Диссертация (Квантовая электродинамика многофотонных переходов в атоме водорода и многозарядных ионах), страница 8

6. Для перехода 3p → 1s + 3γ есть два каскада, содержащие двухфотонные колена:3p → 2p + 2γ → 1s + 3γand 3p → 2s + γ → 1s + 3γ .В случае трёхфотонного перехода будем учитывать только вклады каскадных членов. Эти вклады содержат по одному "чистому" двухфотонному колену (3p − 2p или2s − 1s)того же порядка что и "чистый" двухфотонный вклад в 3s − 1s переходе.38Рис.

6: Фейнмановский график, описывающий резонансный процесс с однофотоннымвозбуждением и трёхфотонным излучением для основного состояния атома водорода. На Рис. 6(a) изображён процесс резонансного рассеяния. На Рис. 6 (b) выполнена вставка собственнойэнергии электрона в центральный электронный пропагатор.1s~kf , ~ef33~kf , ~ef33~kf , ~ef22~kf , ~ef111sn1~kf , ~ef22n2~kf , ~ef11n1n23pn3 = 3p~ki , ~ei~ki , ~ei3p1s1sa)b)"Чистый" трёхфотонный переход и соответствующие двуфхотонные члены значительноменьше чем каскадные вклады и следовательно ими можно пренебречь в "двухфотонном" приближении [26]. В этом смысле ситуация отличается от случая двухфотонного3s − 1sперехода, когда мы интересовались "чистым" двухфотонным и интерференцион-ным излучением.

Вывод аналогичный двухфотонному случаю приводит к следующемувыражению для трёхфотонной амплитуды излучения 3p − 1s в резонансном приближении:!∗ ~kf ~ef33γµ1 Aµ1em.3γU3p−1s= e3Xn1 n2!∗ ~kf ~ef22γµ2 Aµ21sn1!∗ ~kf ~ef11γµ3 Aµ3n2 3pn1 n2E1s − En1 + ωf3×E1s − En2 + ωf3 + ωf2E1s − E3p + ωf3(2.64)1.+ ωf2 + ωf1 + 2i Γ3pВ выражении (2.64) все собственноэнергетические вставки в электронный пропагаторуже просуммированы как показано на Рис. 6. Точный закон сохранения теперь выглядиткак ωi = ωf1 + ωf2 + ωf3 .

Условие резонанса и приближённый закон сохранения в случаетрёхфотонного распада можно записать следующим образом.|ωi − (E3p − E1s )| = |ωf1 + ωf2 + ωf3 − (E3p − E1s )| 6 Γ3p .(2.65)39Фиксируя вклад каскада 3p → 2s + γ → 1s + 3γ полагаем n2 = 2s в выражении (2.64). Это даёт∗~kf ~efem.3γU3p−1s=e3E1s − E3p + ωf3(γµ1 Aµ1 1 1 )3p2s1×i+ ωf2 + ωf1 + 2 Γ3p (E1s − E2s + ωf3 + ωf2 + 2i Γ2s )∗~k∗~k~eX (γµ Aµ f2 f2 )2sn (γµ Aµ f323212E−E+ω1snf13n~ef3)n1 1s(2.66)+ (перестановка).1В выражении (2.66) необходимо учесть вклады фейнмановских диаграмм со всеми возможными перестановками фотонных линий.Далее необходимо возвести в квадрат по модулю правую часть выражения (2.66), проинтегрировать по направлениям вылета испущенных фотонов, просуммировать по поляризациям и затем проинтегрировать по частотам фотонов ωf1 , ωf2 , ωf3 принимая во внимание условие (2.65).

Важно отметить, что интегрируя вклад каскада 3p − 2s − 1s необходимоучесть, что частота ωf1 зафиксирована условием резонанса(2.67)ωf1 − (E3p − E2s )| 6 Γ3p + Γ2s .Вставляя выражение (2.67) в приближённый закон сохранения энергии (2.65) приходим кравенству(2.68)ωf2 + ωf3 = E2s − E1s .Интегрирование ωf2 , ωf3 должно быть выполнено следующим образомE2sZ−E1sωZf2dωf20dωf31=2E2sZ−E1s0E2sZ−E1sdωf20dωf3 .(2.69)0Выражение (2.69) получается после симметризации (2.67) относительно перестановки фотонов ωf2 , ωf3 . Интегрирование по частотам (по ωf1 и ωf2 в (2.66)) может быть расширено наинтервал [−∞ , +∞] так как используются полюсное приближении. Третье интегрированиепо частоте ωf3 в выражении (2.66) согласно (2.69) выполняется в конечном интервале [0,E2s − E1s ].Таким образом интегрирование по всем частотам даётb3γ3p−1s (3p − 2s − 1s) =где ω0 = E2s − E1s .1γ2γW3p−2sW2s−1s,Γ3p Γ2s(2.70)40Физический смысл безразмерной величины b3γ3p−1s (3p − 2s − 1s) требует отдельного обсуждения.

