Диссертация (Исследование инфляционных моделей посредством уравнения Абеля первого рода)
Описание файла
Файл "Диссертация" внутри архива находится в папке "Исследование инфляционных моделей посредством уравнения Абеля первого рода". PDF-файл из архива "Исследование инфляционных моделей посредством уравнения Абеля первого рода", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физико-математические науки" из Аспирантура и докторантура, которые можно найти в файловом архиве РУДН. Не смотря на прямую связь этого архива с РУДН, его также можно найти и в других разделах. , а ещё этот архив представляет собой кандидатскую диссертацию, поэтому ещё представлен в разделе всех диссертаций на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
Федеральное государственное автономное образовательное учреждениевысшего образования«Балтийский федеральный университет имени Иммануила Канта»На правах рукописиЯпарова Анна ВалентиновнаИсследование инфляционных моделей посредствомуравнения Абеля первого рода01.04.02 — Теоретическая физикаДИССЕРТАЦИЯна соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНаучный руководительд. ф.-м. н., профессорЮров Артем ВалериановичКалининград – 20162ОГЛАВЛЕНИЕОглавление . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51Применение уравнения Абеля для анализа космологической инфляции 151.1 Метод суперпотенциала и уравнение Абеля первого рода . . . . . . 151.1.11.1.21.1.31.1.41.1.51.2Решение уравнений движения поля для известного суперпотенциала . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Сведение уравнений движения поля к уравнению Абеля первого рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Анализ уравнения Абеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Примеры решений уравнения Абеля . .
. . . . . . . . . . . .Анализ инфляционной динамики с использованием решенияуравнения Абеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Практическое применение численных решений уравнения Абеля дляанализа инфляции . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.1 Уравнения Абеля для полиномиальных потенциалов . . . . .1.2.2 Эволюция вселенной, заполненной скалярным полем с потенциалами m2 φ2 /2 , λφ4 /4 и m2 φ2 /2 + λφ4 /4 . . . . . . .1.2.31.2.41.2.5Подготовка к численному анализу «сильной» инфляции длятрех полиномиальных потенциалов . . . . . . . . .
. . . . .Начальные условия, достаточные для существования «сильной» инфляции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Влияние начального значения скалярного поля и начальногосоотношения между потенциальным и кинетическим членами его энергии на число е-расширений и время инфляции . .182128333435414547491.2.61.322.1Начальные условия для скалярного поля и условие медленного скатывания . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .1.2.7 Влияние медленного скатывания на время инфляции и числое-расширений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.8 Сравнение моделей m2 φ2 /2 , λφ4 /4 и m2 φ2 /2 + λφ4 /4 . .Итоги главы . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16Метод U (φ) , суперпотенциал и уравнение Абеля первого рода дляскалярного поля с экспоненциальным потенциалом . . . . . . . . . .Метод U (φ) и уравнение Абеля первого рода . . . . . . . . . . . . .52555561636332.1.1Метод U (φ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .2.1.22.2Сведение уравнений Эйнштейна-Фридмана к уравнению Абеля первого рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Анализ вселенных, заполненных скалярным полем с экспоненциальным потенциалом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.1 Уравнение Абеля для скалярного поля с экспоненциальнымпотенциалом .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .632.2.22.2.32.2.42.2.52.333.1656969Случай C = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Случай C < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79Случай C > 0 . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Сшивка решений уравнений Эйнштейна–Фридмана в случаеэкспоненциального потенциала скалярного поля и положительной постоянной интегрирования в решениях уравненияАбеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101Итоги главы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .Уравнение Кортевега–де Фриза, уравнение Шрёдингера и спектральный индекс в приближении медленного скатывания . . . . . . . . .Иерархия уравнений Кортевега–де Фриза и уравнение для спектрального индекса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1.1 Истоки идеи . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1091121121123.1.23.1.33.2Иерархия уравнений Кортевега–де Фриза . . . . . . . . . . . 115Преобразование Дарбу для решений иерархии уравнений Кортевега–де Фриза . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 116Применение преобразования Дарбу для построения инфляционныхпотенциалов и спектральных индексов . . . . . . . . . . . . . . . . . 1203.2.1 Сведение уравнения для спектрального индекса к уравнению Шредингера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 1213.2.23.2.33.2.43.3Преобразование Дарбу и новый потенциал: нулевой спектральный индекс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123Преобразование Дарбу и новый потенциал: модель Харрисона–Зельдовича . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129Преобразование Дарбу и новый потенциал: возмущенная модель Харрисона–Зельдовича . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 1323.2.5 Решение Лидси . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135Итоги главы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1364Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 137Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141Приложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1525ВВЕДЕНИЕАктуальность темы. Первые модели, описывающие экспоненциально быстрое расширение вселенной, заполненной сверхплотной материей, были предложены еще в шестидесятых годах прошлого столетия [18, 19, 67], однако и сейчасранняя космологическая инфляция является активно развиваемой идей в современной космологии [77, 78, 72, 103, 52].
