Диссертация (Оценки вероятностных характеристик некоторых нестационарных систем массового обслуживания)

Ôåäåðàëüíîå ãîñóäàðñòâåííîå áþäæåòíîå îáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèåâûñøåãî îáðàçîâàíèÿ "Âîëîãîäñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò"Íà ïðàâàõ ðóêîïèñèÊèñåëåâà Êñåíèÿ ÌèõàéëîâíàÎöåíêè âåðîÿòíîñòíûõ õàðàêòåðèñòèê íåêîòîðûõ íåñòàöèîíàðíûõñèñòåì ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿÑïåöèàëüíîñòü 05.13.18 "Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå,÷èñëåííûå ìåòîäû è êîìïëåêñû ïðîãðàìì"(ïî ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèì íàóêàì)ÄÈÑÑÅÐÒÀÖÈßíà ñîèñêàíèå ó÷åíîé ñòåïåíè êàíäèäàòàôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÍàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü,äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõíàóê, ïðîôåññîðÇåéôìàí Àëåêñàíäð Èçðàèëåâè÷Âîëîãäà 20172ÎãëàâëåíèåÂâåäåíèå125Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ111.1Ïðîñòðàíñòâî l1 .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111.2Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå l1 . . . . . . . . . .131.3Ëîãàðèôìè÷åñêàÿ íîðìà îïåðàòîðà . . . . . . . . . . . . . . . . .141.4Ìàðêîâñêèå öåïè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151.4.1Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151.4.2Ïðîöåññû ðîæäåíèÿ è ãèáåëè ñ êàòàñòðîôàìè . . . . . . .171.4.3Âîçìóùåííûå ïðîöåññû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18Îöåíêè âåðîÿòíîñòíûõ õàðàêòåðèñòèê äëÿ íåêîòîðûõ ìîäåëåéìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ2.12.2319Ñèñòåìà ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ ñ ãðóïïîâûì ïîñòóïëåíèåì èãðóïïîâûì îáñëóæèâàíèåì òðåáîâàíèé . . . . . . . . . .

. . . . .192.1.1Ââåäåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .192.1.2Ñëàáàÿ ýðãîäè÷íîñòü è ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè . . . . . . . .202.1.3Ïðèìåðû. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24Ïðîöåññ ðîæäåíèÿ è ãèáåëè ñ îñîáåííîñòÿìè . . . . . . . . . . . .312.2.1Ââåäåíèå è îñíîâíûå ïîíÿòèÿ . .

. . . . . . . . . . . . . . .312.2.2Îöåíêè ýðãîäè÷íîñòè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .322.2.3Ïðèìåð . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34Àïïðîêñèìàöèÿ íåêîòîðûõ êîíå÷íûõ ìîäåëåé ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ3633.13.23.34Ñèñòåìà ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ ñ ãðóïïîâûì ïîñòóïëåíèåì èãðóïïîâûì îáñëóæèâàíèåì òðåáîâàíèé . . .

. . . . . . . . . . . .363.1.1Ââåäåíèå è îñíîâíûå ïîíÿòèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . .363.1.2Àïïðîêñèìàöèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .383.1.3Ïðèìåðû. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44Íåîäíîðîäíûé ïðîöåññ ðîæäåíèÿ è ãèáåëè . . . . . .

. . . . . . .463.2.1Ââåäåíèå è îñíîâíûå ïîíÿòèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . .463.2.2Äîïîëíèòåëüíûå ñâåäåíèÿ è ðåçóëüòàòû . . . . . . . . . . .473.2.3Àïïðîêñèìàöèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .523.2.4Ïðèìåðû. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56Mt /Mt /S ñèñòåìà ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ . . . . . .

