Диссертация (Квантовые фазовые переходы и роль беспорядка в спиральных магнетиках и магнитных системах, находящихся в спин-жидкостных фазах), страница 8

H < Hc1Для произвольного целого спина S Бозе-аналог спинового гамильтониана(2.8) может быть получен, используя следующее представление (см. деталив работе [12] ):++Si+ = b+i (f1 − f2 bi bi ) + (f1 − f2 ai ai )ai ,+Siz = b+i bi − ai ai ,(2.9)где введены два типа бозе-частиц иf1 =√S(S + 1),f2 =√S(S + 1) −√(S − 1)(S + 2)/2 > 0.(2.10)Для получения спектра в первом порядке по обменному взаимодействию,необходимо учитывать только билинейные члены в гамильтониане [12]. Би43линейная часть гамильтониана имеет следующий вид)()]2∑ [(f12f1H2 =1 + h + Jk a+Jk b+k ak + 1 − h +k bk ,22(2.11)kкоторый описывает две ветви элементарных возбуждений со спектрами(2.1), где a = f12 = S(S + 1).2.2.2.2.

H > Hc2Полностью поляризованная фаза при больших магнитных полях можетбыть описана, с использованием спинового представления ГолштейнаПримакова, которое дает следующий гамильтониан в линейном спинволновом приближенииH2 =∑(h − (2S − 1) − S(J0 − Jk )) a+k ak .(2.12)kСпектр имеет вид (2.1), в данном случае с a = 2S.Необходимо отметить, что магнитное поле может только изменять величину щели, но не вершину взаимодействия квазичастиц при T = 0 ииграет роль химического потенциала.

Это происходит из-за того, что зеемановский член коммутирует со спиновыми гамильтонианами (2.3), (2.8) иособого вида спиновых представлений (1.2), (2.5) и (2.9). Магнитное полеуменьшает щель в спектре для одной из ветвей, что приводит систему кквантовой критической точке.2.3. Модель беспорядка и методы описания системы c беспорядкомПерейдем к описанию выше рассмотренных систем при конечных концентрациях дефектов c.

Ниже будут обсуждаться только дефекты, которыеменяют значения констант взаимодействий в соответствующих гамильтонианах, в то время как природа парамагнитной фазы при H = 0 не меня44ется (то есть основное состояние остается синглетным). Например, ниже нерассматриваются дефекты, которые ослабляют константу внутридимерного взаимодействия настолько, что на дефектных связях возникают локальные магнитные моменты. С другой стороны, ниже не предполагается, чтоотклонения констант взаимодействий на дефектных связях от их значенийв чистых системах малы. Рассматриваются два различных типа беспорядка: (i) беспорядок в константе внтуридимерного обменного взаимодействияJ или в значении одноионной анизотропии D и (ii) беспорядок в малых константах обменных взаимодействий Jij между спинами из разных димеровили спинов на соседних узлах (для систем с большой D).Гамильтонианы этих систем при наличии дефектов могут быть записаны в следующем виде:H = H2 + V,(2.13)где H2 определяется выражениями (2.4), (2.7), (2.11) и (2.12), V для беспорядка только в константах J или D имеет следующую форму:V =∑uSn,1 · Sn,2 или V ={n}∑u (Snz )2 ,(2.14){n}где суммирование ведется по всем дефектным обменам или узлам, и u определяет отклонение J или D на дефектных обменах или узлах от их значений в чистых системах.

Из выражений (1.2), (2.5) и (2.9) видно, что такойбеспорядок влияет только на химический потенциал на дефектной связиили узле. Данный вид беспорядка обладает единственным параметром u.Таким образом, при H < Hc1 из выражения (2.14) получается для одногосорта частиц (пусть это будут частицы a для определенности)V =u∑a+n an .(2.15){n}Выражения для V для случая беспорядка в обменных константах Jijочень громоздкие и мы приводим их только для 1D систем, которые изоб-45(b)(a)-1102-130123Рис.

2.1: Одномерные системы с дефектными обменами, показаннымиштриховыми линиями. (a) Спиновая лестница с S = 12 с димерами на ступеньках (выделены жирным) с модифицированной константой внутридимерного обмена J на ступеньке номер 1 и модифицированными значениямиконстант обменных взаимодействий между спинами из димера 1 и соседних димеров 0 и 2. (b) Цепочка с целым спином с измененным значениемодноионной лекгоплоскостной анизотропии D на узле 1 и измененным значением констант обменного взаимодействия на связях 0-1 и 1-2.ражены на Рис. 2.1:V = u1∑(Sn,1 · Sn+1,1 + Sn,2 · Sn+1,2 + Sn−1,1 · Sn,1 + Sn−1,2 · Sn,2 ){n}или V = u1∑(Sn · Sn+1 + Sn−1 · Sn ) ,{n}(2.16)где первое выражения для лестницы со спином 12 (см.

Рис. 2.1(a)), второе для цепочек с целым спином (см. Рис. 2.1(b)), u1 измеряет отклонениеконстанты Jij на дефектной связи от ее значения в чистой системе. Частьоператора возмущения соответствующего частицам, имеющим тип a, имеетвид)au1 ∑ ( +++an an+1 + a+V =a+aa+aa,(2.17)nnn−1nn+1n−12{n}где a = 1 для спиновой лестницы и a = S(S + 1) для цепочки с целом+спином при H = 0.

