Диссертация (Квантовая электродинамика многофотонных переходов в атоме водорода и многозарядных ионах), страница 7

Эти поправки возникают, если принять во внимание все оставшие-32ся после выделения резонансного слагаемого в сумме по n члены в выражении (2.43). Таккак в обсуждаемой задаче нет необходимости в сверхточном определении резонансныхчастот, нерезонансными поправками можно пренебречь.Из закона сохранения энергии (смотри выражение (2.42)) следует что ωi = ωf .

Такимобразом условие резонанса можно записать в виде|ωi − Enp + E1s | = |ωf − Enp + E1s | 6 Γnp .(2.46)В случаях, когда можно пренебречь шириной Γnp в выражении (2.46), оно принимает видзакона сохранения энергии(2.47)ωf = Enp − E1s .Таким образом можно использовать (2.47) в числителе выражения (2.45), но не знаменателе. Чтобы вывести лоренцовский профиль для процесса излучения будем следовать процедуре предложенной Лоу [25]. Она заключается в учёте бесконечного числа собственноэнергетических поправок в резонансном приближении в электронном пропагаторе (смотри Рис. (3)).

Эта процедура сводится к геометрической прогрессии, суммирование которой приводит к появлению ширины уровня Γnp в энергетическом знаменателе выражения(2.44) [24]!∗ ~kf ~efγ µ AµemUnp−1s=e1snpωf + E1s − Enp + 2i Γnp.(2.48)Возводя амплитуду в выражении Eq. (2.48) в квадрат по модулю, интегрируя по направлениям вылета фотона ~νf и суммируя по поляризациям, приходим к лоренцевскому контурудля абсолютной вероятности излучения фотона в интервале частот ωf , ωf + dωfdwnp−1s (ωf ) =1γWnp−1sdωf1,2π (ωf + E1s − Enp − Lnp )2 + 1 Γ2np4(2.49)1γгде Wnp−1sвероятность однофотонного перехода np → 1s. Лоренцовский контур нормированна относительную вероятность перехода для np − 1s:Z∞dwnp−1s =−∞1γWnp−1s= b1γnp−1s .Γnp(2.50)33Перейдём к рассмотрению амплитуды двухфотонных процессов.

Амплитуда двухфотонноРис. 4: Фейнмановский график, описывающий двухфотонное резонансное рассеяние наосновном состоянии атома водорода, с возбуждением ns (n > 2) состояний. Резонансное условиеω1 + ω2 = Ens − E1s . Обозначения те же, что и на Рис. 31s1s~kf , ~ef22~kf , ~ef22~kf , ~ef11~kf , ~ef11nsnsns~ki , ~ei22~ki , ~ei22~ki , ~ei11~ki , ~ei111s1sa)b)го процесса рассеяния представленного фейнмановской диаграммой на Рис. 4a выглядитследующим образом!∗ ~kf ~ef22γµ1 Aµ1(4)sc.U1s= e4Xn1 n2 n3ωf2 + E1s − En1!∗ ~kf ~ef11γµ2 Aµ21sn1n1 n2ωf2 + ωf1 + E1s − En2 ×!~ki ~e2 i2γµ3 Aµ3n2 n3!~ki ~e1 i1γµ4 Aµ4ωf2 + ωf1 − ωi2 + E1s − En3n3 1s(2.51).Закон сохранения энергии для такого процесса теперь ωf1 + ωf2 = ωi1 + ωi2 и условие резонанса определяются выражениемωi1 + ωi2 = ω0 = Ens − E1s .(2.52)Из (2.52) следует приближённый закон сохранения энергии, аналогичный выражению(2.46)|ωf1 + ωf2 − Ens + E1s | 6 Γns ,(2.53)который может быть заменён выражением аналогичным (2.47)ωf1 + ωf2 = Ens − E1s ,(2.54)34где шириной Γns можно пренебречь.

Согласно выражению (2.52) и закону сохранения последний энергетический знаменатель в (2.51) может быть заменён наωf2 + ωf1 − ωi2 + E1s − En3 = ωi1 + E1s − En3 ,(2.55)т.е. он не зависит от частот излучённых фотонов.Оставим в резонансном приближении только один член n2 = ns в сумме по n2 . Для n > 21γввсегда есть главный однофотонный вклад в ширину Γns , например вероятность W3s−2pслучае n = 3. Предполагая существование такого вклада продолжим вставлять однопетлевые собственно-энергетические поправки в центральный пропагатор на Рис. 4а (процедураЛоу).После суммирования всей последовательности амплитуда излучения двухфотонногопроцесса ns → 1s + 2γ выглядит следующим образом!ef∗ ~kf ~22γµ1 Aµ1emUns−1s= e2nsn1Xn1!ef∗ ~kf ~11γµ2 Aµ2ωf2 + E1s − En1ωf2 + ωf1 + E1s −n1 n2.Ens + 2i Γns(2.56)1γШирина Γns определяется по разному для разных ns состояний.

