Диссертация (Квантовая электродинамика многофотонных переходов в атоме водорода и многозарядных ионах), страница 9

Лоренцевскийконтур даётся выражением (2.49). Безразмерное распределение по частоте2γdW2s−1sdωнорми-ровано на двухфотонную вероятность12ω2s−1sZ2γ2γdW2s−1s(ω) = W2s−1s= 8.229 s−1 .(2.94)0При интегрировании в (2.94) вне интервала [0, ω0 ], где ω0 = E2s −E1s , функция распределения2γdW2s−1s(ω)2γполагается равной нулю. Таким образом безразмерная величина X2s−1sможетрассматриваться как поглощаемость, т.е. абсолютная вероятность поглощения двухфотонного излучения 2s − 1s однофотонной линией поглощения. Численные расчёты приводят крезультату2γX2s−1s= 6.50 × 10−22 ,(2.95)который показывает, что двухфотонное излучение 2s − 1s испущенное одним атомом водорода не может поглотиться через Лайман-альфа переход другого атома водорода находящимся в основном состоянии. Важно отметить что переход 2s − 1s не содержит каскадов,452γт.е.

распределение по частоте dW2s−1sне имеет сингулярностей, которые должны бытьрегуляризованы. Величина2γ2γ= 1 − X2s−1sY2s−1s(2.96)может быть интерпретирована как "непоглощаемоть" и для 2s−1s двухфотонного переходаравна2γY2s−1s=1.(2.97)В таблице 4 представлены результаты вычислений вероятностей поглощения для двухфотонных 3s − 1s, 3d − 1s, 4d − 1s и трёхфотонных 3p → 1s, 4p → 1s переходов. Все этипереходы требуют регуляризации каскадных вкладов. Излучение двух- и трёхфотонныхпереходов может быть поглощено несколькими однофотонными линиями поглощения:1s − 2p , 1s − 3p , 2p − 3s , 2p − 3d.

Ограничимся рассмотрением только E1 переходов в атоме во-дорода. Таким образом обобщение выражения (2.93) для случая 3s(3d) − 1s двухфотонногоперехода имеет вид2γX3s(3d)−1s=12Z∞ hi1γ1γ1γ2γL1γ2p−1s (ω) + L3p−1s (ω) + L3s−2p (ω) + L3d−2p (ω) dW3s(3d)−1s (ω) ,(2.98)0Лоренцевский контур для переходов между двумя возбуждёнными состояниями nl и n0 l0даётся выражением [24]L1γ(ω) =nl→n0 l01γWnl→n10 l0,2π (ω + En0 l0 − Enl )2 + 41 (Γnl + Γn0 l0 )2(2.99)в которое входит знаменатель с суммой двух ширин Γnl и Γn0 l0 . Аналогичным образомрассчитаны вероятности поглощения для двухфотонного 4d − 1s и трёхфотонного 3p − 1sпереходов.mγВ Таблице 1 представлены два типа величин Xnl−1s(m = 2, 3): для первого типа велиmγ(1)mγчина Xnl−1sвычисляется с распределением по частоте dWnl−1s(ω) в котором регуляризациякаскадов выполнена с двумя ширинами в знаменателе (смотри выражение (2.35) для 3s−1sперехода), для второго типа регуляризация выполнена только с одной шириной (смотри2γ3γвыражение (2.41) для 3s − 1s перехода).

В Таблице 1 значения вероятностей Wnl−1s, Wnl−1sтакже выделены, чтобы подчеркнуть разницу между чистыми двух- трёхфотонными пере-46ходами 2s → 1s + 2γ , 3p → 1s + 3γ и переходами с каскадами 3s → 1s + 2γ , nd → 1s + 2γ (n = 3, 4),4p → 1s + 3γ .Эта разница соотносится с большим различием значений для вероятностипоглощения двух различных типов переходов и подчёркивает, что наличие каскадов полностью изменяет их характеристики.mγ(1)mγ(2)Различие между величинами Xnl−1sи X3s−1sдемонстрирует важность применяемойсхемы регуляризации. В случае 3d − 1s, 4d − 1s перехода отклонение больше 10% от полной величины X 2γ , для 4p → 1s + 3γ перехода достигает 9.5%.

