Диссертация (Квантовые фазовые переходы и роль беспорядка в спиральных магнетиках и магнитных системах, находящихся в спин-жидкостных фазах), страница 5

Спектры первого порядка для триплонов b и c, которые могутбыть получены из решений соответствующих систем уравнений Дайсона,также определяются выражением (1.14).25Поправки второго порядка к спектрам определяются диаграммамиХартри-Фоковского типа и петлевыми диаграммами с неодетыми функциями Грина. Они изображены на Рис. 1.2. Для нахождения вершины нулевогопорядка Γ(0) необходимо решить уравнения Бете-Салпетера, которые изоб(0)ражены на Рис.1.2(d) и (e).

Например, уравнение для Γa (p, k, q) (индекс”a” обозначает, что оба рассеивающихся триплона имеют тип a, изображенное на Рис.1.2(d), записывается как(−i)i2 2UΓ(0)(p,k,q)=U+aN∫(0)dωk1 ∑Γa (k1 , k, q).2π(ωk − ωk1 − J + i0)(ωk1 − J + i0)k1(1.17)(0)(0)(0)(0)Уравнения для Γb и Γc имеют такой же вид, а уравнения для Γab , Γbc(0)и Γac отличаются от (1.17) только множителем 2 во втором слагаемом вправой части. Из уравнения (1.17) очевидно, что Γ(0) (p, k, q) зависит толькоот ωk .

В результате после элементарного интегрирования по ωk1 получается(0)(0)Γ(0)aU Γa=U+,ωk − J(0)ΓabU Γab=U+,2(ωk − J)(1.18)что дает при U → +∞ следующие результаты (совпадающие с соответствующими в работе [12])(0)(0)Γ(0)a (p, k, q) = Γb (p, k, q) = Γc (p, k, q) = J − ωk ,(0)Γab (p, k, q)=(0)Γbc (p, k, q)=Γ(0)ac (p, k, q)= 2(J − ωk ).(1.19)Используя выражения (1.19), получается следующий вклад в нормальную собственно-энергетическую часть от Хартри-Фоковских диаграмм (см.Рис. 1.2(a), (b)):Σ(2)HFp( 2)222224J+J+J2 ∑1⊥2⊥3⊥ + J1∥ + J2∥ + J3∥2|Πq | =.=NJ q4J(1.20)Здесь было использовано выражение первого порядка для аномальнойсобственно-энергетической части Πq = J2 (q), определяемое формулой(1.4).

Вклад второго порядка в нормальную собственно-энергетическую26часть от петлевой диаграммы (см. Рис. 1.2(c)) имеет видΣ(2)L= −p= −1 ∑(J3 (q) − J3 (p − q))24N J q(1.21)222J1⊥(1 + cos pc ) + J2⊥(1 + cos (pc − pa )) + J3⊥(1 + cos (pc − pa − pb )).4JВ результате, используя выражения (1.16), (1.20), и (1.21), получается следующий спектр триплонов во втором порядке:ε2p = J + J2 (p) +Σ(2)HFp+Σ(2)LpJ2 (p)2.−2J(1.22)1.4. Эффективное взаимодействие триплоновa при h = hcДля описания квантового фазового перехода в магнито-упорядоченную фазу, необходимо найти эффективное взаимодействие между триплонами a,которые конденсируются в данном переходе, при h = hc .

Уравнение, определяющее вершину взаимодействия Γa (p) = Γa (p, 0, k0 ) в первом порядкепо междимерному взаимодействию, показано на Рис. 1.2(d), где k0 = (0, k0 )и k0 - импульс, при котором энергия ε2k достигает своего минимума. Этоуравнение имеет следующий явный вид:Γ(1)a (p))()((1)11 ∑ Γa (q)J4 (p + q) + J4 (p − q)U+,= U + J4 (p + k0 ) −2N q ε1q − ∆4(1.23)где ∆ = ε2k0 = hc - величина щели при нулевом магнитном поле.

