Ю.Н. Киселёв, С.Н. Аввакумов, М.В. Орлов - Оптимальное управление. Линейная теория и приложения, страница 25

ПустьU= (x1 + 1)2 + x2 222x∈E (x1 − 1)2 + x22 2– центрально-симметричный выпуклый компакт, ограниченный дугами двух окружностей (лунка, см. рисунок 5.1 б)). Граница ∂U содержит две угловых точки P0 (0, −1) и P1 (0, 1). В качестве кривой берёмправую часть P0 P1 границы, которая допускает параметризацию√x1 = −1 + 2 cos β,− π/4 β π/4.√x2 =2 sin β,226Опорная функция множества U , на основании формулы (58), определяется равенством1c(U, ψ) = √2π/4−ψ1 sin β + ψ2 cos β dβ.−π/4Упражнение 21.5. Можно ли вычислить в аналитической формеинтегралы в примерах 21.7-21.10?6.21.9 Центр ШтейнераОпределение 21.2. Центром Штейнера выпуклого компактаU ⊂ E 2 называется точка w = w(U ) ∈ E 2 , определяемая равенством1w=c(ψ)ψ dS,(59)πSгде S = {ψ ∈ E 2 : ψ = 1} – единичная окружность с центром внуле, c(ψ) – опорная функция множества U , интеграл (криволинейныйинтеграл первого рода) берётся по длине дуги единичной окружности.Формулу (59) можно записать, полагая ψ = q(α), dS = dα, в виде1w=ππ(60)c0 (α)q(α) dα.−πКоординаты w1 , w2 центра Штейнера1w1 =ππ1w2 =πc0 (α) cos α dα,−ππc0 (α) sin α dα(61)−πявляются коэффициентами Фурье a1 , a2 функции c0 (α) на отрезке[−π, π], см.

замечание 21.3.Для выпуклого компакта U , опорная функция которого имеет непрерывный градиент c (ψ), ψ = 0, центр Штейнера (59) может бытьнайден по формуле1w=c (ψ) dS.(62)2πS227Формулу (62) можно записать в форме1w=2ππc (q(α)) dα.(63)−πОбоснование формул (62) и (63) легко выполнить с привлечениемформул (1), (3):12ππ−π1=2π1c (q(α)) dα =2ππ−πππ[c0 (α)q(α) + c0 (α)q (α)] dα =−π1c0 (α)q(α) dα +2ππq (α) dc0 (α) =−π⎡⎤ππ1 ⎣ q (α)c0 (α) − q (α)c0 (α) dα⎦ =c0 (α)q(α) dα +2π−π−π−π% &q (α) = −q(α)π11c0 (α)q(α) dα =c(ψ)ψ dS.=ππ1=2π−πSДокажем липшицевость центра Штейнера как функции множества. Применение формулы (59) приводит к следующему утверждению.Теорема 21.6.

Для центров Штейнера любых двух выпуклых компактов U , V ⊂ E 2 выполняется неравенствоw(U ) − w(V ) 2 h(U, V ),(64)h(U, V ) = max |c(U, ψ) − c(V, ψ)| ,(65)гдеψ=1h(·, ·) – расстояние Хаусдорфа.Теорема 21.7. Центр Штейнера выпуклого компакта принадлежитэтому компакту:w(U ) ∈ U.(66)2 Доказательство.

Включение (66) равносильно условиюc(p) − (w, p) 0228∀p ∈ S,(67)которое, если записать единичный вектор p в форме p = q(γ), принимает видg(γ) ≡ c(q(γ)) − (w, q(γ)) 0∀γ ∈ [−π, π].(68)Предположим, что множество U является гладким. Тогда, используяформулу (63) для центра Штейнера, имеем:⎛⎞π1g(γ) = c(q(γ)) · 1 − ⎝c (q(α)) dα, q(γ)⎠ =2π1=2π=12ππ−ππ−π1c(q(γ)) dα −2π.πc (q(α), q(γ) dα =−πc(q(γ)) − c (q(α), q(γ) dα 0,−πтак как, в силу включения c (q(α)) ∈ U и определения опорной функции, подынтегральная функция в последнем интеграле неотрицательна. Таким образом, в случае гладкого множества U теорема 21.7 доказана. Справедливость включения (66) для любого выпуклого компакта U устанавливается следующим образом. Любой выпуклый компакт U можно аппроксимировать семейством гладких выпуклых компактов Uµ , зависящих от параметра µ > 0, так, что h(U, Uµ ) → 0,µ → +0.

