Диссертация (Квантовые фазовые переходы и роль беспорядка в спиральных магнетиках и магнитных системах, находящихся в спин-жидкостных фазах), страница 4

При конечной концентрации дефектов в обеих системах возникает однородная “электрическая поляризация”, которая эквивалента поправке к вектору спирали,пропорциональной концентрации дефектов. В то же время, направлениевектора спирали не изменяется. В разделе 4.2.3 было проанализировано сечение упругого рассеяния нейтронов в таких системах, получено, что помимо брэгговских пиков сдвинутых относительно векторов обратной решеткина вектор спирали с учетом беспорядка, проявляется эффект диффузного рассеяния - вокруг брэгговских пиков возникают хвосты диффузногорассеяния со степенным затуханием. В разделе 4.2.4 вычислены поправкик спектру магнонов, вызванные рассеянием на дефектах, в первом порядке по их концентрации.

Обсуждение других типов слоистых спиральныхмагнетиков со взаимодействием Дзялошинского-Мория, к которым посленебольших модификаций также применима теория, представлено в раз16деле 4.2.5. Для кубических спиральных магнетиков со структурой B20 вразделе 4.3 изложение ведется в аналогичной последовательности. Обзоррезультатов и выводы ко второй главе приведены в разделе 4.4.В приложения А-Б вынесены подробности вычислений.17Глава 1.Теория квантовых фазовыхпереходов,индуцированныхмагнитным полем, вспин-димерных веществах сгексагональной структурой1.1. ВведениеКвантовые фазовые переходы, индуцированные магнитным полем, в димерных спиновых системах интенсивно обсуждались на протяжении последних двадцати лет. Эти магнитные системы состоят из слабо связанныхмежду собой димеров с сильным антиферромагнитным взаимодействиеммежду спинами, принадлежащими одному димеру. Синглетное основноесостояние в отсутствии магнитного поля в таких веществах отделено щелью от триплетных возбужденных состояний (триплонов), что проявляетсяв спин-жидкостном поведении, которое характеризуется конечной корреля1821JǁJ┴2J┴J31J2ǁJ3ǁJ┴ca2J┴b1J1ǁ(b)(a)Рис.

1.1: (а) Схематическое изображение структуры Ba3 Cr2 O8 , где показаны только магнитные атомы. Жирными линиями обозначены димеры.Также показаны обменные взаимодействия между спинами, принадлежащими разным димерам. (b) Проекция в плоскости ab с обозначенными параметрами модели, используемой в данной главе.ционной длиной при нулевой температуре [29,30]. Внешнее магнитное полеh = gµB H понижает энергию одной из триплетных ветвей.

При достижении полем критического значения h = hc происходит фазовый переходв магнито-упорядоченную фазу. Такой индуцированный полем фазовыйпереход может быть успешно описан как Бозе-Эйнштейновская конденсация (БЭК) триплонов, если система обладает U (1) симметрией. Переходыв магнито-упорядоченные фазы были описаны таким способом во многихдимерных веществах [30], наиболее известное из которых TlCuCl3 [1].Ba3 Cr2 O8 является димерной системой, описанного выше типа, котораяпривлекла большое внимание в последнее время [7–11, 31–33].

Магнитныеионы Cr5+ обладают спином S = 1/2 и образуют связанные вдоль оси cтреугольные решетки (см. Рис. 1.1) [31,32]. Димеры ориентированы параллельно оси c. Они образованы ближайшими спинами, расстояние междуними 3.93 Å. Минимальное расстояние между спинами, принадлежащими19разным димерам, составляет примерно 5.74 Å и 4.6 Å в плоскостях ab имежду ними, соответственно, что проявляется в малости междимерноговзаимодействия, по сравнению с внутридимерным. Данное соединение активно исследовалось экспериментально разными методами, включая упругое [8] и неупругое [7, 8] нейтронные рассеяния, электронный спиновыйрезонанс [8, 33], измерение намагниченности образца [8, 9, 11] и магнитокалорический эффект [9].

В частности, было обнаружено, что скошеннаяантиферромагнитная структура появляется в области полей hc < h < hs ,где Hc ≈ 12.5 T и Hs ≈ 23.6 T - поле насыщения. Фазовый переход при hcпринадлежит классу универсальности трехмерной Бозе-Эйнштейновскойконденсации (3D БЭК), в то время как переход при h = hs является переходом первого рода, предположительно за счет спин-решеточного взаимодействия [9].Теоретическое описание квантового фазового перехода в магнитоупорядоченную фазу в Ba3 Cr2 O8 было предложено в работе [10], гдеиспользовалось самосогласованное приближение Хартри-Фока-Попова.Несмотря на то, что в данной работе было достигнуто довольно хорошее соответствие между теорией и большей частью экспериментальных данных,остались некоторые проблемы в теоретическом описании Ba3 Cr2 O8 , которые требуют решения.

