Ю.Н. Киселёв, С.Н. Аввакумов, М.В. Орлов - Оптимальное управление. Линейная теория и приложения, страница 30

. . . . . . . . . . . . .1.1.4 Критерий качества управления . . . . . . . . . . .1.1.5 Постановка задачи оптимального управления . .1.1.6 Основные математические вопросы теории оптимального управления . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.7 Линейная задача быстродействия . .

. . . . . . .1.1.8 Два простейших примера . . . . . . . . . . . . . .1.2 Некоторые сведения из теории обыкновенныхдифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . .1.2.1 Формула Коши для решения начальной задачи вслучае линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . .1.2.2 Экспоненциал постоянной квадратной матрицы.Его основные свойства. Обоснование формулыКоши . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.3 Примеры вычисления экспоненциала для конкретных матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.4 Теорема о представлении экспоненциала в видеконечной суммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.5 Пример применения формулы Коши для нахождения решения линейных систем . . . . . . . . .1.2.6 Явная формула для решения задачи Коши в случае одномерного линейного неоднородного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3 Множество достижимости, множество управляемости.Их представление на основе формулы Коши. Предварительные соображения о решении линейной задачи быстродействия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3.1 Множество достижимости X(t) = X(t0 , t, M0 ) . .1.3.2 Множество управляемости Z(t) = Z(t, t1 , M1 ) . .2663335689101112141517212730313232341.3.31.3.4Представление множеств достижимости и управляемости на основе формулы Коши . .

. . . . . . 35Операции над множествами в пространстве E n . 362 Элементы выпуклого анализа в пространстве E n . Три теоремы об интегралах2.4 Основные обозначения и определения. Наименьшая выпуклая оболочка множества и её построение. Лемма оботделимости . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .2.4.1 Основные обозначения и определения . . . . . . .2.4.2 Наименьшая выпуклая оболочка множества и еёпостроение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4.3 Лемма об отделимости (строгая отделимость) иеё геометрическая интерпретация. Опорная гиперплоскость . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .2.5 Опорные функции ограниченных множеств . . . . . . . .2.5.1 Предварительные геометрические соображения .2.5.2 Определение опорной функции ограниченных множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.5.3 Cвойства опорных функций . . . .

. . . . . . . . .2.5.4 Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.5.5 Теорема о представлении наименьшей выпуклойоболочки компакта в форме пересечения полупространств. Свойства 11◦ − 14◦ опорной функции, вытекающие из этой теоремы . . . . .

. . . .2.5.6 Расстояние Хаусдорфа между множествами. Свойства 15◦ , 16◦ опорной функции, связанные с расстоянием Хаусдорфа . . . . . . . . . . . . . . . . .2.6 Интегралы. Три теоремы об интегралах . . . . . . . . . .2.6.1 Краткое введение . . . . . . . . . .

. . . . . . . .2.6.2 Теорема о внесении знака опорной функции подзнак интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.6.3 Теорема об основных свойствах интеграла . . . .2.6.4 Теорема о непрерывной зависимости интегралаот верхнего предела . . . . . . . . . . . . . .

. . .39393941454950525459626873737583873 Линейная теория быстродействия893.7 Постановка линейной задачи быстродействия . . . . . . 893.8 Основные свойства множеств достижимости X(t) иуправляемости Z(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892673.9 Сопряжённое уравнение. Сопряжённая переменная. Лемма о сопряжённой переменной . . .

