Диссертация (Квантовая электродинамика многофотонных переходов в атоме водорода и многозарядных ионах), страница 6

Более того, в наших расчетах, зависящих от размера интервала, интерференционный вкладтакже достаточно существенен в сравнении с вкладом "чистого" двухфотонного распада.Таким образом, мы продемонстрировали, что величина "чистого" двухфотонного распададля 4s-состояния атома водорода не может быть строго определена. Ранее для нерезонансного вклада в переходе 4s → 1s + 2γ было получено значение 11.951 c−1 [31].

Это значениенаходится в рамках значений данных в таблице 3, однако, как было показано выше, неможет служить в качестве однозначного определения величины "чистого" двухфотонногораспада.Таким образом "чистый" двухфотонный вклад невозможно отделить от вклада каскадных процессов. Интерференция между этими двумя типами переходов по величинесравнима с "чистым" двухфотонным вкладом. Проблема учёта "чистого" излучения в задачах космологической рекомбинации должна быть сформулирована так, чтобы не требовалось разделять "чистые" двухфотонные и каскадные переходы из возбужденных состояний атома водорода.

Один из примеров такого подхода будет представлен в Главе3.2.792745110.154576647.877791120.061845257.1101111422.16683855−0.091060156.3169401 × 1066.31696215 × 10695.535854380.0061848053.56051962202.16255787−0.009105546.31675910 × 1066.31696125 × 1063.5998754310.27763810−0.227616726.31695216 × 1066.31696221 × 1060.156133530.062468450.006247133.574307392.5 × 1057.0546225910553.053751941042.205575186.46787984−0.454989846.31695622 × 1066.31696223 × 1060.308892001.451648390.311997772.189766515 × 1051.288625294.84909017−0.908023606.31695830 × 1066.31696224 × 1060.615672301.045616480.621818761.2773573510607.93824956−6.9760455316.31696010 × 1066.31696196 × 1063.9574113303.980838230l1 , l2 , l3WW (inter)W (casc)W (total)(pure)WI(pure)WII(pure)WIII(pure)WIV(pure)WV(pure)l7.877772760.036970877.1100839522.11676645−0.025109786.31694006 × 1066.31696215 × 1060.0036972153.56047863202.15748401−0.002510686.31675909 × 1066.31696125 × 1063.5998540010.15260889−0.062786586.31695212 × 1066.31696221 × 1060.092410622.792716740.093341500.037343430.0037344795.535862692.5 × 1053.574286021057.0545954553.053711011042.205558426.21818460−0.1256591846.31695614 × 1066.31696223 × 1060.184702521.451613190.186560652.189749825 × 1051.288613704.35210148−0.252012666.31695814 × 1066.31696224 × 1060.368439821.045575950.372126161.2773458510604.88709901−2.714271116.31695986 × 1066.31696203 × 1062.4356805102.451418500l1 , l2 , l3в калибровке "скорости".

Последняя колонка таблицы относится к предельному случаю, когда интервалы II и IV замыкаются друг с другом сиспользованием трёх параметров l1 = 4.53 × 106 , l2 = 4.58 × 106 and l3 = 107 .Таблица 2: Вероятности перехода (в c−1 ) для различных каналов двухфотонного распада 3s уровня в зависимости от размеров интервалов (l)WW (inter)W (casc)W (total)(pure)WI(pure)WII(pure)WIII(pure)WIV(pure)WV(pure)lв калибровке "скорости". Последняя колонка таблицы относится к предельному случаю, когда интервалы II и IV замыкаются друг с другом сиспользованием трёх параметров l1 = 4.53 × 106 , l2 = 4.58 × 106 and l3 = 107 .Таблица 1: Вероятности перехода (в c−1 ) для различных каналов двухфотонного распада 3s уровня в зависимости от размеров интервалов (l)262γ)2γ)2γ)2γ)2γ)2γ)2γ)2γ)2γ)Wb(inter)W (inter)(pureWII(pureWIII(pureWIV(pureWV(pureWV I(pureWV II(pureWV III(pureWIX(pureWI(pure 22γ)lb(pure 2γ)13.64800133.47664−1.08815 · 10−9−0.004800.0014233.910200.0018339.084700.0018433.475000.0014513.352201043.0233 · 10−51.7691814.01778−1.08822 · 10−8−0.048040.014163.656390.018293.175760.018423.614060.014491.737031053.1750 · 10−60.534003.56123−5.43989 · 10−8−0.240170.070780.835660.091290.512060.091930.827950.072430.525115 · 1058.0662 · 10−70.311522.43989−1.08722 · 10−7−0.480010.141400.420000.181670.336060.182930.416250.144680.305391065.5264 · 10−70.148132.18690−2.16848 · 10−7−0.957380.281400.150430.355450.314410.357800.148120.287850.143322 · 1064.9533 · 10−70.043962.50247−3.73758 · 10−7−1.650140.480930.002040.570880.298730.573740.000360.491540.040293.47 · 1065.6681 · 10−73.21542−5.87950 · 10−7−2.5924800.5241401.0816401.0813900.528250l1 , l27.2829 · 10−7подынтервалах (I)-(IX) в зависимости от размеров интервалов (l).

