Ю.Н. Киселёв, С.Н. Аввакумов, М.В. Орлов - Оптимальное управление. Линейная теория и приложения, страница 26

рисунок 23.5. Верхняя половина границы ∂U описывается параметрическими уравнениямиu1 = t − sin t − π,t ∈ [0, 2π].u2 = 1 − cos t,Множества достижимости X(T ) для моментов времени (5) показанына рисунке 23.6.2362 u24U−202u1πx2−55x1−4−2Рисунок 23.5Рисунок 23.6Замечание 23.3 (о характере аппроксимации выпуклого компакта на основе отрезка ряда Фурье). Обсудим этот вопрос на примере множества, имеющего форму треугольника. Рассмотрим множество U = {u1 + u2 1, u1 0, u2 0} – треугольник с опорнойфункциейc(ψ) = max{0, ψ1 , ψ2 }.Рассмотрим функциюc0 (α) = c(ψ)ψ1 =cos(α), ψ2 =sin(α)– сужение опорной функции c(·) на единичную окружность.

Множество U однозначно определяется функцией c0 (·). Построим отрезокряда Фурье для функции c0 (·):a0 +(an cos(nt) + bn sin(nt)),2n=1NSN (t) =гдеan =1ππc0 (t) cos(nt) dt,bn =−π1ππc0 (t) sin(nt) dt.−πПрямые вычисления дают√2+ 23, a1 = b1 = ,a0 =π8√cos( π2 k) + 2 cos( π4 k) + (−1)kak = −,π(k 2 − 1)√− sin( π2 k) + 2 sin( π4 k)bk = −,π(k 2 − 1)237⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭k = 2, 3, .

. .Параметры a1 = b1 = 3/8 определяют координаты центра Штейнерамножества U .Запишем по образцу формул (4) параметрические уравненияx1 = SN (t) cos(t) − ṠN (t) sin(t),t ∈ [0, 2π], N 1. (6)x2 = SN (t) sin(t) + ṠN (t) cos(t),На рисунке 23.7 показаны кривые U1 , U2 , U3 , определяемые параметрическими уравнениями (6), при N = 1, 2, 3 соответственно.Треугольник U показан заливкой.

Кривая U1 является окружностьюрадиуса a0 /2 ≈ 1.087 с центром w = (3/8, 3/8). На рисунке 23.8построена аналогичная кривая U15 при N = 15. Получаемые аппроксимации границы могут иметь невыпуклый характер (при N > 2),с “хвостами”.x21U3U2U1wU1 x10Рисунок 23.7Изложенные в замечании 23.3 анализ примера и представленныйэкспериментальный материал не позволяют сделать вывод о перспективности рассмотренного в этом замечании подхода для аппроксимации границы плоского выпуклого компакта (в том числе и множества достижимости). Основную причину этого вывода можно усмотреть в отсутствии выпуклости получаемых аппроксимаций, в отли-238x21U15wUx101Рисунок 23.8чие от изложенного в начале данного раздела.

При достаточно большом коэффициенте a0 /2, обеспечивающем выполнение неравенстваS̈N (t)+SN (t) 0, изложенный подход вполне работоспособен. Увеличение коэффициента a0 /2 происходит при алгебраическом сложениимножества с кругом SR (0).В заключение обсудим кратко вопрос о построении двумерныхпроекций множеств достижимости многомерных линейных управляемых систем. Пусть X ⊂ E n , Y = πX ⊂ E 2 – выпуклые компакты.Здесь π – (2 × n)-матрица, транспонированная матрица π ∗ составленаиз столбцов π1 , π2 ∈ E n , π1 = π2 = 1, π1 ⊥π2 . Таким образом,Y есть двумерная проекция множества X. Опорная функция s(q) множества Y и её сужение s0 (α) на единичную окружность имеют видs(q) = c(X, π ∗ q), q ∈ E 2 ,s0 (α) ≡ s(q(α)) = c(X, π ∗ q(α)) == c(X, π1 cos(α) + π2 sin(α)),α ∈ [0, 2π].(7)Если X = X(T ) есть множество достижимости n-мерной (n > 2)линейной управляемой системы, то, опираясь на вид опорной функции (2), p ∈ E n , формулу (7) и параметрические уравнения (4), можнопостроить кривую ∂Y .239Пример 23.5.

Двумерная проекция на плоскость x3 = 0 множества достижимости X(T ), X(0) = {0}, трёхкратного интегратора:x˙1 = x2 ,x˙2 = x3 ,x˙3 = u;|u| 1;x1 (0) = x2 (0) = x3 (0) = 0.Полагая π1 = (1, 0, 0)∗ , π2 = (0, 1, 0)∗ , имеем: T 2tc(X(T ), p) = 2 p1 + tp2 + p3 dt,0 T 2t cos α + t sin α dt.s0 (α) = c(X(T ), π ∗ q(α)) =20Результаты расчёта при T = 2 показаны на рисунке 23.9, где жирной линией отмечена граница ∂Y проекции Y множества достижимости X(2) на плоскость x3 = 0. Эта линия является линией пересечения цилиндра (с образующими, параллельными оси x3 ), описанноговокруг трёхмерного множества достижимости, и плоскости x3 = 0.Множество достижимости отмечено темным цветом, цилиндр – серым цветом, плоскость x3 = 0 – светлой заливкой.

На рисунке 23.10показаны линия ∂Y и проекция Y множества X(2). В расчётах опорная функция области управления записывалась в сглаженной формес малым параметром сглаживания ν = 10−6 .X(T )2x30x3 = 0∂Y−2−2C00x12Рисунок 23.9240x2 22∂Y1s (q(π/2)) π2α)q(π2s (q(α))Y−20π12−1π110Y∂Ys (q(0))−1−2Рисунок 23.10Рисунок 23.11Результат проектирования множества X(2) на плоскостьx1 + x2 + x3 = 0показан на рисунке 23.11.