. . . . . . . . . . . .3.10 Управляемость. Критерий управляемости. Основная лемма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.11 Принцип максимума Понтрягина. Теорема о необходимыхусловиях оптимальности в линейной задаче быстродействия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. .3.11.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.11.2 Основная лемма . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.11.3 Принцип максимума Понтрягина . . . . . . . . .3.11.4 Теорема о необходимых условиях оптимальностив форме принципа максимума Понтрягина . . . .3.11.5 Лемма об эквивалентной формулировке принципа максимума Понтрягина в терминах множествдостижимости X(t) и управляемости Z(t). Геометрическая интерпретация сопряжённой переменной ψ(t) . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.12 Теорема существования оптимального управления . . . .3.13 Примеры применения необходимых условий оптимальности для решения линейных задач быстродействия . . .3.14 Достаточные условия оптимальности в форме принципамаксимума с усиленными условиями трансверсальности3.15 Локальная управляемость и её применения . . . . . . . .3.15.1 Локальная управляемость . .

. . . . . . . . . . .3.15.2 Теорема о достаточных условиях оптимальностив форме принципа максимума Понтрягина с условием локальной управляемости . . . . . . . . .3.15.3 Локальная управляемость в начало координат . .3.15.4 Лемма о внутренней точке интеграла . . . . . . .3.15.5 Достаточные условия локальной управляемостив начало координат . . . . . . . . .

. . . . . . . .3.15.6 Теорема о достаточных условиях оптимальностив начало координат . . . . . . . . . . . . . . . . .3.16 Задача синтеза в простейших примерах . . . . . . . . . .91951041041051051061081111141441481481491501511541551574 Линейная задача быстродействия с “гладкой” областью управления. Численные методы решения линейной задачибыстродействия1682684.17 Теорема об опорной точке строго выпуклого компакта иградиенте его опорной функции. Теоремы единственности1684.18 Линейная задача быстродействия с гладкой областьюуправления .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1754.19 Некоторые численные методы решения линейной задачибыстродействия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1804.19.1 Метод Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1804.19.2 Метод Нейштадта-Итона . .

. . . . . . . . . . . . 1824.19.3 Метод продолжения по параметру . . . . . . . . . 1864.19.4 Метод проектирования начального состояния наизохрону . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1884.19.5 Потенциальная форма метода проектирования . . 1905 Задача оптимального управления с линейной динамикой итерминальным функционалом1935.20 Исследование терминальной задачи оптимального управления с линейной динамикой на фиксированном отрезкевремени .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1936 Гладкие выпуклые компакты на плоскости. Основные сведения. Параметрические уравнения границы. Критерийвыпуклости положительно однородной функции измерения единица2026.21 Плоские гладкие выпуклые компакты . . . . . . . . . . . 2026.21.1 Определение. Основной результат . . .

. . . . . . 2026.21.2 Геометрическая интерпретация . . . . . . . . . . . 2076.21.3 Длина дуги. Площадь. Примеры . . . . . . . . . . 2096.21.4 Натуральное уравнение границы. Построение равномерных сеток на границе ∂U . . . . . . . . . . 2126.21.5 Вычисление опорной функции гладкого выпуклого компакта при заданном параметрическомуравнении его границы. Постановка задачи осужении .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2156.21.6 Решение задачи о сужении при задании граничной кривой натуральным уравнением . . . . . . . 2156.21.7 Решение задачи о сужении при задании граничной кривой параметрическим уравнением общеговида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . 2182696.21.8 Опорная функция плоского центрально-симметричного выпуклого компакта при заданных параметрических уравнениях его границы . . . . .6.21.9 Центр Штейнера . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.22 Критерий выпуклости положительно однородной функции измерения единица .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .6.23 Примеры построения множеств достижимости (управляемости) в плоских линейных управляемых системах.Двумерные проекции множеств достижимости многомерных линейных управляемых систем . . . . . . . . . .6.24 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .2212272302322417 Приложение 1. Численные методы решения краевых задачдля обыкновенных дифференциальных уравнений. Схемапродолжения по параметру. Компактная формулировка алгоритма. Примеры расчётов2487.25 Метод продолжения для нелинейного векторного уравнения в E n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . 2487.26 Метод продолжения в краевых задачах . . . . . . . . . . 2518 Приложение 2. Методические материалы2599 Список литературы263270.