(i) Модель, предложенная для описания Ba3 Cr2 O8выглядит не совсем реалистичной [7, 8, 10]. В частности, предполагается,что обменные взаимодействия между спинами из соседних димеров симметричны, например, взаимодействие спинов 1 (см. Рис. 1.1) из соседнихдимеров (для краткости обозначим его как ’1-1’) такое же как и взаимодействие ’2-2’, и взаимодействия ’1-2’ и ’2-1’ также равны между собой. Вто время как данное предположение выглядит разумным для димеров вплоскости ab, это выглядит неестественным для димеров из разных плоскостей ab, так как расстояние между спинами 1 и 2 из разных димеровзначительно короче, чем соответствующее расстояние для взаимодействий’1-1’ и ’2-2’. Это в итоге должно отразиться в порядках величин обменных констант.

(ii) Спектр предложенной модели обладает минимумом внесоизмеримом с векторами обратной решетки импульсе, приблизительно≈ (2.22, −2.25, 2.28) в относительных единицах обратной решетки. Таким20образом, спиральная магнитная структура должна была бы образоватьсяпри h > hc , в то время как нейтронный эксперимент [8] однозначно показывает скошенную антиферромагнитную структуру в Ba3 Cr2 O8 , характеризуемую импульсом k0 = (π, π, π).

(iii) Теория конденсации триплонов,предложенная в статье [10] является полуфеноменологической, потому чтоэффективное взаимодействие между сконденсированными триплонами ижесткость их спектра были определены из сравнения с экспериментальными данными, несмотря на то, что данные характеристики могут бытьвычислены непосредственно из параметров обменных взаимодействий.Для устранения описанных выше проблем, была предложена более реалистичная модель для описания свойств Ba3 Cr2 O8 с обменными взаимодействиями, показанными на Рис. 1.1. В рамках данной модели, используямалость междимерного взаимодействия по сравнению с внутридимерным,все характеристики системы были получены разложением по этому маломуотношению, соответствующая теория представлена ниже.1.2. Обменные взаимодействия и преобразование гамильтонианаОбщеизвестно (см., например, книгу [34]), что величина обменного взаимодействия между спинами крайне чувствительна к дистанции между ними,по причине его короткодействующего характера.

Таким образом, вполнеестественным является рассмотрение в Ba3 Cr2 O8 только обменных взаимодействий между соседними спинами, как это показано на Рис. 1.1. Врезультате спиновый гамильтониан системы может быть записан в следующем виде:H =∑JSi,1 · Si,2 +ii+3∑∑3∑∑iJm⊥ (Si,1 · Si+δrm ,1 + Si,2 · Si+δrm ,2 ) (1.1)m=1Jm∥ Si,2 · Si+δrm ,1 − hm=1∑(i21)zzSi,1+ Si,2,где Si,k обозначает k-ый спин на i-ом димере (k = 1, 2), z - ось квантования,вдоль которой направлено магнитное поле h, δrm - векторы соединяющиесоседние спины (см. Рис.

1.1(a)).Для получения Бозе-аналога спинового гамильтониана (1.1), используется стандартный способ [10, 35, 36], заключающийся во введении трехБозе-операторов (операторов рождения-уничтожения бозонов) a, b и c накаждом димере. Операторы действуют на вакуумное спиновое состояние|0⟩ = √12 (| ↑↓⟩ − | ↓↑⟩) (синглет) следующим образом: a|0⟩ = b|0⟩ = c|0⟩ =0, a+ |0⟩ = | ↑↑⟩, b+ |0⟩ = | ↓↓⟩ и c+ |0⟩ = √12 (| ↑↓⟩ + | ↓↑⟩).

