Диссертация (Квантовая электродинамика многофотонных переходов в атоме водорода и многозарядных ионах), страница 5

Границы частотных подинтервалов I-V обозначенывертикальными линиями. По оси абсцисс отложена частота в а. е.Окончательно полную вероятность двухфотонного распада 3s уровня в атоме водорода2γможно представить в виде суммы трёх вкладов W3s−1s: каскадного, чистого и интерферен-20ционного:2γ, interference2γ, pure2γ, cascade2γ,+ W3s−1s+ W3s−1s= W3s−1sW3s−1s(cascade)W3s;1sZ4 Γ3s + Γ2p=27πΓ2p2(r)3s2p (r)2p1sω (ω0 − ω) dω + E2p − E3s + ω − 2i (Γ3s + Γ2p ) 3(II)3Z4+27π(IV)(pure 2γ)W3s;1s4=27π(2.15)(2.16)2(r)(r)3s2p2p1sω 3 (ω0 − ω)3 dω ,i E2p − E1s − ω − 2 Γ2p 2 (2p)ω 3 (ω0 − ω)3 S1s;3s (ω) + S1s;3s (ω0 − ω) dω +Z(II)4+27π2(2p)ω 3 (ω0 − ω)3 S1s;3s (ω) + S1s;3s (ω0 − ω) dω +Z(2.17)(IV)4+27πZ2ω 3 (ω0 − ω)3 |S1s;3s (ω) + S1s;3s (ω0 − ω)| dω ,(I+III+V)(interference)dW3s;1sΓ3s + Γ2p=Γ2pZ(II)"#(r)3s2p (r)2p1s4ω 3 (ω0 − ω)3Re×27πE2p − E3s + ω − 2i (Γ3s + Γ2p )hZ+(IV)i(2p)S1s;3s (ω) + S1s;3s (ω0 − ω) dω +"#hi(r)3s2p (r)2p1s4ω 3 (ω0 − ω)3(2p)ReS(ω)+S(ω−ω)dω1s;3s01s;3s27πE2p − E1s − ω − 2i Γ2pS1s;3s =X (r)3sn0 p (r)n0 p1sn0 pZ∞(r)nln0 l0 =(2.18)En0 p − E3s + ω,r3 Rnl (r)Rn0 l0 (r)dr .,(2.19)(2.20)(2.21)0(2p)Здесь S1s;3sопределяется выражением (2.20) с исключенным из суммы 2p состоянием.Результаты численных расчётов представлены в таблице 1.

Удобно определить размервторого интервала II как произведение некоторого целого числа l и ширины резонансногосостояния, т.е. ΔωII = 2(Γ3s +Γ2p )l. Аналогичным образом можно поступить и для четвёртогоинтервала ΔωIV = 2Γ2p l. Значение параметра l варьируется от l = 104 до l = 1.5 × 106 . Таким21образом правая граница второго интервала в атомных единицах равна ωres.1 + l(Γ3s + Γ2p ) =572 +l(Γ3s +Γ2p ), левая граница четвёртого интервала в свою очередь равна ωres.2 −lΓ2p = 38 −lΓ2p .Строки таблицы 1 представляют вклады различных интервалов в чистое двухфотон2γ,pureпри разном выборе параметра l. В последних трёх строках предное излучение W3s−1s2γ,interf erence2γ,cascadeставлен интерференционный вклад W3s−1s, каскадный W3s−1sи значение полной2γвероятности двухфотонного перехода W3s−1s.

Из таблицы 1 можно сделать следующийвывод: чистое двухфотонное излучение зависит от выбора интервалов ΔωII , ΔωIV и не2γ. Только сумма всех трёх вкладовможет быть выделено из полной вероятности W3s−1s2γ2γ,cascade2γ,pure2γ,interf erenceW3s−1s= W3s−1s+ W3s−1s+ W3s−1sопределена однозначно и не зависит от выбораинтервалов, т.е. остаётся инвариатной.Эта инвариантность видна из сравнения двух последних строк в таблице 1: каскадныйвклад изменяется в 6 знаке в зависимости от выбора параметра l (в этом же 6 знакевклады чистого и интерференционного вклада также становятся важными) в то время2γкак в полной вероятности W3s−1sвсе 6 знаков остаются неизменными.В таблице 2 представлены аналогичные вычисления для двухфотонного распада 3sуровня выполненные в калибровке "скорости".