В выражении (2.17) мы опустили слагаемые вида b+i aj ,+bi aj , c+i cj и ci cj , которые возникают при малых H и дают поправки в следующем порядке по Jij .Нижеприведенное рассмотрение начинается с обсуждения систем с одним типом беспорядка - только в J или D. Затем, также учитывается влияние беспорядка в Jij и обсуждаются соответствующие результаты для си46стем с двумя типами беспорядка. Предполагается, что эти два типа беспорядка связаны между собой, как это делается обычно в литературе [13,39].Например, спины на дефектном димере связаны с соседними димерамидефектными обменами (см., например, Рис. 2.1 для одномерных систем).Это приближение выглядит вполне естественным, потому что в реальныхматериалах замена немагнитных атомов обычно приводит к изменению обменных взаимодействий в их окрестностях.2.3.1.

Метод T -матрицы.Для нахождения поправок к спектрам квазичастиц и плотности состояний в аналитическом виде ниже используется стандартное приближениеT -матрицы (см., например, ссылки [41–43, 45]). Процессы, включающие всебя рассеяние на более чем одном дефекте, не учитываются в этом методе,а все результаты верны только в первом порядке по c. Для функции Гринакаждой моды в системе с беспорядком получаетсяG(k, E) =1,E − εk − cT (k, E)(2.18)где T (k, E) - величина, относящаяся к T -матрице, εk - спектр квазичастицы в чистой системе. Следовательно, трансляционная инвариантностьсистемы оказывается эффективно восстановленной в первом порядке по c,что позволяет использовать функции Грина вида (2.18) для анализа спектра этих мод [42, 43, 45]. Величина T (k, E) может быть выражена черезкоординатные функции Грина чистой системы1 ∑ eip(Rn −Rm )Gnm (E) =,N p E − εp − i0(2.19)где N - полное число элементарных ячеек в системе.Для беспорядка только в J или D, T (k, E) не зависит от импульса иимеет следующий вид:T (k, E) =u,1 − uG00 (E)47(2.20)где u показывает отклонение J или D на дефектном димере или узле отих значений в чистых системах (см.

формулу (2.14)). Спектры квазичастицEk и их затухание γk определяются полюсами функции Грина (2.18) и впервом порядке по концентрации c даются следующими формуламиEk = εk + cℜ(T (k, E = εk )),γk = cℑ(T (k, E = εk )),(2.21)где ℜ и ℑ обозначают вещественную и мнимую части соответственно. Формулы (2.21) написаны в предположении, что решение уравнения E − εk −cT (k, E) = 0 для фиксированного k может быть разложено в ряд по c, в котором первые члены учтенные в формулах (2.21) много больше, чем членывысших порядков.

Однако, может оказаться, что это не так для некоторых k. Это означает, что диаграммы высших порядков по c должны бытьучтены и выражения (2.18)-(2.21) должны быть пересмотрены. Как будетпоказано ниже, это как раз ситуация, возникающая в рассматриваемых системах для состояний в зоне элементарных возбуждений, лежащих близкок ее дну и верху. Для применимости выражений (2.21) должны выполняться следующие неравенства:|εk − ∆| ≫ c|T (k, εk )|,(2.22)|εk − ∆ − a|Jk0 || ≫ c|T (k, εk )|,(2.23)соответственно для дна зоны и для верха.

Для анализа состояний вблизи краев зоны были произведены численные расчеты, описанные ниже вдеталях. Следует отметить, что неприменимость выражений (2.18)-(2.21)и необходимость выхода за первый порядок по c часто появляется притеоретическом анализе вышеописанным методом. Иногда так случается,что процессы рассеяния на нескольких дефектах оказываются важны, иих вклады (которые возникают в высших порядках по c) намного больше,чем поправки первого порядка.

Ниже показано, что, предположительно,такая ситуация возникает в 1D системах.Дефекты изменяют также плотность состояний g(E) в системе [42, 43].В первом порядке по c общее выражение для плотности состояний в случае48беспорядка только в J или D имеет следующий вид:g(E) = g0 (E) − cu2 g0 (E)ℜ(dG00 /dE) + u(1 − uℜ(G00 (E)))dg0 /dE, (2.24)[(1 − uℜ(G00 (E)))2 + (πug0 (E))2 ]где g0 (E) = ℑ(G00 (E))/π - плотность состояний чистой системы, а G00 (E)определяется формулой (2.19) с m = n = 0. Из выражения (2.24) видно, что поправка к плотности состояний обладает экстремумом в случаевыполнения следующего условия:1 − uℜ(G00 (E)) = 0.(2.25)Хорошо известно, что в магнитоупорядоченных фазах решения уравненийсхожих с (2.25) определяют положения изолированных уровней (локализованных состояний) за пределами зоны возбуждений (где g0 (E) = 0) иливиртуальных уровней (резонансов) внутри зоны [42, 43].

Однако, ниже обнаружено, что уравнение (2.25) определяет только позиции изолированных примесных уровней в парамагнитных фазах, а причина всех аномалий внутри зоны - производные в числителе второго слагаемого в формуле (2.24).Дефекты в обменных взаимодействиях Jij могут быть учтены тем жеспособом, однако соответствующее аналитическое рассмотрение технически более сложное. Некоторые детали анализа представлены в Приложении А, посвященном одномерным системам.