадаче Коши. Это можно сделать при определённых формулируемыхниже предположениях. В методе продолжения рассматривается уравнение(4)Φ(p) = (1 − µ)Φ(p0 ), µ ∈ [0, 1],содержащее параметр µ. Здесь p0 — некоторая фиксированная точкаиз E n , которую можно рассматривать в качестве начального приближения к решению уравнения (1); погрешность этой аппроксимациине предполагается “малой”.
Уравнение (4) при µ = 0 имеет известноерешение p0 . Для µ = 1 уравнение (4) совпадает с исходным уравнением (1). В методе продолжения по параметру решение p0 трансформируется в искомое решение уравнения (1). Закон этой трансформации описывается задачей Коши. Заметим, что вспомогательное уравнение (4) может быть выбрано в общей форме: H(p, µ) = 0,H(p0 , 0) = 0, H(p, 1) = Φ(p); конкретный выбор функции H можетбыть сделан с учётом специфики решаемой задачи.
Ограничимся рассмотрением вспомогательного уравнения метода продолжения в форме (4). Ниже считаются выполненными следующие два предположения.Предположение 1 (о гладкой ветви).Уравнение (4) при любомµ ∈ [0, 1] имеет решениеp = p(µ),0 µ 1;(5)функция (5) является гладкой функцией параметра µ и удовлетворяет начальному условиюp(µ)|µ=0 = p0 .249(6)Предположение 2 (о невырожденности). Матрица (3) невырождена вдоль ветви (5).Справедливость Предположений 1, 2 зависит от уравнения (1) иот выбора точки p0 . Конечно, прямая проверка Предположений 1, 2 всложных нелинейных задачах невозможна.
Успешное завершение вычислительного процесса может служить косвенным подтверждениемвыполнения этих предположений. Подстановка (5) в (4) приводит ктождествуΦ(p(µ)) = (1 − µ)Φ(p0 ), µ ∈ [0, 1].Дифференцирование этого тождества по параметру µ влечёт соотношениеdp(µ)Φ (p(µ))= −Φ(p0 ).(7)dµИз (6), (7) следует, что функция (5) является решением векторнойзадачи КошиIVP :dp= −[Φ (p)]−1 Φ(p0 ),dµp(µ)|µ=0 = p0 ,0 µ 1.(8)Численное решение задачи Коши (8) позволяет найти функцию p(µ),0 µ 1; векторp(µ)|µ=1(9)должен быть точным решением (1) в идеальной ситуации точного нахождения решения p(µ).
В реальных вычислениях вектор (9) даётновое приближение для решения; точность решения зависит от использованного численного метода и его параметров. Один шаг итерационной процедуры ассоциируется с решением задачи Коши (8).Итерационный процесс p0 , p1 , p2 , . . . поиска решения уравнения (1)представим схемойIVP(8)IVP(8)IVP(8)p0 −−−−→p1 = p(µ)µ=1 −−−−→p2 = p(µ)µ=1 −−−−→p3 .