Диссертация (Квантовая электродинамика многофотонных переходов в атоме водорода и многозарядных ионах), страница 10

3s − 2p, 3d − 2s, 3p − 2s и 2p − 1s.(2)2γX3s,1s1=2Zω0I3s,1s (ω) [L3s,2p (ω) + L2p,1s (ω) + L3d,2p (ω) + L3p,2s (ω)] dω ,(3.20)0где ω0 = E3s − E1s . Численное интегрирование даёт(2)2γX3s,1s = 0.00497 .(3.21)51(2)2γ(2)2γВеличина X3s,1sнамного больше X2s,1s, но меньше чем 1.

Это означает, что вероятность"отрыва" высока:(2)2γ(3.22)Y3s,1s = 0.99504 .Аналогичные результаты дают вычисления для двухфотонного распада уровней ns(n > 2), nd.В переходе 3d → 1s + 2γ(E1) присутствует один каскад с двумя коленами; впереходе 4s → 1s + 2γ(E1) два каскада, каждый с двумя коленами 4s → 3p → 1s и 4s → 2p → 1sи в переходе 4d → 1s + 2γ(E1) также два каскада каждый с двумя коленами 4d → 3p → 1s и4d → 2p → 1s.(2γ)(2γ)(2γ)Соответствующие вероятности переходов W3d,1s, W4s,1s, W4d,1s, полные ширины(2)2γ(2)2γуровне Γ3d , Γ4s , Γ4d а также вероятности поглощения Xnl,1sи "отрыва" излучения Ynl,1sприведены в таблице 5. Таким образом, в рассматриваемой модели все уровни ns, nd сn = 3, 4дают вклад в "отрыв" излучения соизмеримый с вкладом двухфотонного 2s − 1sперехода.Наименьший "отрыв" (разница порядка 3% по сравнению с двухфотонным распадом2sуровня) возникает в двухфотонном распаде 3d состояния.

Однако, роль этих состоянийв космологическом "отрыве" излучения сильно подавлена термодинамическим фактором(смотри параграф 3.4). Необходимо отметить следующие два обстоятельства в приведённых выше расчётах. Во-первых, рассматривались только двухфотонные E1E1 переходы,возможные переходы с фотонами высшей мультипольности не учитывались.

Такой подход хорошо применим для атома водорода (смотри, например [61]). Во-вторых различиемежду Γaa0 и Γa в выражении (3.1) для однофотонных переходов 3s − 2p, 3d − 2p, 4s − 3p,4s − 2p, 4d − 3p, 4d − 2pтакже не принималось во внимание так как переходы с фотонамивысших мультипольностей, входящие в выражение для ширины, сильно подавлены. Принимая выше сказанное во внимание, выражение (3.20) для лоренцевского контура L3s,2pдолжно определяться следующим образом(1γ)L3s,2p(1γ)(1γ)Γ3s + Γ2p1 Γ3s,2p.=2π Γ3s (ω − ω̃3s,2p )2 + 1 (Γ(1γ) + Γ(1γ) )243s(3.23)2pЗдесь Γ3s = Γ(1γ)3s,2p , так как переходами 3s → 1s + γ(M 1), 3s → 2s + γ(M 1) принебрегается, в видутого что их вклад в полную ширину Γ3s весьма мал [26].523.3Перепоглощение трёх- и четырёхфотонного излученияВ работах [34], [70] было выдвинуто предпложение, что многофотонные переходы сдвухфотонными коленами, могут также давать вклад в "отрыв" излучения в процессекосмологической рекомбинации.

Этот подход был назван "двухфотонным приближением" так как вкладом "чистого" многофотонного излучения с числом фотонов больше чем2 можно пренебречь. В [34] в качестве примера двухфотоонного приближения рассматривался трёхфотонный 3p → 1s переход. Распад 3p состояния возможен однофотоннымпереходом 3p → 1s + γ(E1) или трёхфотонным 3p → 1s + 3γ(E1). Эти каналы не интерферируют друг с другом из-за различного числа фотонов в конечном состоянии. Однофотоннаявероятность равна(1γ)W3p,1s = 195.61mα2 (αZ)4 .. = 1.67342 · 108 s−1 ,(3.24)где m масса электрона, α постоянная тонкой структуры, Z заряд ядра (Z = 1 для водорода).В трёхфотонный переход 3p → 1s + 3γ(E1) дают вклад "чистое" трёхфотонное излучение,два каскада 3p → 2s + γ(E1) → 1s + 2γ(E1), 3p → 2p + 2γ(E1) → 1s + γ(E1) и интерференция."Чистое" трёхфотонное излучение имеет порядок mα3 (αZ)8 р.