Включениеw(Uµ ) ∈ Uµ ,µ > 0,(69)для центра Штейнера компакта Uµ , обоснованное выше, влечёт включение (66). Действительно, включение (69) равносильно условиюc(Uµ , p) − (w(Uµ ), p) 0 ∀p ∈ S.(70)В силу непрерывности опорной функции по первому аргументу (множеству) имеем: c(Uµ , p) → c(U, p) при µ → +0, а из оценки (64) теоремы 21.6 следует, что w(Uµ ) → w(U ) при µ → +0, поэтому предельныйпереход при µ → +0 в неравенстве (70) влечёт условие (67), котороеравносильно включению (66). Теорема 21.7 доказана полностью.

Упражнение 21.6. Показать, что центр Штейнера круга SR (a)совпадает с точкой a.229Упражнение 21.7. Показать, что центр Штейнера треугольника свершинами V1 , V2 , V3 является выпуклой комбинацией его вершинw = κ1 V 1 + κ2 V 2 + κ3 V 3 ,с коэффициентамиκi =∆φi, i = 1, 2, 3,2πκ1 + κ2 + κ3 = 1,где ∆φi – внешний угол треугольника при вершине Vi . Рассмотретьчастный случай: V1 (1, 0), V2 (0, 1), V3 (0, 0).Теорема 21.8 (об экстремальном свойстве центра Штейнера).Центр Штейнера является минимизатором функцииF (w) =#$2(w, ψ) − c(ψ) dS ≡π#$2w1 cos α + w2 sin α − c0 (α) dα,−πSгде w = (w1 , w2 ) ∈ E 2 .Упражнение 21.8.

Найти точку минимума (минимизатор) функции F (w). Сравнить её с центром Штейнера, см. (59), (60), (61).Функцию F (w) перепишем в виде#$2c(U − w, ψ) dS,F (w) =Sгде c(U − w, ψ) – опорная функция множества U − w, полученного параллельным переносом множества U на вектор −w. Отсюда вытекаетследующая геометрическая интерпретация центра Штейнера: среднеквадратичное отклонение точки w от опорных к множеству U прямыхминимально при w = w.6.22Критерий выпуклости положительно однородной функции измерения единицаРассмотрим непрерывную функциюs(·): E 2 → E 1 ,(1)удовлетворяющую условию положительной однородности измерения 1:s(λψ) = λs(ψ) ∀λ 0, ψ ∈ E 2 .230(2)Функция (1) при условии (2) не всегда является опорной функциейвыпуклого компакта.Пример 22.1. Пусть c1 (ψ), c2 (ψ) – опорные функции выпуклыхкомпактов U1 , U2 .

Положимs(ψ) = c1 (ψ) − c2 (ψ).Эта функция удовлетворяет условию (2), но не всегда является опорной функцией. Например, при c1 (ψ) = 0, c2 (ψ) = ψ имеем:s(ψ) = −ψ.Последняя функция не является опорной функцией, так как она неявляется выпуклой.Пример 22.2. Пусть ci (·), i = 0, 1, 2, – опорные функции выпуклыхкомпактов Ui ⊂ E 2 , i = 0, 1, 2. Определим функцию s(ψ), полагаяs(ψ) = c0 (q) q1 =c1 (ψ) .q2 =c2 (ψ)Эта функция, построенная по принципу суперпозиции, удовлетворяетусловию (2), но не всегда является опорной функцией.При рассмотрении функций (1), (2) представляет значительныйинтерес формулировка условий их выпуклости, удобных для анализаконкретных примеров.Приведём условия выпуклости в предположении, что функция (1),(2) является гладкой в E 2 \ {0}.

Положимρ(α) =s0 (α)s0 (α) = s(q(α)),+ s0 (α) ≡ q ∗ (α)s (q(α))q (α).Заметим, что эти функции 2π-периодичны, и выполняется условиеортогональностиπρ(α)q(α) dα = 0.−πСобственными значениями гессиана s (q(α)) являются 0 и ρ(α). Таким образом, имеет местоТеорема 22.1. Неотрицательность функции ρ(α) влечёт выпуклость функции (1), (2).231Таким образом, условие ρ(α) 0 есть необходимое и достаточноеусловие выпуклости функции (1), (2).Удобство применения этого критерия выпуклости функции двухпеременных s(ψ1 , ψ2 ) заключается в том, что требуется проверка знака функции ρ(α) одной переменной α при α ∈ [0, 2π].

Условие неотрицательности функции ρ(α) влечёт так называемую тригонометрическую выпуклость функции s0 (α).Функция (1), (2) при дополнительном условии выпуклости является опорной функцией некоторого плоского выпуклого компакта. Подобные проблемы проверки выпуклости функции (1), (2) возникаютпри исследовании задач сглаживания выпуклых множеств (см. [23]).6.23Примеры построения множеств достижимости(управляемости) в плоских линейных управляемых системах.

Двумерные проекции множествдостижимости многомерных линейных управляемых системРассмотрим линейную управляемую системуẋ = Ax + u; x ∈ E 2 ; u ∈ U ⊂ E 2 ,x(0) = x0 ,(1)где область управления U – выпуклый компакт, A ∈ E 2×2 – известная матрица, x0 = (x01 , x02 ) ∈ E 2 – заданное начальное состояние.Множество достижимости X(T ) системы (1) в момент времени T является выпуклым компактом.