. . . . . . .593.3.1Âñïîìîãàòåëüíûå ïîíÿòèÿ è îñíîâíûå ðåçóëüòàòû . . . . .603.3.2Ïðèìåð . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .633.3.3Âûâîäû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64Íåñòàöèîíàðíàÿ ìîäåëü ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ ñ ïîâòîðíûìè âûçîâàìè è îäíèì ñåðâåðîì684.1Ââåäåíèå . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .684.2Âñïîìîãàòåëüíûå ïîíÿòèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .704.3Îöåíêè ýðãîäè÷íîñòè è óñòîé÷èâîñòè . . . . . . . . . . . . . . . .714.3.1Íóëü-ýðãîäè÷íîñòü . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .714.3.2Ýêñïîíåíöèàëüíàÿ ýðãîäè÷íîñòü . . . . . . . . . . . . . . .724.3.3Ñëàáàÿ ýêñïîíåíöèàëüíàÿ ýðãîäè÷íîñòü è óñòîé÷èâîñòü . .754.4Àïïðîêñèìàöèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .784.5Ïðèìåð . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .814.6Âûâîäû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84Çàêëþ÷åíèå85Ïðèëîæåíèå86Îïèñàíèå ïðîãðàììû864Ñïèñîê ëèòåðàòóðû875ÂâåäåíèåÀêòóàëüíîñòü òåìû.Ìåòîäû è ìîäåëè ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ èãðàþòáîëüøóþ ðîëü â èññëåäîâàíèè òåëåêîììóíèêàöèîííûõ ñèñòåì.Ïåðâûå ðàáîòû ïî äàííîé òåìàòèêå áûëè ïðîâåäåíû À. Ê. Ýðëàíãîì, ñì.[47]. Çàäà÷è, ñâÿçàííûå ñ îáñëóæèâàíèåì áîëüøèõ ìàññèâîâ îäíîðîäíûõ òðåáîâàíèé âîçíèêàþò â ñàìûõ ðàçíîîáðàçíûõ íàïðàâëåíèÿõ èññëåäîâàíèé: â òåõíèêå, ýêîíîìèêå, îðãàíèçàöèè ïðîèçâîäñòâà.

Òàêèì îáðàçîì, áûëà ñîçäàíà òàêíàçûâàåìàÿ òåîðèÿ ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ. Òåîðèÿ ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿÿâëÿåòñÿ àêòèâíî ðàçâèâàþùèìñÿ ðàçäåëîì ïðèêëàäíîé òåîðèè âåðîÿòíîñòåé,öåëü èññëåäîâàíèé êîòîðîãî îïòèìàëüíûé âûáîð ñòðóêòóðû ñèñòåìû è ïðîöåññà îáñëóæèâàíèÿ. Äàííûé âûáîð îñóùåñòâëÿåòñÿ íà îñíîâå èçó÷åíèÿ ïîòîêîâòðåáîâàíèé, ïîñòóïàþùèõ â ñèñòåìó è âûõîäÿùèõ èç íå¼, äëèòåëüíîñòè îæèäàíèÿ è äëèíû î÷åðåäåé.  òåîðèè ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ èñïîëüçóþòñÿ ìåòîäûòåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè.Î÷åíü âàæíûìè çàäà÷àìè ÿâëÿþòñÿ èçó÷åíèå ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè ê ïðåäåëüíîìó ðåæèìó è óñòîé÷èâîñòè äëÿ íåñòàöèîíàðíûõ ñèñòåì îáñëóæèâàíèÿ.Ïåðâûå èññëåäîâàíèÿ â ýòîì íàïðàâëåíèè èíèöèèðîâàíû Á. Â.

