Диссертация (Квантовые фазовые переходы и роль беспорядка в спиральных магнетиках и магнитных системах, находящихся в спин-жидкостных фазах), страница 10

2.3: Плотность состояний (DOS) в 1D системах с беспорядком тольков J или D, где δE = E − ∆ − a|J|. Плотность состояний в приближенииT -матрицы дается формулой (2.24) (на графиках она почти не различима с плотностью состояний чистой системы). Наиболее ярко выраженныеаномалии в численных данных, найденных при L = 3000, являются результатом когерентного рассеяния дефектами квазичастиц с энергией, обозначенной вертикальными линиями (см. текст).55В случае, когда |u|J|−2au1 J −au21 | ≫ a(J +u1 )2 | sin k|, спектр имеет следующий вид в окрестности минимума (результаты качественно совпадающиес (2.32)):(Ek = ∆ +)a|J|a2 J 2 (1 + u1 /J)2+cκ2 ,22u − 2au1 J/|J| − au1 /|J|γk = ca|J|κ.

(2.36)Стоит отметить возможность сокращения вкладов в перенормировку спектра от двух типов беспорядка, в случае когда u|J| − 2au1 J − au21 ≈ 0 и|1 + u1 /J| ∼ 1. В этом случае из формул (2.36) получается |Ek − εk | ∼c|J|κ2 ≪ εk − ∆ и γk ∼ c|J|κ3 ≪ εk − ∆.Плотность состояний в 1D системах с двумя типами беспорядка такжерассмотрена в Приложении А. Там показано, в частности, что в системе невозникают изолированные уровни при a|u1 | ≫ |u|, если −2 < u1 /J < 0, в товремя как возникает один уровень выше и один ниже зоны в случае, когдаu1 /J лежит за пределами этого интервала (что соответствует работе [40]).Необходимо отметить, что выражения (2.30), (2.31) и (2.36) получены сиспользованием частного вида спектра (2.29). Другой спектр фаз со щельюприведет к отличным от представленных результатам. Однако, формулы(2.32)–(2.33) и (2.36) являются более универсальными, так как они могутбыть получены с использованием общей формы спектра (2.2) вблизи минимума или максимума, а также формы примесного взаимодействия (2.15)и (2.17) (комбинация a|J| в этих выражениях следует из этого множителя в выражении (2.2) для спектра и au1 получается из V , определяемоговыражением (2.17)).

Это следует из того факта, что малые κp дают основной вклад в Gnm в формуле (2.19), где κp это отклонение импульса p отимпульса в котором спектр имеет минимум (или максимум).2.4.1.2. Численные результатыЧисленные результаты для энергии квазичастиц, затухания и плотностисостояний представлены на Рис.

2.2 и 2.3 (для беспорядка только в J илиD). Видно, что они хорошо согласуются с аналитическими результатами вобласти применимости аналитического приближения (2.33), кроме некото56рых точек, рядом с которыми возникают резкие положительные или отрицательны пики. Амплитуда этих пиков растет с увеличением |u| и/или c.Так как приближение T -матрицы не показывает эти аномалии, их логично отнести к резонансам в многократном рассеяния на дефектах, котороене учитывается в аналитическом подходе и является эффектом, возникающем в высших порядках по c.

Причину появления этих резонансов можнокачественно понять, заметив, что элементарные возбуждения чистой цепочки с импульсами k = mπ/n и k = π − mπ/n, где m < n целые числа,рассеиваются когерентно дефектами, которые находятся на расстоянии вrn постоянных решетки, где r целое число. В случае, когда перенормированный спектр Ek значительно отличается от спектра чистой системы εk((2.29)), положение аномалий немного сдвигается, по причине, что возбуждение с энергией Ek в результате рассеяния на дефектах производит возбуждение с такой же энергией εp =Ek , которые когерентно интерферируютесли p = mπ/n. Позиции резонансов, определенных таким способом, обозначены на Рис.2.2(c), 2.2(d) и 2.3 вертикальными линиями, которые точно соответствуют положению аномалий в численных данных (импульсы pтакже показаны на Рис.

2.3(b) рядом с соответствующими вертикальнымилиниями).Мнимая часть одночастичной функции Грина χ′′ (k, ω) показана длянекоторых импульсов на вставках на Рис. 2.2(b) и 2.2(d), которые былиполучены численно выше описанным способом. Эти вставки иллюстрируют тот факт, что χ′′ (k, ω) имеет форму лоренциана только для не слишкомсильных дефектов в области применимости аналитического приближения.При увеличении u и/или c, амплитуды аномалий растут и форма пиковв χ′′ (k, ω) вблизи соответствующего k начинает иметь мало общего с лоренцианом для достаточно больших u. Резонансное рассеяние становитсядостаточно сильным, а аналитические результаты полностью неприменимыми, при c|u/aJ| & 1 (см.

Рис. 2.3(b)).Пики в χ′′ (k, ω) имеют нелоренцевскую форму рядом с границами зоныдля всех u и c ≪ 1 (этот факт проиллюстрирован на Рис. 2.2(b)). Областив k-пространстве с нелоренцевскими пиками затемнены на Рис. 2.2, чтоиллюстрирует результаты для |u/aJ| ∼ 1, когда аномалии внутри зоны57не слишком велики. Ширина этих областей согласуется с оценками (2.33)размеров регионов, для которых аналитические результаты применимы.Анализ IPR, определяемого формулой (2.28), показывает, что все состояния внутри зоны локализованы для любых u и c. Этот факт проиллюстрирован на Рис.