Эта величина определяет трёхфотонный распад 3p−1s по каналу 3p → 2s+γ → 1s+3γ .Эта вероятность мала по сравнению с основным каналом распада для 3p состояния, т.е.1γ. Величины b3γвероятностью однофотонного перехода W3p−1s3p−1s (3p − 2s − 1s) есть отношение3γвероятности 3-фотонного перехода W3p−1s(3p−2s−1s) к вероятности двухфотонного распада2γW2s−1s= Γ2s .Таким образом из (2.70) следует3γ(3p − 2s − 1s) =W3p−1s1γW3p−2s2γ.W2s−1sΓ3p(2.71)Аналогичным образом можно представить вклад 3-трёхфотонного каскада 3p − 2p + 2γ →1s + 3γb3γ (3p − 2p − 1s) =1γW2p−1sW 2γ .Γ2p Γ3p 3p−2p(2.72)В отличии от b3γ (3p − 2s − 1s) величина определяемая выражением (2.72) должна рассматриваться как отношение вероятности перехода через канал 3p − 2p − 1s к полной ширинеуровня 3p т.е. Γ3p .

Таким образом3γW3p−1s(3p − 2p − 1s) =1γW2p−1s2γW3p−2p.Γ2p(2.73)Окончательное выражение для полной вероятности перехода 3p − 1s (включая однофотонный и трёхфотонный каналы распада) можно представить как1γ3γ1γtotW3p−1s= W3p−1s+ W3p−1s= W3p,1s+2.41γ1γW3p,2sW2p,1s2γ2γW3p,2pW2s,1s+.Γ2pΓ3p(2.74)Квантовомеханический подход для регуляризации амплитудмногофотонных процессов при наличии каскадовКвантовомеханический подход к регуляризации амплитуд многофотонных процессовпри наличии каскадов основывается на решение нестационарного уравнения Шрёдингера[66]i∂ψ(t) b= H0 + Vb (t) ψ(t),∂t(2.75)41где Hb 0 независящий от времени свободный атомный Гамильтониан, Vb (t) возмущение описывающие взаимодействие атома с фотонным полем.

Согласно теории возмущений насинтересует решение уравнения (2.75) в виде разложенияψ(t) =Xaν (t)e−iεν t ψν(0) ,(2.76)νгде ψν(0) собственные функции Hb 0 :b 0 ψν(0) = Eν ψν(0)H(2.77)и ν энергия системы атом + фотонное поле. Эти энергии могут быть представлены какXiω,εν = Eν − Γν +2(2.78)где Eν собственные значения Гамильтониана Hb 0 , Γν ширины соответствующих уровней иPωсумма энергий фотонов, излучённых атомом при переходе в состояние ν .

В (2.76) вво-дится дополнительное обозначение,указывающее на то к какому состоянию применяетсятеория возмущений ψµ(0) :ψµ (t) =Xaµν (t)e−iεν t ψν(0) ,(2.79)νДля коэффициентов aµν (t) в выражении (2.75) получается система уравненийi∂aµν (t) X bVνν 0 aµν (t)ei(εν −εν 0 )t ,=∂t0(2.80)νгде Vbνν 0 матричный элемент оператора Vb . Этот матричный элемент не зависит от времени,зависимость от времени включена в экспоненту e−iεν t . Нас интересуют величины2lim |aµν (t)| = Wµν ,t→∞(2.81)которые могут пониматься как вероятности переходов из состояния µ в состояние ν системы атом + поле.

Для вывода вероятности двухфотонного излучения необходимо рассмотреть второй порядок теории возмущений. В нулевом порядке для начального состоянияµ=iмы имеем a(0)iν = δiν , где δiν символ Кронекера. Амплитуда нулевого порядка должнабыть подставлена в правую часть выражения (2.80). Таким образом, получаем уравнение42для поправки первого порядка a(1)iν(1)i∂aiν= Vbνi ei(εν −εi )t .∂t(2.82)Интегрирование (2.82) даёт(1)aiν =Vbνi 1 − ei(εν −εi )tεν − εi.(2.83)Принимая во внимание чтоiεi = Ei − Γi ,2iεν = Eν − Γν + ω ,2(2.84)где ν промежуточное состояние в амплитуде двухфотонного перехода и ω частота испущенного фотона в переходе i → ν . На следующем шаге необходимо подставить выражение(2.83) в правую часть выражения (2.80) и положить ν = f (конечное состояние).