Эти результаты показываютважность правильной регуляризации каскадных вкладов для описания как двух- так итрёхфотонных процессов.Таблица 4: Вероятности поглощения двух- и трёхфотонных переходов nl → 1s + kγ (k = 2, 3)для различных схем регуляризации. Индекс (1) соответствует регуляризации с двумяширинами, индекс (2) соответствует регуляризации с одной шириной.2γ(1)Xnl−1s6.393 × 10−220.005020.052170.023853γ(1)Xnl−1s2.547 × 10−220.00253nl2s3s3d4dXnl−1s6.393 × 10−220.004970.046520.021183p4pXnl−1s2.547 × 10−220.002312γ(2)Ynl−1s1.000000.995040.953490.978822γ(1)Ynl−1s1.000000.994980.947830.976153γ(2)Ynl−1s1.000000.997472γ(2)2γWnl−1s, s−18.229350.06317 × 1080.64686 × 1080.26013 × 1083γ(1)Ynl−1s1.000000.997703γ(2)3γWnl−1s, s−11.019090.003929 × 108Глава 3. Модель перепоглощения многофотонного излучения3.1Перепоглощение однофотонного излученияМодель перепоглощения многофотонного излучения, рассматриваемая в этой главе,представлена в нашей работе [18].

Квантовомеханическое феноменологическое описаниелоренцевского контура известно начиная с работ [68], [69]. Квантовоэлектродинамическийвывод лоренцевского контура для перехордов между двумя возбуждёнными состояниямирассматривался в [23], [24]. Соответствующее выражение для перехода a → a1 выглядитследующим образом [24]:dWaa1 (a0 ) (ω) =1 Γaa1 Γa1 a0 (Γa + Γa1 )dω.2πΓa Γa1(ω − ω̃aa1 )2 + 41 (Γa + Γa1 )2(3.1)47В выражении (3.1) подразумевается, что возбуждённое состояние a1 переходит в основноесостояние a0 с излучением одного фотона. Здесь Γa , Γa1 радиационные ширины уровней a,a1и Γaa1 , Γa1 a0 парциальные ширины соответствующие переходам a → a1 и a1 → a0 соответ-ственно. Вероятности переходов связаны с парциальными ширинами соотношениямиWaa1 = Γaa1 ;Wa1 a0 = Γa1 a0 .(3.2)Таким образом, контур линии для перехода a → a1 зависит от дальнейшего канал распадасостояния a1 .

Фактически это зависимость от относительных относительных вероятностейbaa1 = Γaa1 /Γaи ba1 a0 = Γa1 a0 /Γa1 . В простейшем случае, когда оба состояния a и a1 имеюттолько один канал распада baa1 = ba1 a0 = 1 выражение (3.1) принимает видdWaa1 (ω) =(Γa + Γa1 )dω1.2π (ω − ω̃aa1 )2 + 14 (Γa + Γa1 )2(3.3)Здесь зависимость от состояния a0 полностью исчезает. Как уже обсуждалось в предыдущей главе, нерезонансными поправками при выводе лоренцевского контура можно пренебречь. Таким образом крылья профиля можно продлить вплоть до бесконечности беззначимой погрешности. Принимая это во внимание, условие нормировки выглядит следующим образомdW (ω) = L(ω)dω ,Z∞(3.4)Laa1 (ω)dω = 1 ,(3.5)Laa1 (a0 ) (ω)dω = baa1 ba1 a0 ,(3.6)0в случае выражения (3.3) иZ∞0в случае выражения (3.1).Выражения (3.5), (3.6) представляют абсолютную интегральную вероятность для фотона излучённого в переходе a → a1 . Если никаких других каналов распада кроме a → a1 нет,вероятность равняется единице.

Если же , например, такие каналы распада существуют48для состояний a и a1 , то полная вероятность определяется произведением относительныхвероятностей baa1 ba1 a0 .Рассмотрим излучение, испущенное атомом в переходе a → a1 , имеющее распределениепо частоте описываемое выражением (3.3) и поглощённое другим атомом в переходе a1 → a.Предположим, что фотон излучённый в переходе a → a1 и имеющий распределениепо частоте определяемое выражением (3.3), поглощён другим атомом в переходе a1 → a.Контур линии для поглощения даётся выражением (3.3).

