Диссертация (Квантовые фазовые переходы и роль беспорядка в спиральных магнетиках и магнитных системах, находящихся в спин-жидкостных фазах), страница 9

Функции Грина распространяющихся мод имеют вид (2.18), где в этом случае T (k, E) уже зависит отимпульса k, и функции Грина (2.19) c m ̸= n также вносят свой вклад. Врезультате, выражения для T (k, E) и плотности состояний более громоздкие, чем формулы (2.20) и (2.24); соответствующие выражения для 1D можно найти в Приложении А. Несмотря на эти усложнения, перенормировкаспектра в первом порядке по c определяется теми же выражениями (2.21).492.3.2. Численные расчетыДля подтверждения аналитических результатов и для выявления характера состояний вблизи краев зоны элементарных возбуждений, проводиласьчисленная диагонализация одночастичного сектора бозонного гамильтониана (см.

формулы (2.13), (2.15) и (2.17)) для конечных 1D и 2D систем сбеспорядком. Таким методом находились собственные значения, состоянияи плотность состояний ρ(ϵ) для конечных систем. Энергия и затухание распространяющейся моды с импульсом k находились, используя определениефункции ГринаG(k, t) = −i⟨vac|T ak (t)a†k (0)|vac⟩ = −i⟨k|e−iHt |k⟩θ(t)∑= −i|⟨k|ϵ⟩|2 e−iϵt θ(t),(2.26)ϵгде |vac⟩ основное состояние гамильтониана H, определяемого формулами (2.13), (2.15) и (2.17), |k⟩ - состояние с частицей с импульсом k (плоскаяволна), θ(t) - функция Хевисайда, |ϵ⟩ - собственная функция H, соответствующая собственному значению ϵ.

Заменяя суммирование по ϵ интегрирование по зоне и используя формулу (2.27), получается∫G(k, ω) =∫f (k, ϵ)f (k, ϵ)dϵ= − dϵ− iπf (k, ω),ω − ϵ + i0ω−ϵ(2.27)где f (k, ϵ) = ρ(ϵ)|⟨k|ϵ⟩|2 может быть найдено из результатов точной диаго∫нализации и − обозначает главное значение интеграла. Из выражения (??)следует, что f (k, ω) соответствует мнимой части функции Грина G(k, ω),которая должна иметь лоренцевскую форму для хорошо определенных распространяющихся квазичастиц с импульсом k.

Таким образом, энергия изатухание распространяющихся возбуждений получается аппроксимациейf (k, ω) функцией Лоренца.Дляколичественнойоценкипространственнойлокализации/делокализации состояния ψ, найденного диагонализацией гамильтониана, можно использовать обратное число заполнения (IPR - inverse50participation ration):IPR(ψ) =∑|ψ(n)|4 ,(2.28)nгде n нумерует узлы решетки. IPR по порядку величины соответствует обратному числу узлов, занятых состоянием ψ. Следовательно, IPR масштабируется как 1/Ld для пространственно протяженных состояний и остаетсяпостоянным для локализованных (d - размерность системы). Экспоненциальная локализация характеризуется IPR ∝ 1/ξ d , где ξ порядка длинылокализации (см., например, работу [39]).Число узлов в рассмотренных кластерах менялось в пределах от 400до 15000.

Для каждого кластера производилось усреднение результатов побольшому числу реализаций беспорядка, для определения f (k, ϵ), плотности состояний и IPR. Число реализации беспорядка менялось от 105 длянаименьших кластеров до 600 для наибольших. Рассматривались периодические и открытые граничные условия, которые привели к одинаковымрезультатам. Поправки к энергии квазичастиц и их затуханию находилисьэкстраполяцией численных данных для конечных систем разного размера, содержащих Ld элементарных ячеек, к термодинамическому пределу,используя квадратичные полиномы по 1/L. В частности, Рис. 2.2, показанный в следующем разделе для 1D систем, построен по 250 значениямимпульса. Экстраполяции на графиках 2.2(a) и 2.2(b) получены с использованием L = 1024, 2048, 4096 и 8192.

Графики для f (k, ϵ), показанные навключениях на Рис.2.2(b), вычислены для L = 6144. На графиках 2.2(c) и2.2(d) кластеры с L =500, 1000, 2000 и 3000 использованы для экстраполяции, включения показывают результаты для L = 3000.2.4. Системы с беспорядком2.4.1. Одномерные системы2.4.1.1. Метод T -матрицыВычисления особенно просты в случае 1D систем с дефектами, которыеизображены на Рис. 2.1. При рассмотрении обменного взаимодействия51только между ближайшими соседями, для спектра чистой системы получается (см.