Хотя все числа отличаются довольно зна2γчительно, полная вероятность W3s−1sостаётся прежней, инвариантной относительно выбо-ра интервалов и совпадает со значением в калибровке "длины" в шести знаках. Результаты, представленные в таблицах 1 и 2 опубликованы в нашей работе [27]. Стоит отметить,что приведённые в [27] расчёты, ранее были опубликованы в [26], однако были выполненытолько в калибровке длины и с меньшей точностью. Также в [26] не были представленыотдельно полные вероятности, позволяющие проследить калибровочную инвариантностьрасчётов.Также особый интерес представляет двухфотонный распад 4s-уровня в атоме водорода.

Двухфотонный 4s − 1s распад более сложный, так как он содержит уже четыре(а не два, как в случае 3s − 1s) резонанса, также требующих регуляризации в рамкахКЭД [25]. Аналогично случаю 3s − 1s перехода интегрирование по частоте на промежутке [0, ω0 ] должно быть разбито на несколько под-промежутков, 9 в случае двухфотонногораспада 4s-уровня.

Первый интервал начинается от 0 до нижней границы второго интервала. Последний охватывает окрестность первого резонанса, соответствующий частотеres 1ω4s−3p= 7/288в атомных единицах. Внутри интервала (II) резонансное слагаемое n = 3 в(2.12) должно быть выделено из суммы по всем промежуточным состояниям и замененовыражением с регуляризованным энергетическим знаменателем.

Таковым знаменателем22является E3p − E4s + ω + 2i Γ, где Γ = Γ3p + Γ4s . Третий интервал (III) распространяется от верхней границы интервала (II) до нижней границы интервала (IV), который, в свою очередь,res 2соответствует другому резонансу с частотой ω4s−2p= 3/32 a.e. Внутри интервала (IV) резо-нансный член в (2.12) вновь должен быть заменен на аналогичный с модифицированнымзнаменателем E2p − E4s + ω + 2i Γ, где Γ = Γ2p + Γ4s . Далее, интервал (V) распространяется отверхней границы интервала (IV) до нижней границы интервала (VI), который определяетres 3окрестность второго "колена" ω2p−1s= 3/8 a.e. второго каскада.

Внутри этого интерваламы заменяем энергетический сингулярный знаменатель на E2p − E1s − ω − 2i Γ2p . Следующийинтервал (VII) определяется от верхней границы интервала (VI) до нижней границы интервала (VIII). Интервал (VIII) определяет окрестность второго "колена" первого каскадаres 4и соответствует частоте ω3p−1s= 4/9 a.e.. Внутри этого интервала сингулярный энергети-ческий знаменатель будет равен E3p − E1s − ω − 2i Γ3p . Наконец последний интервал (IX)ограничен верхним пределом интервала (VIII) и максимальной частотой ω0 = 15/32 a.e.в случае двухфотонного распада 4s-уровня в атоме водорода. Функция распределения почастоте является симметричной относительно частоты ω = ω0 /2 с 1% точностью (связаннойс разницей входящих в знаменатели ширин). Каскадные переходы дают доминирующийвклад в вероятность двухфотонного распада.Подставляя (2.11) в (2.14) при n = 4 и оставляя лишь резонансные члены во втором,четвертом, шестом и восьмом частотных интервалах (смотри Рис.

2), мы получим вкладкаскадов в полную вероятность двухфотонного распада 4s-уровня. Поделив на полнуюширину 4s-уровня Γ4s , мы получим относительную величину каскадного перехода. Вкладыкаскадных переходов в интервалах (I), (III), (V), (VII) и (IX) полагаются равными нулю.Каскадный вклад в ширину 4s-уровня может быть выписан в виде (форма "длины" ):(cascade 1γ)W4s;1s4=27πZ(II)4+27πZ(IV)4+27πZ(VI)4+27π hR (r)|r|R (r)ihR (r0 )|r0 |R (r0 )i 24s3p3p1sω 3 (ω0 − ω)3 dω +iE3p − E4s + ω − 2 Γ hR (r)|r|R (r)ihR (r0 )|r0 |R (r0 )i 2 4s2p2p1sω (ω0 − ω) dω +E2p − E4s − ω − 2i Γ33 hR (r)|r|R (r)ihR (r0 )|r0 |R (r0 )i 24s3p3p1sω 3 (ω0 − ω)3 dω +E3p − E1s − ω − 2i Γ3pZ(VIII) hR (r)|r|R (r)ihR (r0 )|r0 |R (r0 )i 2 4s2p2p1sω (ω0 − ω) dω .E2p − E1s − ω − 2i Γ2p33(2.22)23А вероятность "чистого" двухфотонного распада на каждом из интервалов, определенныхвыше, выглядит следующим образом:(pure 2γ)dW4s;1s(pure 2γ)dW4s;1s(pure 2γ)dW4s;1s(pure 2γ)dW4s;1s(pure 2γ)dW4s;1s=24 3 (3p)ω (ω0 − ω)3 S1s;4s (ω) + S1s;4s (ω0 − ω) dω, ω ∈ II27π(2.23)=24 3 (2p)ω (ω0 − ω)3 S1s;4s (ω) + S1s;4s (ω0 − ω) dω, ω ∈ IV27π(2.24)=24 3(2p)ω (ω0 − ω)3 S1s;4s (ω) + S1s;4s (ω0 − ω) dω, ω ∈ VI27π(2.25)24 3(3p)ω (ω0 − ω)3 S1s;4s (ω) + S1s;4s (ω0 − ω) dω, ω ∈ VIII27π(2.26)==4 32ω (ω0 − ω)3 |S1s;4s (ω) + S1s;4s (ω0 − ω)| dω,27π(2.27)ω ∈ I, III, V, VII, IX .(3(2)p)Здесь S1s;3s(ω) определяется выражением (2.12) с исключенным состоянием 3p (2p).

