Диссертация (Задачи с начальными условиями для дифференциально-разностных уравнений с опережением)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ»На правах рукописиУДК 517.972Акбари Фаллахи АрезуЗАДАЧИ С НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ СОПЕРЕЖЕНИЕМ01.01.02. – Дифференциальные уравнения, динамическиесистемы и оптимальное управлениеДиссертация на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНаучный руководитель:доктор физико-математических наук, доцентВ. Ж. СакбаевМосква – 2017СОДЕРЖАНИЕВВЕДЕНИЕ . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Глава 1. ЗАДАЧА С НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНОГОУРАВНЕНИЯ(ДРУ)ПЕРВОГО ПОРЯДКА.1.1. Дифференциально-разностное уравнение с опережениеми запаздыванием..

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.2. Дифференциально-разностное уравнение с опережениембез запаздывания.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . 381.3 Предельный переход при стремлении к нулю отклоненийаргумента. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Глава 2. ЗАДАЧА С НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНОГОУРАВНЕНИЯ(ДРУ)ВТОРОГО ПОРЯДКА.2.1. Дифференциально-разностное уравнение с опережениеми запаздыванием.. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.2. Предельный переход при стремлении к нулю величинотклонения аргумента.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.3. Дифференциально-разностного уравнения беззапаздывания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Глава3.ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ОТКЛОНЕНИЕМ ВРЕМЕННОГОАРГУМЕНТА.3.1. Постановка задачи с начальными условиями в пространствеСоболева с экспоненциальным весом.. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . 933.2. Достаточные условия корректной разрешимости. . . . . . . 1053.3. Необходимые условия корректной разрешимости.. . . . . 1123.4. Предельный переход при стремлении к нулю величинотклонения аргумента. . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117ЗАКЛЮЧЕНИЕ.4.1. ЗаключениеЛИТЕРАТУРА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

124–2–ВВЕДЕНИЕАктуальность темы исследования.Дифференциально-разностные и функционально- дифференциальные уравнения возникают в ряде задач математической физики и в задачах теории управления (см. работы А.Д. Мышкиса, Л.Э. Эльсгольца[24], Дж. Уиллера, Р. Фейнмана [36], А.Г. Каменского, А.Л. Скубачевского [19]). Весьма актуальным является вопрос о выборе функционального пространства для решения и вопрос о выборе совокупности условий на поведение решения на границе области определения,при которых решение дифференциально-разносного уравнения (далееДРУ) существует, единственно и непрерывно зависит от параметровзадачи и параметров начально-краевых условий (см.[11] , [19]).В первых систематических исследованиях линейных ДРУ с отклонящимся аргументом была предложена классификация ДРУ на запаздывающие, нейтральные и опрежающие.

Важным вопросом, затрагиваемым в работах (см.[10, 13, 19, 16]), является изучение зависимости условий, накладываемых на искомую функцию, удовлетворяющуюДРУ, и позволяющих выделить среди таких функций единственную,от типа ДРУ и параметров задачи. Задачей с начальными условиямидля ДРУ на полуоси называется задача определения такой функциина промежутке, содержащем рассматриваемую полуось, которая удовлетворяет ДРУ почти всюду на рассматриваемой полуоси и, помимотого, удовлетворяет некоторым дополнительным условиям – таким,как:1) функция (и, быть может, некоторые ее производные) имеет заданное предельное значение в конечной граничной точке полуоси,2) функция принимает заданные значения на промежутке, содержа–3–щем конечную граничную точку полуоси и зависящем от параметровотклонения аргументов,3) асимптотическое поведение функции при приближении к бесконечности по полуоси имеет ограничение на рост типа принадлежностивесовому пространству Соболева с экспоненциальным весом.Эти условия, накладываемые на поведение неизвестной функции вокрестности конечной граничной точки полуоси, будем называть начальными.

Условием на решение ДРУ, затрагивающим его поведение на правой границе полупрямой, состоит в принадлежности решения весовому пространству Соболева с экспоненциальным весом (см.[7, 10, 11]). В зависимости от типа рассматриваемого ДРУ начальныеусловия для искомой функции могут быть выбраны выбраны различными способами (см.

[13], [19], [16]) в виде условий 1) или 2).Поиск условий на рост искомой функции, выделяющих единственое решение среди функций, удовлетворяющих дифференциальномуили дифференциально-разностному уравнению, является, начиная сработ А.Н. Тихонова (см. [35]), одной из основных проблем современной теории краевых задач.

Поиск корректной постановки задачи для нелинейного ОДУ с условиями на асимптотику роста решения на границе области определения проведен в работах Л.Д. Кудрявцева.(см. [20]) Применительно к линейным ДРУ запаздывающегои нейтрального типов эффективным средством описания таких условий является условие принадлежности решения к весовому пространству Соболева с экспоненциальным весом (см. [10]).

