Ю.Н. Киселёв, С.Н. Аввакумов, М.В. Орлов - Оптимальное управление. Линейная теория и приложения, страница 23

(8) и условие 2◦ определения 21.1.Проверим условие ортогональности (9). Имеем, привлекая (6):ππR(α)q(α) dα =−π# $c0 (α) + c0 (α) q(α) dα.−πПрименяя дважды формулу интегрирования по частям, находим:πc0 (α)q(α) dα−ππ=q(α) dc0 (α) =−ππππc0 (α)q (α) dα = − q (α) dc0 (α) == q(α)c0 (α) −−π−π−πππc0 (α)q (α) dα == −q (α)c0 (α) +−π−π205(14)π=−c0 (α)q(α) dα.(15)−πВнеинтегральные члены обращаются в нуль в силу периодичностисоответствующих функций. Из (14), (15) следует условие ортогональности (9).Вычислим, наконец, кривизну кривой ∂U , используя формулуk(α) =det(x (α)|x (α))x (α)x (α) − x1 (α)x2 (α)≡ 1 23/2 .32x (α)x21 (α) + x2 (α)(16)Напомним, что в силу (3)x1 (α)x(α) == c0 (α) q(α) + c0 (α) q (α).x2 (α)Дифференцирование этого равенства по α дает x1 (α)x (α) ==x2 (α)= c0 (α) q(α) + c0 (α) q (α) + c0 (α) q (α) + c0 (α) q (α) =#$ #$= c0 (α) q (α) + q(α) + c0 (α) + c0 (α) q (α) =#$= c0 (α) + c0 (α) q (α) = R(α) q (α),так как q (α) = −q(α), c0 (α) + c0 (α) = R(α).

Повторное дифференцирование полученного равенстваx (α) = R(α) q (α)(17)по α даёт:x (α) = R(α) q (α) + R (α) q (α) = −R(α) q(α) + R (α) q (α).(18)Векторные равенства (17), (18) в координатной форме принимают вид:x1 (α) = −R(α) sin α, x1 (α) = −R(α) cos α − R (α) sin α,(19)x2 (α) = R(α) cos α, x2 (α) = −R(α) sin α + R (α) cos α.Используя (19), находим:22x21 (α) + x2 (α) = R (α),x1 (α)x2 (α) − x1 (α)x2 (α) = R2 (α).206Отсюда по формуле (16) находим кривизну:k(α) =R2 (α)1=.R3 (α)R(α)Справедливость формулы (10) для кривизны установлена.Теорема 21.1 доказана.Замечание 21.2.

Кривизна k(α) границы ∂U гладкого выпуклогокомпакта U ∈ SM (E 2 ) отделена от нуля положительной константойи конечна при любых α. Аналогичным свойством обладает и радиускривизны R(α): он тоже отделён от нуля и от плюс бесконечностиположительными константами.6.21.2 Геометрическая интерпретацияОстановимся сейчас на геометрической интерпретации утверждений теоремы 21.1. Рисунок 21.1 иллюстрирует параметрическое уравнение (11).

На нём показаны гладкий выпуклый компакт U , его граница ∂U ; граничная точка x(α) = c (q(α)) является опорной точкой,определяемой опорным вектором q(α); множество U и опорная гиперплоскость Γq(α) имеют единственную общую точку x(α). При возрастании параметра α от 0 до 2π опорный вектор q(α) совершаетодин оборот в направлении против часовой стрелки, точка x(α) делает один обход границы ∂U в направлении против часовой стрелки.При каждом α множество U расположено в полупространстве (полуплоскости) Π−q(α) , ограниченной опорной прямой Γq(α) . Множество Uявляется пересечением полуплоскостей Π−q(α) по всем α ∈ [0, 2π).

Граничная точка x(α) описывается градиентом опорной функции выпуклого компакта U : x(α) = c (q(α)).Рисунок 21.2 иллюстрирует уравнение (3), в котором граничнаяточка x(α) разложена по базису q(α), q (α). Граничная точка x(α)представлена в виде суммы двух векторов OA и AB, где точка A– проекция точки 0 на опорную прямую Γq(α) , точка B совпадает сграничной точкой x(α), причемOA = c0 (α)q(α),|OA| = |c0 (α)|,AB = c0 (α)q (α),|AB| = |c0 (α)|,c0 (α) – расстояние от O до опорной прямой Γq(α) , взятое с определённым знаком, c0 (α) – расстояние между точками A и B, взятое сопределённым знаком.207q (α)q(α)q(α)∂U∂Ux(α) = c (q(α))q (α)UΠ−q(α)UΓq(α)AOq(α)Γq(α)Рисунок 21.2Рисунок 21.1q(α)Γq(α)x(α) = c (q (α))∂UUx(α)R(α)c (α)R(α)C(α)Рисунок 21.3208Рисунок 21.3 поясняет геометрический смысл параметра R(α).