Ãíåäåíêî (ñì.[9]).Áîëüøîé âêëàä â ðàçâèòèå äàííîé îáëàñòè èññëåäîâàíèé âíåñëè òàêæåñëåäóþùèå ðîññèéñêèå è çàðóáåæíûå ó÷åíûå Â.Â. Àíèñèìîâ, Ë.Ã. Àôàíàñüåâà,Ã.Ï. Áàøàðèí, Ê.Ï. Áåëÿåâ, À.À. Áîðîâêîâ, Ï.Ï. Áî÷àðîâ, Ð.Ë. Äîáðóøèí, À.Í.Äóäèí, À.È. Çåéôìàí, Â.Â. Êàëàøíèêîâ, Í.Â. Êàðòàøîâ, Â.Þ. Êîðîëåâ, Å.Â.Ìîðîçîâ, À.Â. Ïå÷èíêèí, Â.Â. Ðûêîâ, Î.Â. Ñåìåíîâà, Â.Ã. Óøàêîâ, Ñ.Ã. Ôîññ,E. Van Doorn, M.Neuts, R.L.Tweedie, W.Whitt è äðóãèå (ñì. [1][8], [11][19],[28][50], [52][55], [58][68], [74][77], [79], [80]).6Èññëåäîâàíèå ñâîéñòâ ýðãîäè÷íîñòè è óñòîé÷èâîñòè äëÿ íåîäíîðîäíûõìàðêîâñêèõ öåïåé ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì, à òàêæå ïðèëîæåíèå ýòèõ ðåçóëüòàòîâ ê ìîäåëÿì ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ, îïèñûâàåìûì ïðîöåññàìè ðîæäåíèÿè ãèáåëè, íà÷àòî â ðàáîòàõ À.È.

Çåéôìàíà (ñì. [14], [81], [83]).Çàäà÷è óñòîé÷èâîñòè ñòîõàñòè÷åñêèõ ìîäåëåé èçó÷àëèñü òàêæå Â.Â. Àíèñèìîâûì, À.Þ. Ìèòðîôàíîâûì, Â.Â. Êàëàøíèêîâûì, Í.Â. Êàðòàøîâûì (ñì.[2, 20, 54, 64]).Êðîìå òîãî, çíà÷èòåëüíàÿ ÷àñòü èññëåäîâàíèé ïîñâÿùåíà âîïðîñàì, ñâÿçàííûì ñ àïïðîêñèìàöèåé íåñòàöèîíàðíûõ ìàðêîâñêèõ öåïåé (ñì. [61], [87]).Èíòåðåñ ê èññëåäîâàíèþ íåñòàöèîíàðíûõ (íåîäíîðîäíûõ ïî âðåìåíè) ìàðêîâñêèõ öåïåé ïîñòîÿííî óâåëè÷èâàåòñÿ, â ñâÿçè ñ ÷åì ÿâëÿåòñÿ àêòóàëüíîéçàäà÷à ïîëó÷åíèÿ îöåíîê ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè, óñòîé÷èâîñòè è ïîãðåøíîñòèàïïðîêñèìàöèè äëÿ ðàçëè÷íûõ êëàññîâ ìîäåëåé, à òàêæå ïðèìåíåíèå ïîëó÷åííûõ îöåíîê äëÿ ïîñòðîåíèÿ îñíîâíûõ ïðåäåëüíûõ õàðàêòåðèñòèê êîíêðåòíûõñèñòåì ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ.Öåëüäèññåðòàöèîííîéðàáîòû.