Решениеуравнения (1.23) представимо в видеΓ(1)a (p) = α0 + α1 cos pa + α2 cos pb + α3 cos (pa + pb )(1.24)+ α4 cos pc + α5 cos (pc − pa ) + α6 cos (pc − pa − pb ),где α - константы, значения которых определяются из системы уравнений,в которую переходит уравнение (1.23) при подстановке (1.24).27k0p(1)Г (p)-k0k0k0k0-pk0-p+-ppk0-k0(a)-k0k0k0(0)ГГ (p)-k0p(0)(1)-p-k0k0ГpГ(0)-k0-k0pk0pk00(0)Г-k0(c)(b)k0-k0-k0(d)Рис. 1.3: Диаграммы, иллюстрирующие поправки к вершине Γa (p = k0 )во втором порядке по междимерному взаимодействию. (a) Штриховые исплошные линии обозначают Gc (p) и Ga (p) соответственно.

(b) Штриховые линии обозначают Gb (p) или Gc (p) во втором порядке, определяемыеуравнениями (1.25) и (1.26) соответственно. (c) Штриховые линии соответствуют аномальным функциям Грина Fc (p) и F c (p), определяемым уравне(1)нием (1.12). Γa (p) - решение уравнения (1.23).

Γ(0) соответствует вершинамнулевого порядка (1.19).Диаграммы, дающие поправки второго порядка к вершине показаны наРис. 1.3. Для вычисления диаграмм, изображенных на Рис. 1.3(b), необходимо использовать следующие нормальные функции Грина второго порядка:(2)ω + ε1p − h + Σ−pGb (p) =,(ω − ε2p − h + i0)(ω + ε2p − h − i0)(1.25)(2)ω + ε1p + Σ−pGc (p) =.(ω − ε2p + i0)(ω + ε2p − i0)(1.26)Вершины Γ(0) на Рис. 1.3(b),(c) определяются выражениям (1.19). В результате простых, но громоздких вычислений, получается следующее выражение для поправки второго порядка к вершинеδΓ(2)a (p = k0 ) =1 ∑ (J3 (k0 − q) − J3 (q))J3 (k0 − q) (1)Γa (q)4JN qε1q − h3 ∑+J2 (q)2 ,(1.27)2JN qгде первое и второе слагаемое определяется диаграммами, показаннымина Рис.

1.3(a) и (b)–(c), соответственно. Для простоты мы рассмотрелислучай, когда компоненты вектора k0 равны либо π либо 0 (этот случайкак раз реализуется в Ba3 Cr2 O8 , где k0 = (π, π, π)). Из выражений (1.5) и28(1.8) очевидно, что диаграмма представленная на Рис. 1.3(d) дает нулевойвклад при таком k0 .1.5. Конденсация триплоновТриплоны a конденсируются при магнитных полях h > hc по причине,что их энергия вблизи минимума спектра становится отрицательной, чтоозначает неустойчиовость системы. Следовательно, при h > hc необходимопроизвести следующий стандартный сдвиг в бозонных операторах [37]:ak0√7→ ρN eiϕ + ak0 ,(1.28)где ρ - плотность конденсата и ϕ его произвольная фаза. Однако, из уравнения (1.4) видно, что после сдвига (1.28) в гамильтониане появляютсялинейные по bk0 и b+k0 члены.

Следовательно, необходимо произвести дополнительный сдвиг, для того чтобы избавиться от этих линейных членовbk0 7→√σN eiψ + bk0 .(1.29)Ниже показано, что σ отличается от ρ множителем J2 (k0 )2 /J 2 (см. уравнение (1.31)).Для нахождения ρ, σ, ϕ и ψ необходимо минимизировать свободнуюэнергию, которая имеет во втором порядке при T = 0 следующий вид:()J2 (k0 )2EΓ√= ∆+− h ρ + 2Jσ − 2J2 (k0 ) cos (ψ + ϕ) ρσ + ρ2 + 2Jρσ,N2J2(1.30)(2)где Γ = 2Γa (k0 ). Минимизируя E по отношению к σ, ϕ и ψ получаемJ2 (k0 ) cos(ψ + ϕ) = |J2 (k0 )|,√|J2 (k0 )| √σ=ρ.2J(1.31)Подставляя выражение (1.31) в уравнение (1.30), во втором порядке по29(a)(c)(b)Рис.