Вероятность поглощения связанас парциальной шириной соотношениемWa1 a =ga1Γaa1 ,ga(3.7)где ga1 , ga вырожденность состояний a1 , a соответственно. Если поглощённые атомом фотоны излучаются в переходе a → a1 другого атома, вероятность поглощения определяетсякак [18](2)Xaa1Z∞(3.8)Iaa1 (ω)Laa1 (ω)dω ,=0где Iaa1 (ω) = (Γa + Γa1 )Laa1 (ω) безразмерная функция распределения поглощаемого излучения, нормированная условиемZ∞(3.9)Iaa1 (ω)dω = Γa + Γa1 .0Распределение излученных фотонов по частоте КЭД теории S -матрицы впервые былорассмотрено в работах Лоу [25] и позднее применено [23], [67] для изучения многократногорассеяния фотонов на атоме.

Аналогичным образом определим вероятность поглощенияпосле n-кратного перерассеяния(n)Xaa1Z∞=0n−1Iaa1 (ω)Laa1 (ω)dω = (Γa + Γa1 )n−1Z∞nLaa1 (ω) dω .(3.10)0Для n = 1 выражение (3.10) сводится к (3.5). Интегрирование может быть расширено наинтервал −∞ ≤ ω ≤ +∞ так как главный вклад дают полюса выражений (3.1) и (3.3) для49Laa1 .Используя равенство"1(ω − ω̃aa1 )2 + 14 (Γa + Γa1 )2#n1n n=ω − ω̃aa1 − 2i (Γa + Γa1 )ω − ω̃aa1 + 2i (Γa + Γa1 )(3.11)и применяя теорему Коши для интегрирования по ω в (3.10) находим(n)Xaa1n−1= [(Γa + Γa0 )]2πi(n − 1)!"!n #(n−1)1ω − ω̃aa1 + 2i (Γa + Γa1 )×ω=ω̃aa1 + 2i (Γa +Γa1 )Γa + Γa12πn, (3.12)где [...](n−1) означает (n − 1)-производную по переменной ω.

Вычисление выражения (3.12)даёт(n)Xaa=11(2n − 2)!.2((n − 1)!) (2π)n−1(3.13)(n)Нетрудно проверить, что для любых n > 1 величина Xaa1 < 1. Таким образом можно ин(n)терпретировать Xaa1 как абсолютную вероятность поглощения излучения в процессе пе-рерассеяния и переизлучения. Величина(n)(n)Yaa= 1 − Xaa=1−11(2n − 2)!1.((n − 1)!)2 (2π)n−1(3.14)определяет вероятность "отрыва" излучения [18]. В частности,1= 0.682 ,π(3.15)3= 0.848 .2π 2(3.16)(2)Yaa=1−1(3)Yaa=1−1Эта простейшая модель ведёт к следующим заключениям. Вероятность отрыва излучения в однофотонном переходе равна 0.682 уже после первого переизлучения и становитсяблизкой к единице с увеличением числа перерассеяний.

Такой результат свидетельствует,что модель, по-видимому, не слишком пригодна для описания отрыва излучения в однофотонных переходах. Однако, для двухфотонных переходов она даёт более разумныерезультаты.Этот результат не зависит от конкретного перехода и, следовательно, относится такжеи к Лайман-альфа переходам. Подчеркнём, что эти оценки не заменяют точного астрофи-50зического подхода к проблеме перерассеяния фотонов на атомах и представлены толькодля того чтобы сделать дальнейшие вычисления более наглядными.3.2Перепоглощение двухфотонного излученияОпределим вероятность "отрыва" двухфотонного излучения одного атома в процессепоглощения Лайман-альфа линией другого атома аналогично выражению (3.8):(2)2γX2s,1s1=2Zω0I2s,1s (ω)L2p,1s (ω)dω ,(3.17)0где I2s,1s (ω) = dW2s,1s (ω), ω0 = E2s − E1s .

Интегрируя (3.17) по ω, находим(2)2γX2s,1s = 6.50 · 10−22(3.18)Малость величины (3.18) показывает, что двухфотонное излучение 2s − 1s одного атомане может быть поглощено другим. Это означает, что излучение полность "отрывается" вдвухфотонном 2s − 1s переходе(2)2γ(2)2γY2s,1s = 1 − X2s,1s = 1 .(3.19)Здесь, индекс (2) как и в параграфе 3.1, означает, что рассматривается только однократноеперерассеяние фотонов. Этого вполне достаточно, чтобы оценить относительную важностьвкладов различных каналов распада в "отрыв" излучения. Проделаем аналогичные выкладки для перехода 3s → 1s + 2γ(E1). В этом случае будем полагать, что двухфотонное3s−1sизлучение поглощается всеми возможными однофотонными переходами в диапазоне[0, ω0 ],т.е.