формулу (2.1))(2.29)εk = ∆ + a|J| + aJ cos k,где ∆ = 1 − a|J| при H = 0, и минимум спектра находится в k = k0 ,где k0 = π и 0 для J > 0 и J < 0 соответственно. После элементарногоинтегрирования в формуле (2.19) получаем1√,E > ∆ + 2a|J|,(E−∆−a|J|)2 −a2 J 2,∆ < E ≤ ∆ + 2a|J|,G00 (E) = √ 2 2 ia J −(E−∆−a|J|)21− √, E < ∆.22 2(2.30)(E−∆−a|J|) −a JИз второго равенства в выражении (2.30), следует, что G00 (E = εk ) =i/|aJ sin k| ,и для спектра и затухания из уравнений (2.20) и (2.21) в случаебеспорядка только в J или D получаетсяua2 J 2 sin2 kEk = ∆ + a|J| + aJ cos k + c 2 2 2,a J sin k + u2u2 a|J sin k|γk = c 2 2 2.a J sin k + u2(2.31)Особый интерес представляет окрестность точки, где спектр минималени имеет вид (2.2). Из выражений (2.31) видно, что есть два режима поκ = |k − k0 | ≪ 1:(Ek = ∆ +a|J|2Ek = ∆ + cu +2 2+ c a uJa|J| 22 κ ,)κ2 , γk = ca|J|κ, если κ ≪ min{1, |u/aJ|},2uγk = c a|J|κ,Область применимости результатовством (2.22), имеет следующий вид:если 1 ≫ κ ≫ |u/aJ|.(2.32),определяемаяκ ≫ c,при |u| ≫ ca|J|,√ u κ ≫ c aJ, при |u| ≪ ca|J|.52(2.32)неравен-(2.33)Из неравенства (2.23) получается такая же область применимости аналитических результатов в окрестности максимума спектра (в этом случае κизмеряет отклонение импульса от его значения, при котором спектр максимален).

Поправки к энергии квазичастиц и их затухание, определяемыевыражениями (2.31), изображены на Рис. 2.2 для некоторого набора значений параметров. Соответствующие численные результаты также показанына Рис. 2.2, они обсуждаются ниже.Плотность состояний чистых систем g0 (E) равна G00 (E)/iπ = π1 (a2 J 2 −(E −∆−a|J|)2 )−1/2 внутри зоны. Из формулы (2.24) можно сделать вывод,что дефекты не приводят к значительным поправкам в плотность состояний в области применимости аналитических результатов, определяемойнеравенствами (2.33). За пределами зоны, где G00 (E) вещественна, появляется изолированный примесный уровень выше или ниже зоны, в зависимости от знака u.

Из выражений (2.24), (2.25) и (2.30) для энергий внезоны получается (см Рис. 2.3(a))g(E) = cδ(E − Ed ),√Ed = ∆ + a|J| + sign(u) a2 J 2 + u2 .(2.34)Процессы многократного рассеяния на дефектах, которые не учитываются в первом порядке по c, переводят изолированный уровень в узкуюпримесную зону. Формулы (2.34) соответствуют результатам полученным вработе [40], где рассматривалась плотность состояний в разупорядоченныхспиновых лестницах с S = 12 .Дефекты в малом обменном взаимодействии Jij подробно рассмотреныв Приложении А.

Там получено выражение (А.14) для T (k, E), которое,при применении формулы (2.21), дает для спектра следующие результаты:Ek = ∆ + a|J| + aJ cos k()2 ()1 + uJ1u + 2au1 cos k + au21 cos k/J a2 J 2 sin2 k+c (,(2.35))421 + uJ1 a2 J 2 sin2 k + (u + 2au1 cos k + au21 cos k/J)()2u + 2au1 cos k + au21 cos k/Jγk = ca|J sin k| (.)421 + uJ1 a2 J 2 sin2 k + (u + 2au1 cos k + au21 cos k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Рис.

2.2: Поправки к энергии квазичастиц и их затухание в 1D системах,найденные аналитически (2.31) и численно, для беспорядка в только в Jили D (экстраполяция производится по численным данным для конечныхсистем, содержащих L элементарных ячеек, к термодинамическому пределу, как это описано в разделе 2.3.2). Затененные области показывают участки, на которых мнимая часть одночастичных функций Грина χ′′ (k, ω), полученная численно, используя выражение (??), имеет нелоренцевский вид,и, следовательно, аналитические результаты неприменимы (то есть неравенства (2.33) не выполняются).

Вставки на графиках (b) и (d) показывают χ′′ (k, ω) для некоторых фиксированных импульсов, сплошные линиина вставках показывают результаты аппроксимации данных лоренцианами. Наиболее сильно проявляющиеся аномалии в численных данных для“более сильных” дефектов (графики (c) и (d)) интерпретированы как результат когерентного рассеяния квазичастиц с импульсами, показаннымивертикальными линиями, на дефектах (см. текст).54!"015;<010:=6>,)-.-<014:6">?!@$;)A6@!#>A%6('@6B<C0006DE?)%@$F6G>@!6#&#%!?0146!"#$%& '( #%)%!# *+,)-.-/+01301209+901:001:++1:78,)-.128127=>5?-6=>4?-5A>1216'"BC!D$A*E'D!#BE%')(D'F>4111G'B-*./.>1276'"BC!D$A*E'D!#BE%')(D'F>4111G'B-*./.>6'HIC*%D$JG'B-*./.>1276'=BD!'#&#%!C=>3?-4!"126'!"#$%&'()'#%*%!#'+,-*./.0=>6?-7125124123=><?-@=>8?-<=>7?-8;12<;127;1259:-*./.Рис.