е.Вероятности трёхфотонного распада для переходов без каскадов рассчитывались вработах [71] для 2p → 1s + 3γ(E1):(3γ)W2p,1s = 0.4946mα3 (αZ)8 r..(3.25)Важно отметить, что для вероятности 3p → 1s + 3γ(E1) перехода вклады "чистого" трёхфотонного излучения и каскадного также неразделимы, как и в случае двухфотонного 3s → 1s + 2γ(E1), 3d → 1s + 2γ(E1) перехода в §3.2. Однако, в отличие от двухфотонного распада, где на уровне точности "двухфотонного приближения" рассматривались все вклады, в случае трёхфотонного распада на том же уровне точности достаточнорассматривать только вклад каскадов полностью пренебрегая "чистым" трёхфотоннымизлучением и интерфенционными членами.

Это возможно, так как амплитуда "чистой" трёхфотонной вероятности значительно меньше "чистой" двуфхотонной вероятности. Таким образом задача сводится к рассмотрению только вкладов от каскадов [34](1γ)(3γ)(2γ)W3p,1s = W3p,2p +W3p,2s (2γ)W2s,1s .Γ3p(3.26)53Порядок амплитуды трёхфотонного перехода фактически определяется переходом в каскадном колене, в нашем случае двухфотонным переходом.Полная вероятность распада 3p уровня Γ3p определяется так (аналогично Γ3s в параграфе 3.2)(1γ)(1γ)(3.27)Γ3p = Γ3p,1s + Γ3p,2s .(2γ)(2γ)Двухфотонная вероятность перехода W3p,2pвычисляется аналогично вероятности W2s,1sтак как представляет "чистый" двухфотонный распад. Поэтому(2γ)W3p,2p1=2Zω0(2γ)dW3p,2p (ω) ,(3.28)0(2γ)где ω0 = E3p − E2p .

Дифференциальное распределение по частоте dW3p,2p≡ I3p,2p выглядитследующим образом (в а.е.)(2γ)dW3p,2p (ω) =8ω 3 (ω0 − ω)3 2 Xα9π ∗ 152mml3pXl2p q 0 q20 q0 qqq 0(−1)q+q S3p,2p(ω) + S3p,2p(ω0 − ω) dω ,(3.29)гдеl3p ml0q qC10 q0 l2p ml )S3p,2p(ω) = (5C1 q0 0 3p02p√ X l3p ml3p2m+(2 5C1 q0 2 m C1 q lln mmlnln2pl2pX < R3p |r|Rn0 s)X < R3p |r|RZ∞< Rn0 l0 |r|Rnl >=n0 s >< Rn0 s |r|R2p >+En0 s − E3p + ωn0 dn0 d >< Rn0 d |r|R2p >,En0 d − E3p + ωr3 Rn0 l0 (r)Rnl (r)dr ,(3.30)(3.31)0l ml1 ml1 l2 ml2Clкоэффициенты Клебша-Гордана, ml проекции угловых моментов.В выражении (3.30) нет резонансных членов. Поэтому суммирование по n0 s, n0 d ввыражении (3.30) можно выполнить с помощью кулоновской функции Грина.

Суммируяпо всем проекциям угловых моментов в (3.30), находим(2γ)dW3p,2p =8ω 3 (ω0 − ω)3 2α 25I02 (ν) + 76I22 (ν) + 25I02 (ν 0 ) + 160I0 (ν 0 )I2 (ν 0 ) + 76I22 (ν 0 )+35 25π+10I0 (ν)(16I2 (ν) + 15I0 (ν 0 ) + 6I2 (ν 0 )) + 12I2 (ν)(5I0 (ν 0 ) + 21I2 (ν 0 ))) dω ,(3.32)54Интегралы I0 , I2 в выражении (3.32) a определены следующим образомZ∞ Z∞I0 (ν) =dr1 dr2 r3 r3 R21 (r1 )g0 (ν; r1 , r2 )R31 (r2 ) ,0Z∞ Z∞(3.33)0I2 (ν) =0dr1 dr2 r3 r3 R21 (r1 )g2 (ν; r1 , r2 )R31 (r2 ) ,0где ν = Z/ E3p − ω, ν 0 = Z/ E3p − ω0 , ω0 = ω0 − ω. Радиальная часть кулоновской функцииppГрина gl (ν; r, r0 ) равнаgl (ν; r, r0 ) =4Zν4 0rrν2l 2l+1 2r0 X2l+1 2r∞n!L0nν Lnνr+rexp −.ν(2l+1+n)!(n+l+1− ν)n=0(3.34)В выражении (3.34) L2l+1- полиномы Лагерра.