Это приводит к следующему уравнению(2)i∂aif (t)∂t=i X Vbf ν Vbνi hi ε −ε t1 − ei(εν −εi )t e f ν .εi − ενν(2.85)Здесь εf = Ef − 2i Γf + ω + ω0 с условием что ω1 + ω2 = Ei − Ef ; если f основное состояние тоΓf = 0.Интегрируя (2.85) по времени находим поправку второго порядка(2)aif i εf −εi tX Vbf ν 0 Vbνi 1 − ei εf −εν 0 t1−e,−=ε−εε−εεf − εi00ifνν0(2.86)νВ выражении (2.86) необходимо перейти к пределу t → ∞ согласно определению (2.81).Принимая во внимание перестановочную симметрию окончательно приходим к выражению для вероятности двухфотонного излучения (2) 2(2)dWif = lim Uif dωdω 0 ,t→∞(2.87)43(2)0где Uif(2) = a(2)if + aif (ω ↔ ω ).

После простого алгебраического преобразования приходим квиду(2)Uif=(XνVbf ν 0 VbνiEf − Eν + ω +i2(Γν − Γf )+XνVbf ν VbνiEf − Eν + ω 0 + 2i (Γν − Γf )×1Ef − Ei + ω + ω 0 +i2)×(Γi − Γf )(2.88).Видно, что выражение (2.88) совпадает с выражением (2.58) полученным в рамках КЭД,если положить i = 3s, f = 1s, ν = 2p, ω = ωf1 и ω0 = ωf2 . Дальнейшие вычисления приводят ктем же результатам, что и КЭД подход.Аналогичные рассуждения могут быть использованы и в случае трёхфотонных переходов.

Подставляя (2.86) в правую часть выражения (2.80) приходим к уравнению напоправку третьего порядка теории возмущений a(3)iν(3)i∂aif∂t=1 − ei(εn −εν )t1 − ei(εn −εi )t−εn − ενεn − εiX Vf n Vnν Vνinνεν − εi!ei εf −εn t.(2.89)Здесьiεn = En − Γn + ω + ω 0 ,2iεf = Ef − Γf + ω + ω 0 + ω 00 .2(2.90)Переходя к пределу t → ∞ из (2.89) находим(3)aif =XnνVf n Vnν Vνi.(εf − εi ) (εf − εn ) (εf − εν )(2.91)Подставляя выражения (2.84) и (2.90) в (2.91) приходим к(3)aif =XnνEf − En + ω 00 +i2Vf n Vnν Vνi(Γn − Γf ) Ef − Eν + ω 0 + ω 00 +×Ef − Ei + ω +ω0i2(Γν − Γf )1+ ω 00 +i2×(2.92).(Γi − Γf )Выражение (2.92) также совпадает с выражением (2.64), полученным в рамках КЭД, если положить i = 3p, f = 1s.

Дальнейшие вычисления аналогичны проделанным ранее впараграфе §2.3442.5Сравнение различных способов регуляризации амплитуд многофотонных процессов с каскадамиРассмотрим пример правильного выбора регуляризации каскадов на примере вычисления вероятности поглощения многофотонного излучения представленного функцией распределения по частоте.

Вероятность поглощения излучения одного атома другим атомомрассматривалась в работах [25], [67], [18]. Подробное описание подхода будет рассмотрено в третьей главе диссертации. В нашем случае идёт речь о поглощении двухфотонногоизлучения одного атома однофотонной линией поглощения другого.2γдвухфотонного излучения 2s−1s и сравним егоНачнём с вероятности поглощения X2s−1sс поглощением других двухфотонных переходов. Величина X 2γ определяется следующимобразом [18]2γX2s−1s1=2Z∞2γL1γ2p−1s (ω)dW2s−1s (ω) ,(2.93)02γгде dW2s−1s(ω) распределение по частоте (дифференциальная плотность вероятности) для2s − 1sдвухфотонного переход, L2γ2p−1s Лоренцевский контур для линии поглощения 1s − 2p,который совпадает с Лоренцевским контуром для линии излучения 2p − 1s.