Например, Γ3s = W3s−2pтаккак нет никаких других однофотонных распадов 3s уровня (в дипольном приближении).Дальнейшее рассмотрение вероятностей двухфотонных переходов должно выполнятся отдельно для разных n. Перейдём непосредственно к 3s → 1s + 2γ переходу. Фейнмановскийграфик для резонансного двухфотонного рассеяния с возбуждением 3s состояния изображён на Рис. 5.К выражению (2.56) необходимо добавить член соответствующий перестановке ~kf1 , ~ef1и ~kf2 , ~ef2 фотонов местами.Для 3s−1s двухфотонного перехода возможно только одно каскадное колено: 3s−2p−1s.Таким образом, условия резонанса определяются какω res.1 = E3s − E2p ,(2.57)ω res.2 = E2p − E1s .Чтобы рассмотреть вклад каскадов в 3s → 1s переход необходимо положить n1 = 2p ввыражении (2.56). Применяя процедуру Лоу к верхнему электронному пропагатору, как35Рис. 5: Фейнмановский график, описывающий двухфотонное резонансное рассеяние наосновном состоянии атома водорода, с возбуждением 3s состояния (резонансное условиеωi1 + ωi2 = E3s − E1s ).

Частоты резонансов ω res.1 = E3s − E2p , ω res.2 = E2p − E1s . На Рис. 5 (a)изображён процесс резонансного рассеяния с возбуждением 3s состояния с последующимраспадом 3s − 2p − 1s. На Рис. 5 (b) выполнена вставка собственной энергии электрона в˜ означает, что процедура Лоу уже выполнена для даннойверхний электронный пропагатор. 3sлинии. Остальные обозначения те же, что и на Рис. 3 и 4.1s1s~kf , ~ef22~kf , ~ef22~kf , ~ef11~kf , ~ef112p2p˜3s˜3s~ki , ~ei22~ki , ~ei22~ki , ~ei11~ki , ~ei111s1sa)b)показано на Рис. 5, приходим кem, cascadeU3s−2p−1s= e2!ef∗ ~kf ~22γµ1 Aµ1!ef∗ ~kf ~11γµ2 Aµ21s2pωf2 + E1s − E2p + 2i Γ2p2p3s!ef∗ ~kf ~11γµ1 Aµ1+!ef∗ ~kf ~22γµ2 Aµ21s2p2p3sωf1 + E1s − E2p + 2i Γ2p×(×2.51.ωf2 + ωf1 + E1s − E3s + 2i Γ3sПервый член в фигурных скобках описывает резонанс на частоте ωres.1 , второй член относится к резонансу на частоте ωres.2 .em,cascadeВозведём квадрат модуля амплитуды U3s−2p−1s, проинтегрируем по направлениям из-лученных фотонов и просуммируем по поляризациям.Рассмотрим квадрат модуля первого члена в фигурных скобках и вынесем за скобкив выражении (2.58).

Этот член представлен фейнмановской диаграммой на Рис. 5а и соответствует вкладу первого резонанса в выражении (2.57). В этом случае нас интересуетвывод контура Лоренца для верхнего колена каскада 3s − 2p − 1s. Поэтому сперва проинтегрируем по частоте второго испущенного фотона ωf2 . Вообще говоря, должно быть36выполнено интегрирование по всем частотам принимая во внимание выражение (2.54)ωZf1Zω0dωf2dωf101=20Zω0Zω0dωf2 ,dωf10(2.59)0где ω0 = E3s − E1s . Выражение (2.59) имеет место в силу симметрии (2.58) относительноперестановки ωf1 ωf2 .Интегрирование по частоте ωf2 в выражении (2.58) выполняется в комплексной плоскости.