Изобилие исследований по данной теме [6, 93, 117, 68, 88, 94, 32, 8, 21, 118, 73, 100] привело в конечном итоге ксозданию сценария хаотической инфляции [23, 91, 89], который на сегодняшнийдень разработан наиболее глубоко и полно. Именно он позволил разрешить многиезатруднения, возникающие в теории горячей вселенной [65], такие как проблемысингулярности, плоскостности, горизонта и другие [25].Одна из простейших моделей хаотической инфляции — это инфляция во вселенной с метрикой Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера (ФЛРУ) [16, 17, 108,122, 83][]dr22222222ds = dt − a (t)+ r (dθ + sin θ dϕ ) ,1 − kr2где t — временная координата, r , θ и ϕ — пространственные координаты, a(t)— масштабный фактор, k = 0, +1, −1 для плоского, замкнутого или открытогопространства соответственно.
Вселенная полагается заполненной единственнымдействительным скалярным полем φ , минимально связанным с гравитацией, которое, в принципе, не должно быть однородным на больших масштабах. Достаточнолишь, чтобы оно было однородным в некоторой малой области порядка планковской длины lP ∼ 10−33 см . Тогда второе из уравнений Эйнштейна–Фридмана8πkȧ2ρ−=,a23M2Pa2(1)ρ̇ + 3H(ρ + p) = 0в этой области может быть записано в видеφ̈ + 3H φ̇ + V ′ (φ) = 0,где точка обозначает производную d/dt , штрих — производную d/dφ , H = ȧ/a— параметр Хаббла, ρ = 1/2φ̇2 + V (φ) — плотность энергии поля, p = 1/2φ̇2 −V (φ) — давление поля, а V (φ) — его потенциал. Здесь и далее везде полага-6ем c = ~ = 1 .
Таким образом, мы получаем систему из двух дифференциальныхуравнений с двумя неизвестными функциями a = a(t) и φ = φ(t) .Сложность решения такой системы, очевидно, зависит от выбора потенциалаV (φ) , который, как правило, берется из какой-либо теории элементарных частиц.Для большей части даже самых простых полиномиальных потенциалов найти аналитические решения невозможно. Помимо этого, часть из потенциалов, для которых аналитические решения существуют, являются нереалистичными. Ситуацияусложняется еще и нелинейностью уравнений и наличием в них вторых производных от неизвестных функций. Таким образом, анализ поведения инфляционнойвселенной оказывается нетривиальной задачей, вследствие чего становится особенно важным развитие методов анализа и численной оценки ее поведения.Существует несколько распространенных подходов к исследованию системы.Первый их них заключается в поиске решения для поля с заданным потенциаломV (φ) .
Второй — в определении так называемого суперпотенциала как функции поля [113, 40, 99, 116, 34, 3, 53, 29, 120, 4, 41], зачастую приравниваемого к плотностиэнергии поля [64, 5, 14, 106, 60]. Еще один подход состоит в том, что скорость изменения поля φ̇ вводят как заданную функцию самого поля φ̇ ≡ U (φ) («методU (φ) ») [106, 48, 45, 49, 46]. Каждый подход позволяет отыскать (хотя бы численно) функции зависимости масштабного фактора и скалярного поля от времени.К счастью, существует весьма удобный инструмент для работы, значительно упрощающий изучение динамики вселенной по сравнению с непосредственным интегрированием исходных уравнений.
Это – уравнение Абеля первого рода.Несмотря на то что изредка оно используется для некоторых частных задач, например, в работах [100, 126], оказывается, что возможности его применения гораздо шире. Хотя оно также нелинейно и имеет аналитические решения для весьмаограниченного числа случаев [102, 20, 127, 44], анализ одного дифференциального уравнения первого порядка выполнить проще, чем анализ системы (1) из двухуравнений. Свести уравнения Эйнштейна–Фридмана к уравнению Абеля можнокак с использованием суперпотенциала (см.