В про-тивоположность каскадам, все интервалы дают вклад в "чистое" двухфотонное излучение. Абсолютная величина "чистого" двухфотонного излучения для перехода 4s → 2γ + 1sвыражается соотношением:(pure2γ)b4s−1s1 1=2 Γ4sZω0(pure2γ)dW4s;1s(ω) .(2.28)0Остается ввести только интерференционные члены. Для краткости выпишем только вкладво втором и четвертом интервалах. Соответствующие функции распределения по частотеопределены формулами:(inter 1)dW4s;1s"#hR4s (r)|r|R3p (2r)ihR3p (r0 )|r0 |R1s (r0 )i4ω 3 (ω0 − ω)3Re=27πE3p − E4s + ω + 2i Γhi(3p)× S1s;4s (ω) + S1s;4s (ω0 − ω) dω ,(2.29)24(inter 2)dW4s;1s"#hR4s (r)|r|R2p (2r)ihR2p (r0 )|r0 |R1s (r0 )i4ω 3 (ω0 − ω)3Re=27πE2p − E4s + ω + 2i Γhi(2p)× S1s;4s (ω) + S1s;4s (ω0 − ω) dω(2.30)и абсолютная величина определяется(inter)b4s;1s =12Γ4sZ(inter 1)dW4s;1s+(II)+12Γ4sZ(inter 2)dW4s;1s+(IV)(inter 3)dW4s;1s(VI)Z12Γ4s+12Γ4sZ(inter 4)dW4s;1s.(2.31)(VIII)2γРис.

2: Функция распределения по частоте dW4s−1s(ω)/dω для перехода 4s → 1s + 2γ, делённаяна α6 (α - константа тонкой структуры). Границы частотных подинтервалов обозначенывертикальными линиями. По оси абсцисс отложена частота в а. е.Результаты численных расчетов представлены в таблице 3 и опубликованы в нашей работе в [48]. Удобно определить размер Δω второго интервала как произведение некоторогоцелого числа l и ширины Γ, т.е.Δω = 2lΓ.

Также четвертый, шестой и восьмой интервалы определены как Δω = 2lΓ,Δω = 2lΓ2p и Δω = 2lΓ3p , соответственно. В таблице 3 числаданы для различных значений l от l ' 105 до l ' 107 . Верхняя граница интервала (II) равна ωres 1 + lΓ = 7/288 + lΓ (в атомных единицах), а нижнияя граница интервала IV равнаω res 1 −lΓ = 7/288−lΓ.Аналогично определены остальные (четвертый, шестой и восьмой) ин-тервалы. Строки в Таблице 1 соответствуют абсолютным (b) и относительным (W ) вероятностям переходов "чистого" и "интерференционного" каналов, соответственно.

Для болеедетального анализа вклады вероятностей "чистого" двухфотонного переходов также приводятся для каждого частотного интервала. Сумма абсолютных вероятностей отдельных(cascade)(pure 2γ)(inter)вкладов равна единице b(cascade)+ b4s;1s = 1. Это соотношение выполня4s−3p−1s + b4s−2p−1s + b4s;1sется с высокой точностью, так как мы пренебрегли лишь очень слабым однофотонным 125переходом 4s → 1s + γ . Из таблицы 2 мы можем сделать следующие выводы: как и в случаеМЗИ [22] и в случае двухфотонного перехода 3s → 1s+2γ , вклады "чистого" двухфотонного(нерезонансного) и каскадного (резонансного) излучения в вероятность распада оказываются неразделимыми. Меняя размер интервалов Δω, мы получаем существенно различныезначения dW4s;1s , начиная с 133.47664 c−1 (для l = 104 ) до 2.50247 c−1 (для l = 3.47 · 106 ).