2.4(a), построенном для одного состояния в зоне,далеко от ее краев. Данные усреднены по конфигурациям беспорядка, асредне-квадратичное отклонение IPR от его среднего значения показано наРис. 2.4(b). Интересно, что в случае, когда резонансное рассеяние не слишком сильное, состояния внутри зоны, далекие от ее краев, могут сочетатьлокализацию и свойства коротковолновых волновых пакетов. Эта ситуациясохраняется даже когда u → +∞ и u1 → −J, когда дефекты делят цепочку на куски средней длины 1/c. Как видно из выражений (2.31)–(2.33) и(2.36), поправки по концентрации исчезают в формулах для энергий коротковолновых квазичастиц, в то время как затухание остается, что отражаетконечное время жизни волновых пакетов, возбужденных в такой разделенной системе.2.4.2.

Двумерные системыПерейдем к описанию 2D систем с обменным взаимодействием между ближайшими соседями (см. Рис. 2.5, на котором изображена 2D димерная система), спектр которых имеет видεk = ∆ + 2a|J| + aJ(cos kx + cos ky ),(2.37)где ∆ = 1 − 2a|J| при H = 0. После вычисления интеграла в выражении (2.19) для энергий E > ∆ + 4a|J|, лежащих за пределами зоны, получается()24a2 J 2G00 (E) =K,(2.38)π(E − ∆ − 2a|J|)(E − ∆ − 2a|J|)2∫ π/2где K(k) = 0 √ dθ2 2 - полный эллиптический интеграл первого рода.1−k sin θ58#"/%&'0( )(3(#("(!$"C8DEFG69>$H9I9B (J!"$>?@) K$L$6?CMIA!(1A*)45$67 ( 15$8.9:;:7 (#1<=.9:;: 7 (*!45$67 ()5$8.9:;:$7$*<=.9:;:7B)>?@) /%&'0( )!A*(1#"#(*"(!!()(!A*(1%&'()( )(A*!1(( !%&')( *(>?@) +,%&'-%"$("!"$+,%&'-./%&'0(1A")1(! !(3).2**(! *(" *(# *(3""(! "(">?@) $KРис.

2.4: Обратное число заполнения (IPR), определяемое формулой (2.28),усредненное по реализациям беспорядка, в соответствии с описанием в разделе 2.3.2. σ(IPR) - это среднеквадратичное отклонение IPR от его среднего значения. (a), (b) и (c), (d) графики построены для частных состояний внутри зоны далеко от ее краев для 1D и 2D систем соответственно.Энергии состояний δE измеряются от центра зоны (см. Рис. 2.3(a) и 2.7соответственно). Вставки показывают гистограммы распределения IPR пореализациям беспорядка.Рис.

2.5: Димеризованный бислой со спином 1/2 с дефектными обменами.Обозначения такие же как и на Рис. 2.1(a).59Для энергий внутри зоны, E > ∆ + 2a|J|, этот результат может бытьпредставлен в виде(([))]11π1i1G00 (E) =F− ψ,+F ψ,,πa|J| cos ψ2cos ψsin ψsin ψ(где ψ = arccosE−∆−2a|J|2a|J|), F (ϕ, k) =∫ϕ0√dθ1−k 2 sin2 θ(2.39)- неполный эллипти-ческий интеграл первого рода, обе эллиптические функции вещественны.Для других значений E формулы для G00 (E) могут быть легко полученыиз выражений (2.38) и (2.39), с использованием того факта, что вещественная часть антисимметрична, а мнимая симметрична по отношению к точке E = ∆ + 2a|J|. Формула (2.39) может быть значительно упрощена приE = εk около минимума спектра (κ = |k − k0 | ≪ 1):G00 (εk ) ≈iκ1+ln,πa|J| b21 2a|J|(2.40)где b21 = exp (C20 ) = 25/2 , C20 - зависящие от модели коэффициенты,(C20 = πa|J| limk1 →k01(2π)2)d2 k+ ln k1 .Ω εk − εk1∫(2.41)При использовании выражения (2.20), (2.21) и (2.40), для беспорядка только в J или D в окрестности минимума спектра можно получитьa|J| 2πa|J|(πa|J| − u ln(κ/b21 ))uκ +c,2(πa|J| − u ln(κ/b21 ))2 + (πu/2)2π2a|J|u2.= c2 (πa|J| − u ln(κ/b21 ))2 + (πu/2)2Ek = ∆ +γk(2.42)Таким же способом получается спектр рядом с верхом зоны (то есть максимумом спектра)a|J| 2uπa|J|(πa|J| + u ln(κ/b21 ))κ +c, (2.43)2(πa|J| + u ln(κ/b21 ))2 + (πu/2)2π2u2 a|J|.= c2 (πa|J| + u ln(κ/b21 ))2 + (πu/2)2Ek = ∆ + 4a|J| −γk60Область применимости формул (2.42) и (2.43) имеет следующий вид:√κ ≫ c,при |u| ≫ a|J|,√ u , при |u| ≪ a|J|,κ ≫ c aJ(2.44)где κ измеряет отклонение импульса от его значений, в которых спектрмаксимален или минимален.

Можно отметить, что все поправки к спектруслабо зависят от импульса в области применимости результатов: |Ek −εk | ∼c и γk ∼ c.Аналитическое приближение неприменимо для состояний, близких кверху или дну зоны, из-за локализации возбуждений, которая проиллюстрирована на Рис. 2.6, полученном численно для конкретной реализациибеспорядка. Также был исследован IPR ∝ 1/Lαd (где α < 1) для состоянийвнутри зоны, далеких от краев (см. Рис.