Нанём показана соприкасающаяся окружность C(α) к граничной кривой ∂U в точке x(α) = c (q(α)); R(α) – радиус окружности C(α); c (α)– центр этой окружности, расположенный на внутренней нормали кгранице в её точке x(α); вектор x (α) = R(α)q (α) есть вектор скорости движения точки x(α) по границе ∂U , если угол α отождествитьсо временем. Соприкасающаяся окружность C(α) локально аппроксимирует границу ∂U в окрестности точки x(α) во втором порядке.Локальную аппроксимацию первого порядка даёт касательная Γq(α) .Уравнение окружности C(α):x − c (α) = R(α).6.21.3Длина дуги.

Площадь. ПримерыПриведём формулы для вычисления длины дуги кривой ∂U иплощади области U в терминах опорной функции.Длина граничной кривой ∂U :2π)L=2πx21 (α)+x22 (α) dαx (α) dα=02π=0R(α) dα =02π 2π2π2π# $c0 (α) + c0 (α) dα = c0 (α) + c0 (α) dα = c0 (α) dα.=0000Итак, длина кривой вычисляется по одной из следующих формул2π2πR(α) dα,L=L=0c0 (α) dα.0Замечание 21.3. Пусть∞a0 +ak cos kα + bk sin kαc0 (α) =2k=1209(20)– ряд Фурье функции c0 (α) на отрезке [−π, π] с коэффициентамиa0 =ak =1ππc0 (α) cos kα dα,1ππc0 (α) dα,−π1πbk =−ππc0 (α) sin kα dα,k = 1, 2, . . .−πДлина L граничной кривой и коэффициент Фурье a0 связаны равенствомL = πa0 .Геометрический смысл коэффициентов Фурье a1 , b1 обсуждается ниже: точка w = (a1 , b1 ) ∈ U является центром Штейнера выпуклогокомпакта U .

Центр Штейнера является важной геометрической характеристикой множества.Площадь области U :1S=22π01det (x(α)|x (α)) dα =2=122π.2π#$x1 (α)x2 (α) − x1 (α)x2 (α) dα =0c0 (α) cos α − c0 (α) sin α R(α) cos α−0− c0 (α) sin α + c0 (α) cos α −R(α) sin α dα =1=22π01R(α)c0 (α) dα =22π.c0 (α) + c0 (α) c0 (α) dα =02π1 .

2c0 (α) − c2=0 (α) dα.20Итак, площадь вычисляется по одной из следующих формул1S=22π.c20 (α)−c20 (α)dα,02101S=22πR(α)c0 (α) dα.0(21)Напомним, что в формулах (20), (21) функция c0 (α) определяется поопорной функции c(ψ) области U первым равенством (5).Пример 21.1. Пусть U = SR (0) – круг радиуса R > 0 с центром внуле.

Имеем:ψ,ψc0 (α) = c0 (α) = 0, R(α) ≡ R.c (ψ) = Rc(ψ) = Rψ,c0 (α) = R,Уравнение (1) для границы принимает видx1 = R cos α,x = R q(α) ⇐⇒x2 = R sin α.Это хорошо известные параметрические уравнения окружности. По2πформуле (20) находим L =R dα = 2πR – длину окружности, поформуле (21) находим S =1202πR2 dα = πR2 – площадь круга.0Пример 21.2. Пусть U – выпуклое множество, ограниченное эллипсом x2x2x1∂U = x =∈ E 2 : 21 + 22 = 1x2a1a2с полуосями a1 > 0, a2 > 0. Имеем:)c(ψ) = a21 ψ12 + a22 ψ22 ,a2i ψi, i = 1, 2,c(ψ)*(a2 − a21 ) sin α cos α,c0 (α) = (a1 cos α)2 + (a2 sin α)2 ,c0 (α) = 2c0 (α)(a22 − a21 ) a21 cos4 α − a22 sin4 αc0 (α) =,c30 (α)a2 a2R(α) = 31 2 .c0 (α)cψi (ψ) =Параметрические уравнения (4) принимают видx1 =a21cos α,c0 (α)x2 =a22sin α,c0 (α)211α ∈ [0, 2π).Эти уравнения отличаются от известных параметрических уравненийэллипсаβ ∈ [0, 2π),x1 = a1 cos β, x2 = a2 sin β,с другим параметром β.Длина эллипса:2πL=c0 (α) dα = 40π/2*(a1 cos α)2 + (a2 sin α)2 dα.0Площадь эллипса:1S=22π01R(α)c0 (α) dα =2=2a21 a22=2a21 a22π/206.21.42π0a21 a22dα =c20 (α)dαdα =(a1 cos α)2 + (a2 sin α)2Г.Б.Двайт, Таблицыинтегралов, 858.550π= πa1 a2 .2a1 a2Натуральное уравнение границы.