Вероятность "отрыва" трёхфотонного изnлучения в переходе 3p → 1s + 3γ(E1) определяется так(2)3γ(2)3γ(3.35)Y3p,1s = 1 − X3p,1s ,(2)3γX3p,1s1=2Zω0(1γ)I3p,2p (ω) [L3p,2s (ω) + L3s,2p (ω) + L3d,2p (ω)] dω +0W3p,2s (2)X2s,1s .Γ3p(3.36)(1γ)(1γ)(1γ)В выражении (3.36) вероятность распада W3p,2s≡ Γ3p,2s = 2.24603·107 s−1 , Γ3p,1s = 1.67342·108s−1(3γ)и согласно (3.27) Γ3p = 1.89803·108 s−1 . Отметим, что различие между вероятностью W3p,1s(2γ)(2γ)(2γ)и шириной Γ3p больше чем различие между W3d,1s, W4s,1s, W4d,1sи Γ3d , Γ4s , Γ4d соответственно.Прямой однофотонный распад уровней 3d, 4s, 4d происходит намного быстрее чем соответствующие каскадные переходы (смотри таблицу 5). Это объясняется тем, что каскадысодержат "чистые" двухфотонные колена, вероятность которых мала и имеет порядокдвухфотонного 2s − 1s перехода.По-другому обстоит дело с трёхфотонным переходом 4p → 1s + 3γ(E1), 4f → 1s + 3γ(E1).Формулы, аналогичные выражению (3.26), для этого перехода выглядят следующим образом(1γ)(3γ)(2γ)W4p,1s = W4p,2p +(1γ)(1γ)(1γ)(1γ)W4p,3d (2γ)W4p,3d (2γ)W4p,3s (2γ)W4p,2s (2γ)W3p,1s (2γ)W4p,3p +W3d,1s +W3d,1s +W3s,1s +W2s,1s ,Γ3pΓ4pΓ4pΓ4pΓ4p(3.37)55(1γ)(3γ)(2γ)(2γ)W4f,1s = W4f,2p + W3d,1s +W3p,1s (2γ)W4f,3p .Γ3p(3.38)Двухфотонные колена каскадов 4p → 2p+2γ(E1) → 1s+3γ(E1), 4f → 2p+2γ(E1) → 1s+3γ(E1)аналогичны случаю 3s → 1s + 2γ(E1) перехода, т.е.

они представляют собой каскады 4p →3d → 2pи 4f → 3d → 2p соответственно.Эти каскадные колена рассчитываются также как и случай 3s → 1s + 2γ(E1) перехода и(2γ)(2γ)имеют амплитуду того же порядка. Полные вроятности переходов W4p,2p, W4f,2pотличаются(1γ)(1γ)(1γ)(1γ)от полных ширин Γ4p = Γ(1γ)4p,1s + Γ4p,2s + Γ4p,3s + Γ4p,3d и Γ4f = Γ4f,3d , соответственно (см. Главу4). Два других канала распада уровней 4p, 4f , т.е.

4p → 3p + 2γ(E1) → 1s + 3γ(E1) и 4f →3p+2γ(E1) → 1s+3γ(E1) содержат "чистые"двухфотонные колена, и поэтому их вероятность(2)3γ(2)3γ(2)3γмала по сравнению с Γ4p , Γ4f . Эти результаты, вместе с величинами X4p,1s, Y4p,1sи X4f,1s,(2)3γY4f,1sтакже представлены в Таблице.Перейдём к четырёхфотонным процессам и рассмотрим переход 4s → 1s + 4γ(E1). Этотпроцесс не интерферирует с двухфотонным каналом 4s → 1s+2γ(E1), рассмотренном в параграфе 3.2, в виду различного числа фотонов в конечном состоянии.

Как и в случае трёхфотонного распада, "чистым" четырёхфотонным излучением можно пренебречь и рассматривать только вклады с двухфотонными коленами 4s → 3p + γ(E1) → 2s + 2γ(E1) → 1s + 4γ(E1),4s → 3s + 2γ(E1) → 2p + 3γ(E1) → 1s + 4γ(E1)и 4s → 3p + γ(E1) → 2p + 3γ(E1) → 1s + 4γ(E1). Выра-жения аналогичные (3.26) имеют вид [34], [70]:(1γ)(1γ)(4γ)(2γ)W4s,1s = W4s,3s +(1γ)W4s,3p W3p,2s (2γ)W4s,3p (2γ)W3p,2p +W2s,1s .Γ4sΓ4sΓ3p(3.39)(1γ)(1γ)В(3.39) W4s,3p≡ Γ4s,3p . Величина Γ4s представляется как(1γ)(1γ)Γ4s = Γ4s,3p + Γ4s,2p .(3.40)(1γ)(1γ)Аналогичным образом W3p,2s≡ Γ3p,2s и Γ3p определяются выражением (3.27). Двухфотонная(2γ)дифференциальная плотность вероятности (распределение по частоте) dW4s,3sполучаетсяиз выражений (2.9), (2.10) заменой A0 → 4s, A → 3s.