Последняя колонка таблицы относится к предельному случаю, когдаинтервалы II, IV , V I и V III замыкаются друг с другом с использованием двух параметров l1 = 3.48 · 106 , l2 = 3.52 · 106 . Этот случайсоответствует методу расчета в [15, 31].Таблица 3: Вероятности перехода (в c−1 ), а также их относительные величины, для различных каналов двухфотонного распада 4s-уровня в27282.3Регуляризация амплитуд многофотонных процессов при наличии каскадов в рамках КЭДКак уже упоминалось выше наличие каскадов в вероятностях двухфотонных переходов из состояний с n > 2 в основное состояние требует регуляризации соответствующихрезонансных слагаемых.

Проблема каскадов в двухфотонных переходах в двухэлектронных МЗИ впервые обсуждалась в [21]. Эта же проблема позже рассматривалась в [22].В [23] (см. также [24]) в рамках КЭД был предложен подход для регуляризации каскадныхпереходов. Эта процедура приводит к появлению ширины энергетического уровня в резонансном знаменателе.

Однако существует и другой подход, феноменологический (квантовомеханический), в котором ширина уровня вводится как феноменологический параметр.В квантовомеханическом (КМ) подходе обычно вводится только ширина промежуточного резонансного состояния [62], [32], [31]. В КЭД подходе, основанном на процедуре Лоудля вывода лоренцевского контура линии, регуляризация приводит к появлению суммыдвух ширинв знаменателе, начального и промежуточного энергетического уровня.

Важно отметить, что в [32] возможность введения суммы двух ширин также упоминалась.В [26, 34] КЭД подход применялся для описания многофотонных переходов с каскадамииз состояний 3s, 3p, 3d и 4s в атоме водорода.Регуляризацию каскадных членов удобно начать с простейшего примера: двухфотонного перехода 3s → 1s + 2γ . В 3s → 1s + 2γ есть только один каскад 3s → 2p + γ → 1s + 2γ .2γПолная вероятность двухфотонного перехода W3s−1sесть2γW3s−1s1=2Zω02γdW3s−1s(ω) ,(2.32)02γгде dW3s−1s(ω) дифференциальная плотность вероятности, ω частота одного из фото2γнов, ω0 = E3s − E1s .

Дифференциальная вероятность dW3s−1s(ω) как уже упоминалось вы-ше может быть представлена в виде суммы трёх членов: каскадного вклада, "чистого" двухфотонного излучения и интерференции:2γ(cascade)2γdW3s−1s= dW3s−1s2γ(pure)+ dW3s−1s2γ(interf erence)+ dW3s−1s.(2.33)29Неразделимость "чистого" и каскадного вкладов обсуждалась в предыдущем параграфе.Вклад каскада можно представить как сумму вкладов двух каскадных колен:2γ(resonance 1)dW 2γ(cascade) = dW3s−2p−1s2γ(resonance 2)+ dW3s−2p−1s,(2.34)с двумя резонансными частотами: ωres1 = E3s − E2p и ωres2 = E2p − E1s .

Соответствующиерезонансные вклады в рамках КЭД были получены в [26]2γ(resonance 1)dW3s−2p−1s 1γ1γΓ3s + Γ2p W3s−2p ω res1 W2p−1s ω res2 dω,=22Γ2p(ω − ω res1 ) + 1 (Γ3s + Γ2p )(2.35)42γ(resonance 2)dW3s−2p−1s= 1γ1γω res2 dωω res1 W2p−1sW3s−2p2(ω − ω res2 ) + 41 Γ22p.(2.36)1γ1γЗдесь Γ3s , Γ2p радиационные ширины уровней 3s, 2p соответственно, W3s−2p, W2p−1sверо-ятности однофотонных переходов. В нерелятивистском пределе (учитывая только доми1γ1γнирующие E1 переходы) Γ3s = W3s−2p, Γ2p = W2p−1s. Таким образом интегрируя выражения(2.35), (2.36) по частоте ω и принимая во внимание (2.32)Zω0122γ(resonance 1)dW3s−2p−1s=11 1γW= Γ3s ,2 3s−2p2(2.37)=1 1γ1W= Γ3s .2 3s−2p2(2.38)= Γ3s(2.39)012Zω02γ(resonance 2)dW3s−2p−1s0Здесь,2γ(cascade)W3s−1sи2γW3s−1s1= Γ3s +2Zω0h2γ( pure)dW3s−1s2γ(interference)+ dW3s−1si.(2.40)0В рамках КМ подхода регуляризация обычно выполняется введением ширины промежуточных np состояний, т.е.