Так как только полюсные члены дают вклад в интеграл, можно расширить интервалинтегрирования до (−∞, +∞). Применяя теорему Коши, после некоторых алгебраическихпреобразований приходим к выражению для каскадного вклада от первого резонанса вдифференциальную относительную вероятность2γ(resonance 1)db3s−2p−1s(ω) 1γ1γ1 Γ3s + Γ2p W3s−2p ω res.1 W2p−1s ω res.2 dω=222π Γ3s Γ2p(ω − ω res.1 ) + 1 (Γ3s + Γ2p )(2.60)4(здесь для ясности обозначение для частоты ωf1 заменено на ω).Дифференциальная абсолютная вероятность db2γ связана с дифференциальной веро2γятностью dwns−1s(ω) следующим образомdb2γns−1s (ω)2γdwns−1s=.Γns(2.61)Это определение относится ко всем вкладам выражения Eq.

(2.33) в двухфотонную вероятность. Таким образом используя выражения (2.59), (2.61) приходим к ранее представленному выражению (2.35). Интегрирование в (2.61) по оставшейся частоте приводит кполной относительной вероятностиb2γns−1s =2γWns−1s.Γns(2.62)Важно отметить, что последнее интегрирование согласно выражению (2.60) должно бытьпроведено в интервале (0, ω0 ) так как полюсное приближение уже не может быть использовано. Аналогичным образом приходим к выражению (2.36).Для рассмотрения "чистого" двухфотонного вклада в вероятность перехода 3s → 1s+2γвернёмся к выражению (2.56) с исключённым состоянием 2p из суммы по n1 .

Следует помнить, что как было показано ранее, однозначное выделение "чистого" двухфотонного излучения в случае переходов с каскадами невозможно. Извлечение слагаемого 2p из суммы37по n1 в (2.56) соответствует "полюсному приближению"в котором интегрирование по частоте продлеваются на интервал (−∞, ∞). В предыдущем параграфе рассматривался болееобщий подход, когда каскадные слагаемые регуляризовывались только в определённых"окнах".

В этом случае 2p должно быть исключено из суммы по n1 только в конкретном "окне". "Полюсное приближение" соответствует ширине такого окна [ω] = ∞. Так какэнергетические знаменатели теперь несингулярные мы можем применить закон сохранения энергии, чтобы заменить частоту ωf1 во втором знаменателе на ωf1 = ω0 − ωf2 . Возводяв квадрат по модулю выражение (2.56) с исключённым состоянием n1 = 2p, интегрируяпо направлениям вылета излучённых фотонов,суммируя по поляризациям и интегрируяпо частоте ωf1 получаем вклад "чистого" двухфотонного излучения в дифференциальнуювероятность 3s → 1s+2γ . Аналогичным образом может быть получен вклад интерференциимежду каскадным и "чистым" излучением в амплитуде (2.56).Повторяя выкладки для двухфотонного 3s−1s перехода на случай двухфотонного 4s−1sперехода получаем вклады двух каскадов 4s − 2p − 1s and 4s − 3p − 1s: 1) вклад от верхнегоколена 4s − 2p от каскада 4s − 2p −1s, 2) вклад от нижнего колена 4s −2p от каскада 4s − 2p − 1s,3) вклад от верхнего колена 4s − 3p от каскада 4s − 3p − 1s, 2) вклад от нижнего колена 4s − 3pот каскада 4s−3p−1s, где резонансные частоты ωres.1 = E4s −E2p , ω res.2 = E2p −E1s для каскада4s − 2p − 1sи ωres.3 = E4s − E3p , ω res.4 = E3p − E1s для каскада 4s − 3p − 1s.

Это приводит к2γ(cascade)W4s−1s1=2Zω0X401γdW 2γ(resonance i) = W4s−2p+i=11γW3p−1s1γ1γ1γW4s−3p= W4s−2p+ b1γ3p−1s W4s−3p ,Γ3p(2.63)где ω0 = E4s − E1s , b1γ3p−1s абсолютная вероятность для перехода 3p − 1s. Принято во внимание1γ1γчто Γ3p = W3p−1s+ W3p−2sи b1γ3p−1s =1γW4s−3p,1γW3p−1s1γ1γW3p−1s +W3p−2s2γ(cascade)1γ. Здесь W4s−1s6= Γ4s , где Γ4s = W4s−2p+в отличии от выражения (2.38) в случае 3s − 1s перехода.Перейдём к рассмоторению трёхфотонных переходов при наличии каскадов, на примере 3p → 1s + 3γ перехода. Основные каналы распада 3p уровня: 3p → 1s + γ и 3p → 2s + γ .Поэтому в качестве процесса резонансного рассеяния в этом случае выберем процесс однофтонного поглощения с последующим трёхфотонным излучением, изображённым наРис.