Нетрудно получить выражения для спиновых операторов1++Si,1= √ (a+i (ci − 1) + (ci + 1)bi ),21++Si,2= √ (a+i (ci + 1) + (ci − 1)bi ),21++zSi,1= ((c+i + ci ) + ai ai − bi bi ),21z++Si,2= (−(c+i + ci ) + ai ai − bi bi ).2(1.2)Для выполнения условия, что на одном димере не может быть более одноготриплона a, b или c, необходимо ввести дополнительное ограничение. Весьма удобным способом его введения оказывается добавление членов в гамильтониан, описывающих бесконечное отталкивание между триплонами∑++ ++ ++ ++ +на одном димере U i (a+i ai ai ai + bi bi bi bi + ci ci ci ci + ai bi ai bi + ai ci ai ci ++b+i ci bi ci ), где U → +∞.Подставляя выражения для спиновых операторов (1.2) в гамильтониан(1.1), после преобразования Фурье, с точностью до константы, получается22следующий гамильтонианH = H2 + H3 + H4 ,∑[+H2 =(J − h + J2 (p)) a+p ap + (J + h + J2 (p)) bp bpp−J2 (p)(ap b−p +H3i= √2 N∑[H4+ (J +J2 (p)) c+p cpp1 =p2 +p3i− J3 (p3 )) + √2 Np1 +p2 =p3 +p4]J2 (p)+ ++(cp c−p + cp c−p ) ,2∑[+a+1 c2 a3 (J3 (p2 ) − J3 (p1 )) (1.5)p1 +p2 =p3+ +a1 b2 c3 (J3 (p2 )]− J3 (p2 )) +− J3 (p1 )) ,[()1++ ++ +U + J4 (p1 − p3 ) (a+1 a2 a3 a4 + b1 b2 b3 b4 ) + U c1 c2 c3 c42+b+1 c2 b3 (J3 (p1 )∑(1.4)+a+1 a2 c3 (J3 (p2 ) − J3 (p3 )) + b1 b2 c3 (J3 (p3 ) − J3 (p2 ))+c+1 a2 b3 (J3 (p2 )+1=N+a+p b−p )(1.3)++ ++ ++ (U − J4 (p1 − p3 )) a+1 b2 a3 b4 + (U + J4 (p1 − p4 )) (a1 c2 a3 c4 + b1 c2 b3 c4 )]++ ++ J4 (p1 − p4 )(c+cab+abcc)(1.6)1 2 3 41 2 3 4 ,где N - число димеров в системе, мы опустили часть индексов p в выражениях (1.5) и (1.6),J2 (p) = J1⊥ cos pa + J2⊥ cos pb + J3⊥ cos (pa + pb )(1.7)J2∥J3∥J1∥−cos pc −cos (pc − pa ) −cos (pc − pa − pb ),222J3 (p) = J1∥ sin pc + J2∥ sin (pc − pa ) + J3∥ sin (pc − pa − pb ),(1.8)J4 (p) = J1⊥ cos pa + J2⊥ cos pb + J3⊥ cos (pa + pb )(1.9)J2∥J3∥J1∥cos pc +cos (pc − pa ) +cos (pc − pa − pb ),+222где pa,b,c - это проекции p на соответствующие оси (см.

Рис. 1.1).Принимая во внимание, что гамильтониан системы коммутирует с опе∑ zzраторами проекции спина димера на ось z, [H, i (Si,1+ Si,2)] = 0, и используя выражения для представления спиновых операторов (1.2), можносделать вывод, что h и −h играют роль химического потенциала для триплонов a и b. Следовательно спектры триплонов при h ≤ hc можно легко23найти, используя их вид при h = 0: спектр триплонов c не меняется поддействием магнитного поля, а спектры триплонов a и b сдвигаются магнитным полем h вверх и вниз, соответственно.1.3. Спектр триплонов в нулевом магнитномполеДля вычисления спектра триплонов a, b и c в виде ряда по междимерному взаимодействию удобно использовать следующие функции Грина (ониуспешно использовались в работе [12]):Ga (p) = −i⟨ap a+p ⟩,Gb (p) = −i⟨bp b+p ⟩,F ab (p) = −i⟨a−p bp ⟩,+Fab (p) = −i⟨b+−p ap ⟩,Gc (p) = −i⟨cp c+p ⟩,(1.10)+Fc (p) = −i⟨c+−p cp ⟩,(1.11)F c (p) = −i⟨c−p cp ⟩, (1.12)где p = (ω, p).

Заметим, что Ga (p) = Gb (p) = Gc (p) в нулевом поле. Система уравнений Дайсона для Ga (p) и Fab (p) имеет следующий вид:Ga (p) = G0a (p) + G0a (p)Σp Ga (p) + G0a (p)Πp Fab (p),(1.13)Fab (p) = G0a (−p)Πp Ga (p) + G0a (−p)Σ−p Fab (p),где G0a (p) = (ω − ε1p + i0)−1 ,ε1p = J + J2 (p),(1.14)Σp - нормальная собственно-энергетическая часть, Πp и Πp - аномальныесобственно-энергетические части. Похожий набор уравнений может бытьвыписан для пар Gc (p), Fc (p) и Gb (−p), F ab (p). Решение уравнений (1.13)24(a)(d)(b)k-p(c)k-p k-qk-qqk-k1k-qk1q+=pk-ppqp(e)+=Рис.

1.2: (a)–(c) Диаграммы дающие вклады второго порядка в нормальную собственно-энергетическую часть. Сплошными и штриховыми линиями обозначены функции Грина разных триплонов. (d) и (e) Выражениядля вершин, которые входит в диаграммы (a) и (b), соответственно. Черные точки обозначают “голые” вершины, определяемые выражениями (1.5)и (1.6).может быть представлено в видеω + ε1p + Σ−pΠp, Fab (p) = −,D(p)D(p)D(p) = ω 2 − ε21p − ε1p (Σp + Σ−p )Ga (p) =(1.15)(1.16)+ω (Σ−p − Σp ) − Σp Σ−p + |Πp |2 .Ниже показано, что собственно-энергетические части дают поправки какминимум во втором порядке по междимерному взаимодействию. Следовательно, формула (1.14) дает выражение первого порядка для спектра триплонов a.