Множество X(T ) описывается опорнойфункциейc(X(T ), p) = (x0 , eT A∗T∗c(U, e tA p) dt,p) +0ПриetA∗=e11 (t)e21 (t)232e12 (t)e22 (t)p ∈ E2.(2)имеем: e11 (t) p1 + e12 (t) p2p1p=e, p=,e21 (t) p1 + e22 (t) p2p2∗x0 , e T A p = x01 e11 (T ) p1 + e12 (T ) p2 + x02 e21 (T ) p1 + e22 (T ) p2 .T A∗Приведём правило построения экспоненциала для любой квадратной матрицы второго порядка.Утверждение 23.1 (об экспоненциале квадратной матрицы второго порядка). Имеет место следующие формулы:. 1etA =λ1 eλ2 t − λ2 eλ1 t I + eλ1 t − eλ2 t A ,λ1 − λ2если λ1 = λ2 , λ1 , λ2 ∈ E 1 ;.(1 − λt) I + tA ,etA = eλtetA =eρtνесли λ = λ1 = λ2 ∈ E 1 ;.ν cos(ν t) − ρ sin(ν t) I + sin(ν t) A ,если λ1,2 = ρ ± iν;здесь λ1 , λ2 – собственные значения матрицы A, I – единичная матрица, i – мнимая единица.Обсудим вопрос о практической реализации процесса построениямножества достижимости X(T ) по его опорной функции (2).

Интегралв правой части (2) представим приближённо суммойσ(p, N ) =N∗TTc(U, en N A p),Nn=1где N – число узлов. Функцию (2) приближённо представляет функция∗s(p, N ) = (x0 , e T A p) + σ(p, N ).Полагаем⎧⎪⎪⎨ s0 (α) = s(p, N )p=q(α) ,⎪⎪⎩ ds0 (α) = d s0 (α).dα233q(α) =cos(α),sin(α)(3)Разумеется, функции (3) зависят от не только от углового параметра α, но и от времени T , от числа узлов N . Граница ∂X(T ) множествадостижимости описывается приближённо параметрическими уравнениямиx1 = s0 (α) cos(α) − ds0 (α) sin(α),α ∈ [0, 2π].(4)x2 = s0 (α) sin(α) + ds0 (α) cos(α),При необходимости опорная функция области управления U можетбыть взята в сглаженной форме с малым параметром сглаживания.Приведём некоторые примеры расчётов, выполненных в вычислительной среде Maple на основе уравнений (4).Замечание 23.1. Построение кривой, определяемой параметрическими уравнениями (4), в среде Maple достигается командойplot([x1(alpha),x2(alpha),alpha=0..2*Pi]);Предполагается, что функция s0 (α) описана аналитически, производная s0 (α) находится средствами компьютерной алгебры командойds0:=unapply(diff(s0(alpha),alpha),alpha);Замечание 23.2.

При построении функции σ(p, N ) можно привлекать другие квадратурные формулы.Пример 23.1. Для управляемого объекта (1), где −10 1u1 = 0,, x0 =A=, U=1|u2 | 10 0(тележка) построить множества достижимости для моментов времени√√√T1 = 2 − 1, T2 = 2 ( 2 − 1), T3 = 6 − 1, T4 = 2.(5)Результаты расчётов показаны на рисунке 23.1. Число узлов N = 100.Пример 23.2.

Для управляемого объекта из предыдущего примера построить множества достижимости в случае x0 = 0. Результатырасчётов представлены на рисунке 23.2. При изменении знаков параметров (5) получим изохроны, см. рисунок 23.3.Пример 23.3. В случае"0 1A=, U = L ≡ S√2 (−1, 0) S√2 (1, 0), x0 = 0, T = 20 0234T3T22T1x0T4x120Рисунок 23.12 x22 x2x12 −2−2−2x12−2Рисунок 23.2Рисунок 23.3235построить множество достижимости X(T ). Результат расчёта показанна рисунке 23.4. Вторая кривая на этом рисунке представляет границу∂X(2) множества достижимости X(2) из примера 23.2 с областьюуправления, имеющей форму отрезкаU = {u1 = 0, |u2 | 1}.Последняя область показана на рисунке 23.4 светлой заливкой.

Расширение области управления влечёт расширение множества достижимости (при x0 = 0).2 x21x11−2−102−1X(2)−2Рисунок 23.4Пример 23.4. В случаеψ10 1A=, c(U, ψ) = 2 ψ1 arcsin+ 2 |ψ2 |,0 0ψx0 = 0построить множества достижимости X(T ) для моментов времени (5).Область управления U является центрально-симметричным множеством, ограниченным двумя арками циклоиды, см.