Диссертация (Расчёт характеристик критического поведения и нарушения скейлинга в скалярных моделях квантовой теории поля)

САНКТ–ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТНа правах рукописиПисьменский Артем ЛеонидовичРасчёт характеристик критического поведения и нарушенияскейлинга в скалярных моделях квантовой теории поля01.04.02 — теоретическая физикаДиссертация на соискание учёной степеникандидата физико–математических наукНаучный руководительдоктор физико–математических наукПисьмак Ю. М.Санкт–Петербург — 20162ОглавлениеВведение41 Расчёт асимптотик пропагаторов в логарифмических размерностях с помощью уравнения ренормгруппы161.1 Введение . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161.2 Общее решение уравнения ренормгруппы . . . . . . . . . . .171.3 Вычисление асимптотик . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .201.3.1Асимптотика инвариантного заряда . . . . . . . . . .221.3.2Асимптотика пропагатора . . . . . . . . . . . . . . . .251.4 Теория φ3 . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .301.5 O(N )-симметричная теория φ4 . . . . . . . . . . . . . . . . .321.6 Теория φ6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .391.7 Обсуждение результатов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .412 Трехпетлевый расчёт критического индекса Фишера η теории φ3 методом конформного бутстрапа452.1 Введение . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .452.2 Метод конформного бутстрапа для теории φ3 . . . . . . . . .452.3 3-петлевой расчёт критического индекса теории φ3 . . . . . .473 Расчёт 4-петлевой поправки к критическому индексу Фишера η теории φ3 методом конформного бутстрапа5733.1 Проведение расчёта . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .573.2 Результат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87Основные результаты и выводы89A Приложения к Главе 193A.1 Выражения для инвариантного заряда и пропагатора в терминах коэффициентов разложения в ряд теории возмущений beta-функции, аномальной размерности поля и оператора собственной массы. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .93A.2 Рекуррентные соотношения для диаграмм γ1 и γ2 . . . . . . . 107B Приложения к Главе 3B.1 Метод расчёта диаграмм Gn110. . . . . . . . . . . . . . . . . . 110B.2 Диаграммы с конечными вкладами при d = 6 . . . . . . . . . 111Литература1144ВведениеАктуальность темы. В настоящее время квантово-полевые методыактивно используются в теории критического поведения как статических,так и динамических систем [1, 2]. Как показывает эксперимент, критические явления характерны для многих систем жидкость-пар и ферромагнетиков [2].

Для них существует критическая температура, при которойпропадает различие между жидкостью и газом, а ферромагнетик становится парамагнетиком. Впервые существование критической точки обнаружил Эндрюс в экспериментах с углекислым газом [3]. Чуть позже Ван-дерВаальсом [4] и Пьером Вейссом [5] были предложены уравнения состоянияреального газа и ферромагнетика, которые используются и в настоящеевремя для описания систем газов, жидкостей, жидкость-пар в окрестностифазового перехода.Наиболее важным достижением физики критических явлений явилось открытие универсальности, которая проявляется в том, что различные системы вблизи критической точки обладают одинаковыми количественными характеристиками.

Её первое теоретическое объяснение былопредложено в 1937 году Л. Д. Ландау [6].Исследования квантовополевых моделей показывают, что для большинства систем вблизи критической точки наблюдается масштабная инвариантность (скейлинг), которая проявляется, в частности, в том, чтопарная корреляционная функция Грина (пропагатор) является степенной5функцией координат. Одной из важнейших задач квантовой теории поляявляется расчёт показателя этой степени (критического индекса). В некоторых исключительных случаях скейлинг может нарушаться, что приводит к появлению дополнительных логарифмов у степенной асимптотикипропагатора.

Проблема нарушения скейлинга не может быть решена потеории возмущений, так как каждый следующий член ряда оказываетсяболее значимым, чем предыдущий. Хоть интерес к подобного рода проблемам возник давно [7], он не утратил актуальность и по настоящее время.Большое значение для создания современной теории критического поведения имели исследования модели Изинга [8], и, в частности, полученныев 1941-1942 годах для её двумерной версии точные аналитические результаты: найденное Крамерсом и Ванье значение критической температуры дляквадратной решетки [9] и результат расчёта Онзагера статсуммы в нулевомвнешнем поле [10].

