Диссертация (Квантовая электродинамика многофотонных переходов в атоме водорода и многозарядных ионах), страница 4

Задача суммированияв этом случае сводится к решению соответствующего секулярного уравнения и нахождению линейных коэффициентов разложения затравочной волновой функции по базису(см. [59]).Глава 2. Неразделимость "чистого" многофотонного икаскадного вкладов в многофотонные процессыв атомах2.1Вероятность двухфотонного распада: формализм S-матрицыВ этой главе рассматривается проблема неразделимости "чистого" многофотонного икаскадного вкладов в многофотонные процессы в атомах.

Ранее невозможность однозначной разделимости этих вкладов была продемонстрирована в работе [26] на примере двухфотонного перехода 3s − 1s. Однако, в [26] не рассматривалась калибровочная инвариантность предложенного метода. В нашей работе [27] были проведены расчёты аналогичные [26] для двухфотонного перехода 3s−1s с повышенной точностью для двух калибровок.Кроме того в работе [48] была продемонстрирована неразделимость "чистого" и каскадного вкладов на примере двухфотонного 4s − 1s перехода.Амплитуда вероятности двухфотонного распада A → A0 + 2γ соответствует S матричному элементу:hA0 |S^(2) |Ai = e2Zd4 x1 d4 x2 ψ̄A0 (x1 )γµ1 A∗µ1 (x1 )S(x1 x2 )γµ2 A∗µ2 (x2 )ψA (x2 ) ,(2.1)где S^(2) - S -матрица второго порядка, e - заряд электрона, ψA (x) = ψA (~r)e−iEA t - волноваяфункция атомного электрона, являющаяся решением уравнения Дирака, EA - дираковскаяэнергия атома.

ψ̄A0 (x) = ψA† 0 γ0 - дираковски сопряженная функция, ψA† 0 означает эрмитовосопряжение, γµ = (γ0 , ~γ ) - матрицы Дирака. Волновая функция фотона Aµ (x) записывается16следующим образом:~Aµ(~e, k) (x)r=2π (λ) i(~k~r−ωt)e e=ω µr2π (λ) −iωt (~e, ~k)e eAµ (~r ) ,ω µ(2.2)где e(λ)четырёх-вектор поляризации фотона, k = (~k, ω) - волновой четырёх-вектор фотоµна (~k -волновой вектор фотона, ω = |~k| его частота), x ≡ (~r, t) - четырёх-вектор координат(~r, t - пространственные и временная координаты), а λ обозначает тип фотона (электрический или магнитный). Описывая реальные, т.е.

поперечные, фотоны, мы можем записатьравенство:γµ e(λ)e (λ) α~,µ =~(2.3)где ~e (λ) - вектор поляризации фотона, α~ = γ0~γ - α-матрицы Дирака. Наконец, S(x1 x2 ) - фейнмановский пропагатор атомного электрона. В картине Фарри разложение пропагаторапо собственным функциям гамильтониана Дирака выглядит следующим образом:1S(x1 x2 ) =2πiZ∞dω1 eiω1 (t1 −t2 )−∞X ψn (~r1 )ψ̄n (~r2 ),En (1 − i0) + ω1n(2.4)где суммирование проводится по всему дираковскому спектру электронных состояний вполе ядра.

Амплитуда перехода UA0 A определяется из соотношения:(2)hA0 |S^(2) |Ai = −2π iδ (ω + ω 0 − EA + EA0 ) UA0 A ,(2.5)где UA0 A - амплитуда процесса, а частоты ω, ω0 соответствуют двум излученным фотонам.2Вероятность перехода не может быть определена непосредственно из hA0 |S^(2) |Ai , таккак в этом случае мы получим квадрат δ -функции. Стандартная процеда состоит в следующем: мы должны выразить одну из δ - функций, возникающих в (2.1) после интегрирования по времени t через интеграл Фурьеδ(E) =12πZ∞−∞eiEt dt .(2.6)17Формально ограничим интегрирование по времени интервалом (−T /2, +T /2), тогда вместо(2.6) получаем1δT (E) =2πT /2ZeiEt dt .(2.7)−T /2Умножая δT (E) на δ -функцию δ(E) приходим к результату:δ(E)δT (E) = δ(E)δT (0) = δ(E)T.2πТаким образом, вероятность процесса пропорциональна времени наблюдения T .

Естественно ввести вероятность перехода в единицу времени. По определению(2γ)WA0 A = limT →∞21 0 ^(2) (2) 2hA |S (T )|Ai = 2π UA0 A δ (ω + ω 0 − EA + EA0 ) ,T(2.8)где (. . . )A0 A обозначает матричный элемент hA0 | . . . |Ai с волновыми функциями конечного†ψAr)0 (~и начального ψA (~r) состояний, соответственно.Если конечное состояние системы принадлежит сплошному спектру (как в нашем случае, когда есть излученные фотоны) дифференциальная вероятность перехода определяется какd~k d~k 0 (2) 2(2γ)dWA0 A (~k, ~e) = 2π UA0 A δ (ω + ω 0 − EA + EA0 ),(2π)3 (2π)3(2.9)Используя формулы (2.1) и (2.9) для двухфотонного перехода, интегрируя по временами частоте в электронном пропагаторе и учитывая перестановочную симметрию фотоновдля процесса двухфотонного излучения, находим(2)UA0 A ~∗~∗~∗~∗α~Aα~Aα~Aα~AXX0000~~~~2πe ~e,k A0 n~e ,k nA~e ,k A0 n~e,k nA=√+En − EA + ω 0E−E+ωωω 0 nnAn2(2.10)где A~ ~e,~k = ~e ei~k~r .В частности, нас интересуют двухфотонные распады ns-уровней в атоме водорода.