Корректная разрешимость начально-краевых задач для эволюционных уравнений сзапаздыванием временного аргумента систематически исследована вработах (см. [13], [24], [31], [10]. В работах [8],[7]) исследованы корректная разрешимость и свойства решений задачи с начальными данными для параболического уравнения с отклоняющимся аргументом–4–нейтрального типа, а в статье (см.[11]) исследованы аналогичные вопросы для гиперболических уравнений с отклоняющимся временнымаргументом. В монографии А.Л. Скубачевского (см.

[29]) исследовано нарушение гладкости решений эллиптических дифференциальноразностных уравнений за счет влияния сдвигов пространственного аргумента, выводящих за пределы области или на ее границу (см. такжеобзор [25]). Подобный эффект нарушения гладкости решения параболического дифференциально-разностнаго уравнения исследован в работе (см.[17]). В работе (см. [18]) изучаются свойства эллиптическихдифференциально-разностных операторов со сжатями пространственных аргументов в ограниченных областях, а в работе [23] изучаютсясвойства эллиптических дифференциально-разностных операторов наплоскости.Объект исследования.Диссертационная работа посвящена исследованию задач с начальными условиями для дифференциально-разностных уравнений на полупрямой или на полупространстве (для комплекснозначных функцийи для векторнозначных функций со значениями в гильбертовом пространстве).

Рассматриваются линейные дифференциально-разностныеуравнения на полупрямой для функции одной переменной, связывающие значения ее производной первого (или порядка k) в произвольнойточке t полупрямой со значениями искомой функции (или ее младшихпроизводных) в конечной совокупности точек полупрямой, полученных из точки t с помощью операций сдвига на фиксированную вещественную величину (отклонение аргумента).dku(t) = Au(t) + Bu(t − h) + Cu(t + τ ) = f (t),dtkt > 0.(0.0.1)Здесь τ, h – положительные числа, u : [−h, +∞) → E – искомоеотображение полуоси [−h, +∞) в некоторое гильбертово пространство–5–E, f : [0, +∞) → E – заданное отображение, A, B, C – заданные линейные оператоы в пространстве E (возможно, неограниченные).

Взависимости от знака отклонения аргумента подразделяются, согласно предложенной в работах (см.[13], [24]) на запаздывания (значенияотклонений аргумента отрицательны) и опережения (значения отклонений аргумента положительны). Соответственно, дифференциальноразностные уравнения для функции одной переменной на полуоси подразделяются на ДРУ порядка k и на уравнения запаздывающего, опережающего и опережающе-запаздывающего типов. ДРУ нейтральноготипа называют такие уравнения, которые связывают значения старших производных неизвестной функции в различных точках рассматриваемой полуоси, но такие уравнения в диссертации исследоваться небудут.Цель диссертационной работы.Ставится задача найти набор условий на отображение u:[−h, +∞) → E, при выполнении которых найдется единственное отображение u : [−h, +∞) → E, удовлетворяющии в определенном смысле ДРУ (0.0.1).

Следуя подходу работ В.В. Власова (см. [7, 10, 11])в диссертации рассматриваются отображения u из класса Соболеkва W2,γ([−h, +∞), E) с экспоненциальным весом eγt при некоторомγ ∈ R. Принадлежность отображения к указанному классу Соболева накладывает условия на его гладкость и на его асимптотическоеповедение при t → +∞, то есть накладывает условие на бесконечноудаленной границе области определения искомого отображения. ДляДРУ (0.0.1) в правой δ-полуокрестности граничной точки −h области определения искомого отображения при некотором δ > 0 ставитсяграничное условие видаu|[−h,−h+δ] = ϕ,–6–(0.0.2)где ϕ – заданное отображение [−h, −h + δ] → E.Степень разработанности исследования.Ранее в работах (см.[13],[19]) рассматривалась постановка задачи(0.0.1)–(0.0.2) при δ = h + τ и было выявлено счетное множество условий согласования для разрешимости такой задачи, а в работах (см.[7],[16] ) рассматривалась постановка задачи (0.0.1)–(0.0.2) при δ = h ибыло определено условие на параметри γ веса пространства Соболева,при выполнении которого задача (0.0.1)–(0.0.2) является корректной.Основы теория функционально-дифференциальных уравнений быливо многом сформированы в работах (см.

[13, 24]), в которых былапредложена классификация таких уравнений на уравнения запаздывающего, нейтрального и опережающего типов. Теория функциональнодифференциальных уравнений запаздывающего и нейтрального типовв дальнейшем получила развитие с привлечением методов спектральной теории оператором и функциональных пространств в работах (см.[10], [19], [24], [27]).Функционально-дифференциальные уравнения опережающего типа изучены в значительно меньшей мере, чем функциональнодифференциальные уравнения запаздывающего и нейтрального типов(см. [10], [24]). Во многом это связано с некорректностью постановкизадачи с начальным условием на промежутке отклонения аргумента втаких уравнениях, требующей от начального условия и правой частиуравнения выполнения бесконечного множества условий согласования(см. [19]). Как было показано в работе [15], для корректности постановки задачи с начальными данными следует задать начальные условиялишь на части промежутка отклонения аргумена – на промежутке запаздывания аргумента (−h, 0).