Они показали, что теория Ландау не является точной итребуется её модификация. В качестве её современной версии можно рассматривать предложенный Вильсоном ренормгрупповой подход [1, 2], который позволил использовать для количественного описания критическихявлений мощный математический аппарат квантовой теории поля.На протяжении последних десятилетий наблюдается все возрастающий интерес к вычислениям ренормгрупповых характеристик квантовополевых моделей [11–13]. Он обусловлен не только увеличивающейся точностью экспериментальных данных в области физики критических явлений,но и необходимостью проверки новых теоретических подходов и разработки новых методов, касающихся нетеоретиковозмущенческих проблем.Ренормгрупповой анализ Стандартной модели оказался необходимым, в6частности, при исследовании свойств бозона Хиггса, открытого на Большом Адронном Коллайдере в 2012 году.

В последнее время также значительно возрос интерес к исследованию конформной теории поля, котораяиспользуется как при изучении критических явлений, так и в теории точно интегрируемых моделей [14–24]. Хотя для ренормгрупповых расчетовв настоящее время уже используются компьютерные программы [25, 26],тем не менее активно разрабатываются и аналитические методы, которыепо-прежнему не утратили своей актуальности. Приведённые в диссертациирезультаты могут внести существенный вклад в дальнейшее развитие эффективных аналитических подходов, как для исследования критическихявлений, так и для нетеоретиковозмущенческих расчётов в квантовой теории поля.Степень разработанности темы исследования. Для теоретических исследований критических явлений было разработано несколько методов. Большие успехи при расчетах критических индексов были достигнутыс помощью уравнений ренормгруппы [1], [2].

Преимущество этого подходав том, что он дает возможность проводить частичные суммирования бесконечного числа членов ряда теории возмущения.Группа ренормировочных преобразований в квантовой теории полявпервые была рассмотрена в 1953 году Штюкельбергом и Петерманом [27].В 1954 году Гелл-Манн и Лоу [28] провели расчёты ведущих вкладов ультрафиолетовой асимптотики функции Грина в квантовой электродинамике. Как показали Боголюбов и Ширков [29,30], эти расчёты были фактически основаны на использовании группы ренормировочных преобразований.В их работах была разработана существенная часть формализма метода ре-7нормгруппы, который в усовершенствованном в работах Вильсона виде [1]используется и в настоящее время.Уравнения ренормгруппы оказались очень эффективны для расчётовультрафиолетовых и инфракрасных асимптотик функций Грина.

Эта задача становится нетривиальной в том случае, когда вклады в асимптотикув члены ряда теории возмущения не компенсируются малостью константывзаимодействия и требуется учёт вкладов во всех её порядках, т.е. проведение частичного суммирования ряда теории возмущения. Использованиеметода ренормгруппы даёт возможность решить такие задачи.Кроме ренормгруппового подхода, для исследования асимптотик масштабно и конформно инвариантных теорий поля существуют альтернативные подходы — методы уравнения самосогласования и конформного бутстрапа [31].

Их преимущество заключается в сокращении количества диаграмм Фейнмана, которые необходимо учесть для получения результата.Для расчётов критических индексов уравнения конформного бутстрапавпервые были использованы в работе Г. Мака при вычислении главногоприближения аномальной размерности поля в теории взаимодействия φ3 ипоказано, что результат совпадает с ренормгрупповым [31]. Уравнения самосогласования были эффективно использованы в работах А. Н.

Васильева, Ю. М. Письмака, Ю. Р. Хонконена [32,33] для расчёта 1/n-разложениякритических индексов. Они были получены из скелетных уравнений Дайсона для пропогаторов отбрасыванием в них затравочных вкладов [34]. Такбыли найдены коэффициенты η2 и ν2 1/n-разложений индексов η и ν соответственно в O(N )-симметричной теории φ4 произвольной размерности.Расчёт коэффициента η3 для этой модели был проведён А. Н. Ва-8сильевым, Ю. М. Письмаком и Ю. Р. Хонконеном в работе [35] методомконформного бутстрапа.

Для этого введением вспомогательного скалярного поля ψ, модель φ4 -взаимодействия была представлена в виде теориидвух полей со взаимодействием Юкавы φ2 ψ. Используемые в работе [35]уравнение конформного бутстрапа были получены из скелетных уравнений для тройных вершин и пропагаторов в этой модели отбрасыванием затравочных вкладов. Метод уравнения самосогласования был использовандля расчёта индекса, определяющего инфракрасную асимптотику глюонного пропагатора поля Янга - Миллса [36].

Методы ренормгруппы успешноприменяются для расчёта не только статического, но и динамического критического поведения [2, 13].Для нахождения асимптотических характеристик квантовополевыхмоделей в рамках ренормгруппового подхода, метода уравнения самосогласования и конформного бутстрапа необходимо проведение расчётов Фейнмановских диаграмм с требуемой точностью.