заменяя энергию Enp на Enp − 2i Γnp в знаменателе. В случае3s − 2p − 1sкаскада Γnp = Γ2p . Поэтому вклад первого разонанса вместо выражения (2.35)30принимает вид2γ(resonance 1)dW3s−2p−1s= 1γ1γω res2 dωω res1 W2p−1sW3s−2p2(ω − ω res1 ) + 41 Γ22p.(2.41)2γ(resonance 2)в то время как вклад второго каскада dW3s−2p−1sостаётся прежним (выражение (2.36)).Важно подчеркнуть что подстановка выражения (2.41) в интеграл (2.32) приводит ктому же результату (см. выражение (2.37)) что и подстановка выражения (2.35).

Можнопредположить, что оба подхода эквивалентны. Однако это не так по двум причинам. Вопервых, эквивалентность вкладов каскадных членов в полную вероятность перехода неесть эквивалентность полной вероятности перехода из-за существования интерференциимежду каскадным и чистым двухфотонным вкладами. Во-вторых, в различных физических приложениях функция распределения по частоте двухфотонного перехода сворачивается с другими функциями. Это также нарушает эквивалентность упомянутую выше(конкретные примеры приведены в параграфе 2.5). Основной целью параграфов 2.3, 2.4 и2.5 является построение метода регуляризации при котором в энергетическом знаменателе каскадных членов появляется ширина начального состояния. Подробное описание какКЭД так и КМ подходов приведено в нашей работе [63].Перейдём к последовательному описанию многофотонных процессов с каскадами врамках КЭД.

Имея в виду приложение к задачам рекомбинации, рассмотрим резонансное рассеяние на основном состоянии 1s атома водорода. В дальнейшем предполагается,что рассматривается свободный атом, возбуждаемый источником с шириной излучениясравнимой с естественной шириной резонансного состояния. Таким образом исключаетсявозбуждение узкополосным лазерным источником. Такое возбуждение конечно не соответствует космологической ситуации.Рассматриваемые условия соответствуют случаю, когда каждый атом возбуждаетсяфотонами испущенными другим атомом. Фейнмановская диаграмма соответствующая резонансному рассеянию фотона изображена на Рис. (3).Соответствующая амплитуда рассения даётся выражением [28, 61](2)scS1s(2)sc= −2πiδ (ωf − ωi ) U1s!∗ ~kf ,~efγ µ Aµ(2)scU1s= e2(2.42),(~k ,~e )γ µ Aµ i iX1snnωf + E1s − Enn1s,(2.43)31Рис.

3: Фейнмановский график, описывающий резонансное рассеяние фотонов на основномсостоянии атома водорода. На Рис. 3 (a) изображён процесс резонансного рассеяния свозбуждением np состояния. На Рис. 3 (b) сделана вставка собственной энергии электрона впропагатор. Двойные сплошные линии обозначают электрон в поле ядра (картина Фарри),волнистые линии обозначают поглощенные, испускаемые и виртуальные фотоны.1s~kf , ~ef1s~kf , ~efnpnpnp~ki, ~ei~ki , ~ei1s1sa)b)eгде En дираковские энергии, γµ матрицы Дирака, A~k,~векторный потенциал электромагµ нитного поля, ~e вектор поляризации, ~k волновой вектор и ω = ~k частота фотона, индексыi, fобозначают поглощенный и испущенный фотон соответственно. Суммирование в (2.43) происходит по всему дираковскому спектру. Из закона сохранения следует что k~f = k~i .Для процесса резонансного рассеяния частота фотона ωi = ωf близка к разнице энергийдвух атомных состояний.

В случае резонанса на np состоянии ωi ' Enp − E1s . Оставляятолько один резонансный член в сумме по n в выражении (2.43) приходим к!∗ ~kf ,~efγ µ Aµ(2)scU1s(np) = e2(~k ,~e )γ µ Aµ i inp1s1snpωf + E1s − Enp.(2.44)Из выражения (2.44) видно что в резонансном приближении амплитуда рассеяния факторизуется на две части описывающие излучение и поглощение. В зависимости от тогокакой процесс должен быть описан, энергетический знаменталь приписывается или к поглощению или к излучению.

В частности, амплитуда излучения может быть записанаследующим образом!∗ ~kf ,~efγ µ AµemUnp1s=e1snpωf + E1s − Enp.(2.45)Нерезонансные поправки в резонансном приближении, впервые обсуждались в [25] инедавно рассматривались в работах [64,65]. Роль этих поправок оказалось незначительнойв большинстве случаев.