Öåëüþ ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ èçó÷åíèåíåêîòîðûõ êëàññîâ íåñòàöèîíàðíûõ ìîäåëåé ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ, ïîëó÷åíèå îöåíîê âåðîÿòíîñòíûõ õàðàêòåðèñòèê: ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè ê ïðåäåëüíîìóðåæèìó, óñòîé÷èâîñòè è àïïðîêñèìàöèè, ðàçðàáîòêà àëãîðèòìîâ è ïðîãðàììïîñòðîåíèÿ ýòèõ õàðàêòåðèñòèê, ðåøåíèå ñ ïîìîùüþ ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ çàäà÷è Êîøè íà ñîîòâåòñòâóþùåì îòðåçêå äëÿ óñå÷åííîãî ïðîöåññà.Îñíîâíûå çàäà÷è.Äëÿ äîñòèæåíèÿ çàÿâëåííîé öåëè ðåøåíû ñëåäóþ-ùèå çàäà÷è:- ïîëó÷åíû óñëîâèÿ ñëàáîé ýðãîäè÷íîñòè, îöåíêè ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè äëÿ ïðîöåññà, îïèñûâàþùåãî ÷èñëî òðåáîâàíèé â ñèñòåìå ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ ñãðóïïîâûì ïîñòóïëåíèåì è ãðóïïîâûì îáñëóæèâàíèåì òðåáîâàíèé;- ïðîâåäåíà àïïðîêñèìàöèÿ ïðîöåññîâ, îïèñûâàþùèõ ÷èñëî òðåáîâàíèé â íåêîòîðûõ êîíå÷íûõ ìîäåëÿõ ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ;- èññëåäîâàí è èñïîëüçîâàí ìåòîä äâóñòîðîííèõ óñå÷åíèé äëÿ ìîäåëåé, îïèñûâàåìûõ íåîäíîðîäíûìè ïðîöåññàìè ðîæäåíèÿ è ãèáåëè è ìîäåëè Mt /Mt /S ;- ïîëó÷åíû óñëîâèÿ íóëü-ýðãîäè÷íîñòè, ýêñïîíåíöèàëüíîé ýðãîäè÷íîñòè è îöåí-7êè óñòîé÷èâîñòè, à òàêæå ïðîâåäåíà àïïðîêñèìàöèÿ äëÿ ïðîöåññà, îïèñûâàþùåãî ÷èñëî òðåáîâàíèé â ìîäåëè ñ ïîâòîðíûìè âûçîâàìè è îäíèì ñåðâåðîì.Êðîìå òîãî, äëÿ êàæäîé èç çàäà÷ ñ ïîìîùüþ ðàçðàáîòàííûõ àëãîðèòìîâè ïðîãðàìì ñ ïðèìåíåíèåì ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ïîñòðîåíû ïðåäåëüíûå õàðàêòåðèñòèêè ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðîöåññîâ.Ïîëîæåíèÿ, âûíîñèìûå íà çàùèòó.1.