Построение равномерных сеток на границе ∂UПараметрическое уравнение границы ∂U (теорема 21.1) имеет видx = x(α) ≡ c (q(α)),0 α 2π.(22)При выборе равномерной сетки {α0 , α1 , . . . , αN −1 } для параметраα ∈ [0, 2π] набор граничных точек {x(α0 ), x(α1 ), . . . , x(αN −1 )} обычно располагается на кривой ∂U неравномерным образом, причём научастках этой кривой с малой кривизной k(α) = 1/R(α) (или с большим радиусом кривизны R(α)) этих точек сравнительно мало, тогдакак на сильно искривлённых её участках этих точек сравнительномного. Для получения равномерных сеток на граничной кривой удобно пользоваться натуральным уравнением кривой ∂Ux = X(s),0 s L,212(23)в котором параметр s имеет геометрический смысл длины дуги участка кривой ∂U с концами x(α)|α=0 и x(α), 0 α 2π, а число2πL=x (α) dα(24)0– длина кривой ∂U .Опишем алгоритм вычисления векторной функции X(s) – правойчасти натурального уравнения (23). Длина дуги кривой ∂U с концами x(0) и x(α) определяется формулойαs(α) =x (a) da,0 α 2π.(25)0Функция (25) является монотонно возрастающей, так какds(α)= x (α) = R(α) > 0.dα(26)Обращение функции (25) приводит к функцииα = α(s), s ∈ [0, L];α(s)|s=0 = 0, α(s)|s=L = 2π.(27)Производная обратной функции (27) в силу (26) определяется равенством1dα(s)= .(28)dsx (α) α=α(s)Поэтому имеет местоТеорема 21.2.

Натуральное уравнение кривой ∂U имеет видx = X(s) ≡ x(α), 0 s L,(29)α=α(s)где функция α(s) определяется задачей Коши1dα= , α(s)= 0, 0 s L,dsx (α)s=0(30)L – положительное число (24). Равномерная сеткаωN = {s0 , s1 , . . . , sN −1 },s0 = 0, sj+1 = sj + ∆s,213∆s ≡L, (31)Nдля параметра s порождает равномерную сеткуΩN = {X(s0 ), X(s1 ), .

. . , X(sN −1 )}(32)на границе ∂U .Замечание 21.4. Функции X(s), α(s) определяются задачей Коши⎧dXx (α)⎪⎪X(s)s=0 = x(α)α=0 ,⎨ ds = x (α) ,0 s L . (33)⎪1dα⎪⎩= ,α(s)s=0 = 0 ,dsx (α)Так как x (α) = x (α)q (α) = R(α)q (α), то первое уравнение системы (33) можно записать в видеdX= q (α).dsТогда задача (33) в подробной записи принимает вид⎧dX1⎪⎪= − sin α ,X1 (s)s=0 = x1 (α)α=0 ,⎪⎪ds⎪⎪⎨ dX2= cos α ,X2 (s)s=0 = x2 (α)α=0 ,0 s L.⎪ds⎪⎪⎪1dα⎪⎪=,α(s)s=0 = 0 ,⎩dsR(α)(34)Скорость движения точки X(s) по кривой ∂U равна единице, если параметр s отождествить со временем.

Привлечение системы (33)или (34) приводит к построению равномерной сетки ΩN , (32), на границе ∂U при равномерной сетке ωN , (31), для параметра s ∈ [0, L].При работе с системой дифференциальных уравнений (34) вычисление функций X1 (s), X2 (s) не требует хранения функции α(s) в отличие от алгоритма на основе формулы (23).Так как теоретически имеет место равенство α(s)s=L = 2π, тоневязкаα(s)|s=L − 2π может характеризовать точность выполненных расчётов.2146.21.5Вычисление опорной функции гладкого выпуклого компакта при заданном параметрическом уравнении его границы.

Постановка задачи о суженииОпорная функция, обладающая свойством однородности, определяется своими значениями на единичной сфере (в плоском случаеединичной окружности). Поэтому плоский выпуклый компакт определяется значениями его опорной функции на единичной окружности,т.е функцией c0 (α) = c(ψ)|ψ=q(α) угла α ∈ [0, 2π]. Приближённо информацию о выпуклом множестве можно хранить в памяти машины ввиде таблиц функции c0 (·) – сужения опорной функции на единичнуюокружность.

В связи с этим представляет интерес следующая задача.Задача о сужении. Предполагая известными параметрическиеуравнения границы ∂U гладкого выпуклого компакта U , найти функциюα ∈ [α0 , α0 + 2π],(35)c0 (α) = c(ψ)|ψ=q(α) ,cos αгде c(·) – опорная функция выпуклого компакта U , q(α) =–sin αединичный вектор.При решении этой задачи мы, естественно, не предполагаем известной опорную функцию c(ψ), а пользуемся параметрическими уравнениями границы. На основании определения опорной функции мысразу можем записать, при задании границы параметрическим уравнением x = y(β), β0 β β1 , для функции (35) следующее выражениеc0 (α) = max y(β), q(α) ,β∈[β0 ,β1 ]в котором при каждом заданном α требуется выполнить максимизацию по β.