Вэтом случае атомные электроны можно описывать нерелятивистски, т.е. с помощью уравнения Шрёдингера. В этом параграфе мы остановимся на 2s − 1s двухфотонном переходе(n = 2), когда каскад отсутствует. В нерелятивистском пределе (см. например [60]) послетого как произведено интегрирование по частоте ω0 одного из фотонов, суммирование по18поляризациям, а также интегрирование по направлениям вылета фотонов, мы получаемфункцию распределения вероятности по частоте фотона:dWns,1s (ω) =8ω 3 (ω0 − ω)3 42e |S1s,ns (ω) + S1s,ns (ω0 − ω)| dω ,27πS1s,ns (ω) =X hR1s |r|Rn0 p ihRn0 p |r|Rns iEn0 p − Ens + ωn0 pZ∞hRn0 l0 |r|Rnl i =,r3 Rn0 l0 (r)Rnl (r)dr ,(2.11)(2.12)(2.13)0где ω0 = Ens − E1s , Rnl (r) представляет радиальную часть нерелятивистской волновой функции (решение уравнения Шредингера), а Enl - энергия атомного электрона.

Выржаениедля вероятности перехода записано в форме "длины". Подробно калибровочная инвариантность двухфотонных переходов в нерелятивистском пределе была рассмотрена в [61].Вероятность распада в единицу времени может быть получена после интегрирования(2.11) по частоте ω:Wns,1s1=2Zω0dWns,1s (ω).(2.14)0В случае n = 2 каскад отсутствует, функция распределения (2.11) регулярна, и интеграл(2.14) сходится. Значение вероятности в единицу времени хорошо известно и равно W2s,1s =24.7548 mα2 (αZ)6 p.e. = 8.229 c−12.2[6].Многофотонные распады при наличии каскадовВ случае каскадных переходов (n > 2), отдельные слагаемые в (2.12) становятся сингулярными и интеграл (2.14) расходится.

Эта расходимость имеет физическое происхождение: излученный фотон попадает в резонанс. Следовательно, расходимость может бытьустранена лишь введением ширины этого резонанса. Эта же ситуация была рассмотренав [23] для МЗИ. Следуя выкладкам в [23] (смотри также [26]), мы должны выделить резонансные члены (соответствующие каскаду) в сумме по всем промежуточным состояниям(2.12) и применить процедуру Лоу [25] для регуляризации соответствующих выраженийв окрестности частоты резонанса. Метод Лоу [25] для вывода контура линии заключает-19ся в суммировании приводимых собственноэнергетических диаграмм, которое приводитв геометричской прогрессии и появлению ширины уровня в энергетическом знаменателе. Кроме того в работе [46] лоренцевский контур выводился в рамках нерелятивистскойКЭД. Подробное описание процедуры регуляризации в рамках КЭД будет приведено в§2.3.В случае перехода 3s−1s интегрирование по частоте на промежутке [0, ω0 ] в (2.14) должно быть разбито на несколько подпромежутков (Рис.

(1)): пять в случае 3s → 1s+2γ перехода. Первый интервал начинается от ω = 0 до левой границы второго интервала II. Последний охватывает окрестность первого резонанса, соответствующий частоте ω = E3s − E2p .Внутри интервала II резонансное слагаемое n1 = 2p должно быть выделено из суммы повсем промежуточным состояниям и заменено выражением с регуляризованным энергетическим знаменателем. Третий интервал III распространяется от правой границы второгоинтервала II до левой границы четвёртого IV, последний в свою очередь охватывает область резонанса в окрестности частоты ω = E2p − E1s . Внутри четвёртого интервала резонансный член n1 = 2p снова должен быть заменен выражением с регуляризованным энергетическим знаменателем.

Наконец пятый интервал V ограничен левой границей четвёртогоинтервала и максимальной частотой ω0 = E3s − E1s а.е. в случае двухфотонного распада3sуровня в атоме водорода. Отметим, что функция распределения по частоте являетсясимметричной относительно частоты ω = ω0 /2 с 1% точностью (связанной с разницей входящих в знаменатели ширин). Очевидно, что каскадные переходы дают доминирующийвклад в вероятность двухфотонного распада.2γРис. 1: Функция распределения по частоте dW3s−1s(ω)/dω для перехода 3s → 1s + 2γ, делённаяна α6 (α - константа тонкой структуры).