При вычислениях положено1π1 = √ (0, 1, −1)∗ ,21π2 = √ (−2, 1, 1)∗ .6Кривые ∂Y на рисунках 23.10, 23.11 построены с помощью описанной выше “плоской” методики.6.24Задачи*Задача 24.1. По известной функции c0 (α) = 1 + (sin α)2 найтиопорную функцию c(ψ) выпуклого множества U , множество U , записать параметрические уравнения его границы ∂U , вычислить радиускривизны R(α), проверить условие ортогональности (9), раздел 6.21.Задача 24.2. Пусть c0 (α) = 5 + cos 2α + sin 2α – сужение опорнойфункции c(ψ) выпуклого компакта U . Найти опорную функцию c(ψ),проверить её выпуклость, выписать параметрические уравнения границы ∂U .

Построить граничную кривую (например, привлекая Maple).Задача 24.3. Положительно однородная (измерения 1) функция s(ψ) задана своим сужением s0 (α) = 10+cos 3α+sin 3α на единичную окружность. Найти функцию s(ψ), исследовать её на выпуклость.Построить график функции ρ(α) = s0 (α) + s0 (α).241Задача 24.4. Указать условия на параметры q11 , q12 , q22 , при которых положительно однородная (измерения 1) функция⎧22⎨ q11 ψ1 + 2q12 ψ1 ψ2 + q22 ψ2 , ψ = 0,ψs(ψ) =⎩0,ψ = 0,является выпуклой.Задача 24.5. Доказать, что функция/21c(ψ) = ψ12 + ψ2 + |ψ2 |4является опорной функцией некоторого выпуклого компакта U . Найти U .Задача 24.6. Проверить выпуклость функции62)1c(ψ) = ψ12 +ψ2 + ψ12 + 2ψ22 .4Построить выпуклое множество по его опорной функции c(ψ).Задача 24.7.

Проверить, что решение c0 (α) дифференциальногоуравнения (6) из раздела 6.21c0 (α) + c0 (α) = R(α)может быть записано в формеαsin (α − s)R(s) ds,c0 (α) = a cos α + b sin α +(1)0c0 (0).с постоянными a = c0 (0), b =Формулу (1) представить в виде⎡⎤⎡⎤ααc0 (α) = ⎣a − R(s) sin s ds⎦ cos α + ⎣b + R(s) cos s ds⎦ sin α,0или0c0 (α) = x(α), q(α) ,242(2)где первый множитель скалярного произведения есть двумерный вектор⎞⎛α⎜a − R(s) sin s ds⎟⎟⎜⎟⎜0(3)x(α) = ⎜⎟,α⎟⎜⎝b + R(s) cos s ds⎠0который допускает следующее компактное выражениеαx(α) = P0 +R(s) q (s) ds,(4)0 aздесь P0 ≡∈ ∂U . Таким образом, в силу (2), точка x(α), опредеbляемая соотношениями (3) или (4), является опорной точкой выпуклого компакта U , отвечающей опорному вектору q(α).

Это соображениеприводит к параметрическому уравнению границы выпуклого компакта U в формеx = x(α), 0 α 2π,(5)или, в координатной записи,⎧α⎪⎪⎪⎪x = a − R(s) sin s ds,⎪⎪ 1⎨0α⎪⎪⎪⎪⎪x = b + R(s) cos s ds.⎪⎩ 2(6)0Эти уравнения содержат граничную точку P0 = x(0) и выражаютсячерез функцию R(α) – радиус кривизны границы. Установить связьмежду уравнениями (5), (6) и уравнениями (3), (4) из раздела 6.21,указанными в теореме 21.1.Задача 24.8. Вывести формулу (1) для решения уравнения (6),раздел 6.21, полагая y1 = c0 , y2 = c0 и переходя от уравнения (6),раздел 6.21, к системе двух уравнений первого порядка d y1y10=J+y2R(α)dα y2243и, наконец, применяя формулу Коши.Задача 24.9.

Привести пример выпуклого компакта, у которого граничная кривая имеет нулевой радиус кривизны в одной илинескольких изолированных точках.Задача 24.10. Исследовать на непрерывность и дифференцируемость опорную функцию множества U = {x ∈ E 2 : (x1 ± 1)2 + x22 2}(лунки).Задача 24.11. Вычислить интегралы в примерах 21.7-21.10. Выписать сужения опорных функций.Задача 24.12. Найти центр Штейнера треугольника с вершинамиV1 (−1, 0), V2 (0, 1), V3 (1, 0).Задача 24.13.

Доказать формулу (57), раздел 6.21, теоремы 21.5,рассматривая центрально-симметричный вписанный в ∂U многоугольник, у которого 2N равных сторон. Выписывая опорную функциюэтого многоугольника и переходя к пределу при N → ∞, вывести формулу (57) из раздела 6.21 для опорной функции центральносимметричного выпуклого компакта U .Задача 24.14. Определение. Функция w(ψ) = c(ψ) + c(−ψ) называется функцией ширины выпуклого компакта U в направлениивектора ψ, если c(ψ) – опорная функция множества U . Геометрический смысл функции w(ψ): для любого единичного вектора ψ расстояние между опорными к множеству U прямыми Γψ и Γ−ψ равно w(ψ)(проверить!). Пусть теперь U ∈ SM (E 2 ) – плоский гладкий выпуклый компакт, c0 (α) = c(q(α)), w0 (α) = w(q(α)). Последняя функцияπ−периодична: w(α) = w(α + π).