1.4: Диаграммы, дающие температурные поправки к свободной энергии при h > hc . Зигзаги соответствуют сконденсированным триплонам.Сплошные линии и линии с двумя стрелками обозначают Ga (p) и Fab (p),F ab (p) определяемые выражениями (1.10) и (1.11), соответственно.J2 (k0 )/J получается()E1J2 (k0 )2= (∆ − h) ρ +Γ+ρ2N2J(1.32)что дает ρ = (h − ∆)(Γ + J2 (k0 )2 /J)−1 .Температурные поправки к свободной энергии E иллюстрируются диаграммами, изображенными на Рис.1.4, выражения для которых имеют видδT E√= 2n(Γρ + Jσ) + 2n ρσ cos(ψ + ϕ)J2 (k0 ),N∫()−113ε2k /T,n =dk e−1(2π)3(1.33)(1.34)где первое и второе слагаемое в выражении (1.33) определяются диаграммами, изображенными на Рис. 1.4(a) и (b)–(c), соответственно, и n ∝ T 3/2при h = hc (T ) и достаточно малых температурах [37].

Минимизируя свободную энергию, используя формулы (1.32) и (1.33), можно получить следующее выражение:(ρ=h−∆−2 Γ+3J2 (k0 )24JΓ + J2 (k0 )2 /J)n,(1.35)из которого получается следующая зависимость критического поля от температуры()3J2 (k0 )2hc (T ) = ∆ + 2 Γ +n.(1.36)4J30E(meV)3322110012345600.00(0,0,L)[r.l.u.]0.250.500.751.000.000.25(H,H,0)[r.l.u.]0.500.751.00(H,H,H)[r.l.u.]Рис. 1.5: Спектры триплонов в Ba3 Cr2 O8 вдоль трех направлений в зонеБриллюэна при нулевом магнитном поле.

Сплошные линии изображены сиспользованием уравнений (1.22) и (1.38). Точки - экспериментальные данные, полученные методом неупругого рассеяния нейтронов, из статьи [7].Две и три кривые на одном графике (точки различной формы соответствуют разным кривым) соответствуют вкладам от трех кристаллическихдоменов (см.

текст).Другой важной характеристикой фазового перехода является поперечная намагниченность на один спин, M⊥ . Для ее квадрата во втором порядке по J2 (k0 )/J, используя выражения (1.2), (1.28), (1.29) и (1.31), можнополучить следующий результат:()2√ρσcos(ψ+ϕ)+σρ−2ρJ(k)20.=1−M⊥2 =222J(1.37)1.6. Применение теории к Ba3Cr2O8На Рис. 1.5 показан наилучший результат аппроксимации, с использованием вычисленного в данной главе спектра триплонов (1.22), данных изработы [7] по неупругому рассеянию нейтронов в Ba3 Cr2 O8 при h = 0. Соответствующие константы обменных взаимодействий, выраженные в мэВ:J =2.18,J1⊥ =0.21,J2⊥ = −0.06,J3⊥ = −0.43,J1∥ =0.04,J2∥ = −0.07,J3∥ = −0.53.31(1.38)(a)0.12(b)13.50.102)B(M/Hc (T)0.0813.00.060.040.0212.50.000.000.250.500.751.001.251.5011.512.0T (K)12.513.0H(T)Рис.

1.6: (a) Температурная зависимость критического поля в Ba3 Cr2 O8 .Сплошная линия иллюстрирует аналитическую формулу (1.36), а точки- экспериментальные данные из статьи [9]. (b) Сравнение теоретическогорезультата (1.37) с экспериментальными данными [8] для квадрата поперечной намагниченности при h > hc и T = 0.2 K.Спектр обладает минимумом при импульсе k0 = (π, π, π), что находится всогласии с экспериментальными данными [8]. Две и три кривые на некоторых графиках на Рис.

1.5 соответствуют вкладам от трех кристаллическихдоменов, обнаруженных экспериментально в работе [7], в которых обменные константы переставляются следующим образом: {J1⊥,∥ , J2⊥,∥ , J3⊥,∥ } →{J2⊥,∥ , J3⊥,∥ , J1⊥,∥ } → {J3⊥,∥ , J1⊥,∥ , J2⊥,∥ } (см. работу [7]).При использовании экспериментально измеренного g-фактора [8, 33] g = 1.94, получаются следующие значения для критических полей:hc = ε2k0 ≈ 12.5 T,hs = 2S(J + 2J1⊥ + J1∥ ) ≈ 23.5 T.(1.39)Эти величины очень хорошо соответствуют значениям 12.5 T и 23.6 T полученным экспериментально при T = 0.3 K и h∥ĉ [9].