Диссертация (Численное решение задач волноводного распространения поляризованного света в интегрально-оптическом волноводе)

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшегообразования «Российский университет дружбы народов»На правах рукописиДиваков Дмитрий ВалентиновичЧисленное решение задач волноводногораспространения поляризованного света в интегральнооптическом волноводеСпециальность 05.13.18 – «Математическое моделирование, численные методыи комплексы программ»(по физико-математическим наукам)ДИССЕРТАЦИЯна соискание ученой степени кандидатафизико-математических наукНаучный руководитель,доктор физико-математическихнаук, профессорСевастьянов Леонид АнтоновичМосква – 2017ОглавлениеГлава 1. Обзор математических моделей интегрально-оптических волноводови методов решения волноводных задач ..............................................................

171.1.Общие принципы создания моделей электромагнитных явлений ........ 17Уравнения Максвелла ................................................................................... 17Уравнение Гельмгольца ............................................................................... 221.2.Регулярные диэлектрические волноводы ................................................. 25Планарный закрытый волновод ................................................................... 26Планарный открытый волновод ..................................................................

28Решение задачи на собственные значения ................................................. 33Непрерывный спектр оператора второго порядка на оси ......................... 36Сдвиги Гуса-Хенхена.................................................................................... 421.3.Нерегулярные диэлектрические волноводы ............................................ 44Задача дифракции в нерегулярных диэлектрических закрытыхволноводах ..................................................................................................... 44Задача дифракции в нерегулярных диэлектрических открытыхволноводах ..................................................................................................... 59Глава 2.

Постановка задачи дифракции для интегрально-оптическихволноводов в рамках модели объемлющего закрытого волновода ................. 682.1.Описание приближенной математической модели ................................. 71Границы применимости модели .................................................................. 74О выборе граничных условий на ящике ..................................................... 752.2.

Дифракция на неоднородности в форме линзы на волноводном слое . 76Постановка задачи для TE-моды ................................................................. 77Алгоритм численного решения задачи для TE-моды................................ 802.3. Дифракция на неоднородности в форме линзы внутри волноводногослоя ..................................................................................................................... 82Постановка задачи для TE-моды ................................................................. 82Алгоритм численного решения задачи для TE-моды................................

832.4. Дифракция на плавном волноводном переходе ...................................... 84Постановка задачи для TE-моды ................................................................. 842Алгоритм численного решения задачи для TE-моды................................ 86Глава 3. Численный эксперимент ........................................................................

883.1.Алгоритм численного решения задачи на собственные значения исобственные функции регулярного волновода .............................................. 883.2.Численное решение задачи на собственные значения и собственныефункции регулярного волновода ..................................................................... 893.3.Численное решение третьей краевой задачи ............................................ 96Алгоритм матричной прогонки ................................................................... 96Решение системы с блочно-трехдиагональной матрицей ........................ 973.4.Численное решение задачи дифракции на неоднородности в формелинзы на волноводном слое ............................................................................. 983.5.Численное решение задачи дифракции на неоднородности в формелинзы внутри волноводного слоя ..................................................................

1023.6.Численное решение задачи дифракции на плавном волноводномпереходе ........................................................................................................... 1063.7.Оценки погрешностей............................................................................... 1083.8.

Дифракция на линзе ................................................................................. 114Вычисление локализованных собственных функций ............................. 114Волноводная линза ...................................................................................... 117Заключение ..........................................................................................................

123Литература ........................................................................................................... 1253Общая характеристика работыВ диссертации предложен и численно реализован подход кисследованию математических моделей, описывающих волноводноераспространение поляризованного света в интегрально-оптическихволноводах. В настоящее время имеется корректная математическая модельзакрытого волновода, адекватно описывающая распространение и дифракциюна неоднородностях волн. Характерное отличие открытых волноводов отхорошо изученных закрытых состоит в том, что соответствующаяспектральная задача на сечении содержит непрерывный спектр, которыйнеобходимо тем или иным способом учитывать как при постановкепарциальных условий излучения, так и при ее дискретизации.

Одна извозможностей такой дискретизации, указанная А.Г. Свешниковым, положенав основу модели интегрально-оптических волноводов, используемой вдиссертации. Оптический волновод помещается в объемлющий его закрытыйволновод («ящик», волновод и идеально-проводящими стенками). Этопозволяет сформулировать корректную задачу, описывающую эволюциюволноводных мод волновода как в полной электромагнитной постановке, таки в скалярном приближении, и использовать для ее обсчета методы,разработанные для анализа закрытых волноводов.Актуальность темыРазвитие векторной трехмерной (3D) теории волноводногораспространения света в нерегулярном интегрально-оптическом волноводеявляется одной из актуальных задач современной интегральной оптики иволноводной оптоэлектроники.

Использование 2D-теории приближенносправедливо только для слабо направляющих структур и не подходит дляописания волноводов, у которых сильно варьируется диэлектрическаяпроницаемость. В разнообразных устройствах сопряжения, связывающихразличные элементы единой оптической интегральной схемы ключевую рольиграет согласование частот и синхронизация фаз электромагнитного поля всопрягаемых элементах. Эффективность сопряжения существенно зависит отсогласования между полями падающей волны и волноводной моды.Следовательно, чем точнее известен вид согласуемых полей, тем успешнеебудет решена задача эффективной передачи энергии через устройствосопряжения. Более того, при переходе в субмикронный и, тем более, внанометровый диапазон линейных размеров элементов интегральных4оптических устройств 2D-анализ существенно ограничивает возможностиисследователей.

Требование к точности расчета параметров волноводнойлинзы и подобных элементов интегральных оптических структур припереходе в нанометровый диапазон сильно возрастает в связи ссуществованием ограничений, обусловленных дифракционными эффектами.В этой связи проблема создания адекватных моделей волноводнойдифракции поляризованного электромагнитного излучения в закрытых иоткрытых волоконно-оптических и интегрально-оптических нерегулярных инеоднородных волноводах является весьма востребованной проблемой. Аформулировка корректных математических задач волноводной дифракцииявляется необходимым условием реализации устойчивых численных методоврешения задач волноводной дифракции поляризованного электромагнитногоизлучения.Открытые и закрытые волноводные системы используются при решенииразличных практически важных задач весьма часто, но только для закрытыхбыла предложена универсальная модель, учитывающая сложный векторныйхарактер электромагнитного поля и парциальные условия излучения, ведущаяк математически корректным постановкам задач анализа и синтеза(проектирование) и по этой причине вызвали теоретический интерес успециалистов по математической физике.

Это обусловлено темобстоятельством, что соответствующие спектральные задачи в закрытыхсистемах имеют чисто дискретный спектр, а в открытых системах к немудобавляет еще и непрерывная составляющая. Открытые волноводные системывозникают на практике не менее часто, чем закрытые, более того, в некоторыхпредметных областях радиофизики и оптики им следовало бы отдатьпредпочтение, например, планарные волноводы используются только воптическом диапазоне и только открытые. Практически реализованныеволноводы с компактным поперечным сечением бывают закрытыми (сметаллическими стенками) в радиодиапазоне (дециметровом, сантиметровыми др.) и открытыми в оптическом диапазоне.Постановка корректной задачи дифракции волн на неоднородности взакрытом волноводе использует парциальные условия излучения,предложенные в работах А.Г. Свешникова, обоснованию существованиярешения у этой задачи в различных волноведущих системах посвящена серияработ А.Н.