Ïîñòðîåíèå ïðåäåëüíûõ õàðàêòåðèñòèê äëÿ ïðîöåññà, îïèñûâàþùåãî ÷èñëî òðåáîâàíèé â ìîäåëè ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ ñ ãðóïïîâûì ïîñòóïëåíèåìè ãðóïïîâûì îáñëóæèâàíèåì òðåáîâàíèé.2. Ïîñòðîåíèå ïðåäåëüíûõ õàðàêòåðèñòèê äëÿ ïðîöåññà ðîæäåíèÿ è ãèáåëè ñîñîáåííîñòÿìè.3. Ïðèìåíåíèå ìåòîäà äâóñòîðîííèõ óñå÷åíèé äëÿ íåîäíîðîäíûõ ïðîöåññîâðîæäåíèÿ è ãèáåëè è ïðîöåññà, îïèñûâàþùåãî ÷èñëî òðåáîâàíèé â ìîäåëèMt /Mt /S ñ èñïîëüçîâàíèåì ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ è îöåíîê ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè.4.

Ïîëó÷åíèå îöåíîê ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè, óñòîé÷èâîñòè è àïïðîêñèìàöèè äëÿïðîöåññà, îïèñûâàþùåãî ÷èñëî òðåáîâàíèé â ìîäåëè ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿñ ïîâòîðíûìè âûçîâàìè è îäíèì ñåðâåðîì.Íàó÷íàÿ íîâèçíà.- Äëÿ ïðîöåññà, îïèñûâàþùåãî ÷èñëî òðåáîâàíèé â ñèñòåìå ñ ãðóïïîâûì ïîñòóïëåíèåì è ãðóïïîâûì îáñëóæèâàíèåì òðåáîâàíèé, ïîëó÷åíî óñëîâèå ñëàáîéýðãîäè÷íîñòè, íîâûå îöåíêè ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè ê ïðåäåëüíîìó ðåæèìó è ïðåäåëüíîìó ñðåäíåìó, îöåíêè óñòîé÷èâîñòè;- äëÿ ïðîöåññîâ ðîæäåíèÿ è ãèáåëè ñ ðàçëè÷íûìè èíòåíñèâíîñòÿìè êàòàñòðîôïîëó÷åíî óñëîâèå ñëàáîé ýðãîäè÷íîñòè è îöåíêè ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè;- äëÿ íåîäíîðîäíîãî ïðîöåññà ðîæäåíèÿ è ãèáåëè è ïðîöåññà, îïèñûâàþùåãî÷èñëî òðåáîâàíèé â ñèñòåìå ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ Mt /Mt /S , ïîëó÷åíû íîâûå îöåíêè ðàâíîìåðíîé àïïðîêñèìàöèè äâóñòîðîííèìè óñå÷åíèÿìè;- äëÿ ïðîöåññà, îïèñûâàþùåãî ÷èñëî òðåáîâàíèé â ñèñòåìå ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ ñ ïîâòîðíûìè âûçîâàìè è îäíèì ñåðâåðîì, ïîëó÷åíû óñëîâèÿ ýðãîäè÷íîñòè, îöåíêè óñòîé÷èâîñòè è àïïðîêñèìàöèè.8Ëè÷íîå ó÷àñòèå àâòîðà çàêëþ÷àåòñÿ â èññëåäîâàíèè ðàññìàòðèâàåìûõ ìîäåëåé, ïîëó÷åíèè íîâûõ îöåíîê äëÿ íèõ, à òàêæå ðàçðàáîòêå àëãîðèòìîâ èïðîãðàìì ÷èñëåííîãî ïîñòðîåíèÿ îñíîâíûõ ïðåäåëüíûõ õàðàêòåðèñòèê ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðîöåññîâ.Àëãîðèòì, íà êîòîðîì îñíîâàíî ïîñòðîåíèå ïðåäåëüíûõ õàðàêòåðèñòèêïðîöåññà, ïîäðîáíåå îïèñàí ⠟2.1.3.Ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ.Äëÿ ðåøåíèÿ âûøåîïèñàííûõ çàäà÷ èñïîëüçó-åòñÿ îïåðàòîð Êîøè äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ â áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâåè îöåíêè åãî íîðìû.

Âîïðîñû, ñâÿçàííûå ñ âû÷èñëåíèåì òðåáóåìûõ ïàðàìåòðîâ ñâîäÿòñÿ ê èçó÷åíèþ áåñêîíå÷íûõ ñèñòåì äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèéíà ìíîæåñòâå ñòîõàñòè÷åñêèõ âåêòîðîâ. Îñíîâíûì èíñòðóìåíòîì èññëåäîâàíèÿè ïîëó÷åíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ îöåíîê ÿâëÿåòñÿ ìåòîä, áàçèðóþùèéñÿ íà äâóõìîìåíòàõ: îöåíêàõ, îñíîâàííûõ íà ïðèìåíåíèè ëîãàðèôìè÷åñêîé íîðìû ëèíåéíîé îïåðàòîðíîé ôóíêöèè è ñïåöèàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ ðåäóöèðîâàííîéìàòðèöû èíòåíñèâíîñòåé ìàðêîâñêîé öåïè.Äîñòîâåðíîñòü è îáîñíîâàííîñòü ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ.Äî-ñòîâåðíîñòü ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ ñëåäóåò èç ñòðîãèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ äîêàçàòåëüñòâ.Òåîðåòè÷åñêàÿ è ïðàêòè÷åñêàÿ çíà÷èìîñòü.Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòà-òû ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû â èññëåäîâàíèè êîíêðåòíûõ ñèñòåì ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ñòîõàñòè÷åñêèõ ìîäåëåé â òåõíèêå, õèìèè, áèîëîãèè, ôèçèêå è äðóãèõ îòðàñëÿõ.