Диссертация (Интегрируемая модель космологии со скалярными полями и её расширение в РТ-симметричной теории), страница 7

2 (0) = 2 (2⇡). Это позволяет нам фиксировать C = 1/2, тогда получимrri{!x2{!22V1 x1m ~⌫1 =, X=e2(4.27)1 = c1 e 1 Ki⌫1 (X),3 m1 ~~ m1и1X{!z(Z/2)2nm2 ~Ii⌫2 (Z) = c2,2 = c2 en!(n+i⌫+1)2n=0r2{!2 2V2 i z⌫2 =, Z=e2(4.28)m2 ~~ m24.4Квазиклассическое приближениеКак было сказано, мы предполагали, что переменная iz - вещественнаяв классической теории, но чисто мнимая в квантовом случае, иначе потенциал - не периодический. Такое противоречие неизбежно возникает в62квазиклассическим случае, т.е. сравнение квантовой теории с классическим решением кажется невозможно. Давайте, посмотрим, для квинтэссенции, все ли еще нормально.

Подставив ВКБ анзацW KB1i= A1 e ~ S1 ,A1 , S1 2 Rв (4.25) при C = 1/2, получим квазиклассическое действиеp{!6{ 1 ! 2 72m1 V1 exS1 =±⌥m13m1rp✓◆! 2{ 1! { 1⌥arcCoth pm13{ 1 ! 2 12m1 V1 exи амплитудуc1A1 = q42ex m1 V1 16 { 1 ! 2(4.29)(4.30)(4.31)Но для РТ-ома, после подстановки ВКБ анзацаW KB2получим уравнение2V2 A2 eiz2{!~Ȧ2i= A2 e ~ S2 ,m2 A2 Ṡ22 + i⇣A2 , S2 2 R(4.32)⌘~m2 A2 S̈22{!A2 Ṡ2 + 2~m2 Ȧ2 Ṡ2 = 0(4.33)Если iz чисто мнимая, тогда уравнение можно разделить на две части:вещественную и мнимую2V2 A2 cos(z)2V2 A2 sin(z) + ~m2 A2 S̈22{!~Ȧ2m2 A2 Ṡ22 = 02{!A2 Ṡ2 + 2~m2 Ȧ2 Ṡ2 = 0(4.34)(4.35)но решение этого уравнения кажется очень сложным. Это значит, чтотакое разделение уже не работает. Тогда, разделяем по степеням ~, иполучимm2 A2 Ṡ22 2i{!A2 Ṡ2 + 2V2 A2 eiz = 0(4.36)затем решаемS2 =2{!~Ȧ2 + 2i~m2 Ȧ2 Ṡ2 + i~m2 A2 S̈2 = 0(4.37)pi{!z 2 { 2 ! 2 2m2 V2 eiz⌥±m2m2✓p 2 2◆2{!{ !2m2 V2 eiz±arctanm2{!(4.38)63иc1A2 = p4|2eiz m2 V2(4.39){2!2|Однако, как мы уже заметили, если переменная iz - чисто мнимая, членS2 , вообще говоря, не вещественный т.е.

мы уже не можем утверждать,что член S2 является фазой.4.5Гауссовский пакетВ окрестности классического решения, для которого iz - вещественное,гауссовский пакет формально можно построить,Zi(↵, x, z) = d! A(!, !¯ ) (x, z)e ~ !↵(4.40)где (x, z) =W KB(x) 2W KB (z),1и1p 1/2 expA(!, !¯) =(~ ⇡)(! !¯ )22~2 2(4.41)и 2W KB (z) уже найдены в предыдущем разделе. Теперь разложим S = S1 + S2 в точке !¯W KB(x)1S(!) = S̄ + @! S̄(!1!¯ ) + @!2 S̄(!2!¯ )2 + . . .после интегрирования (по методу перевала), получаем"!#p p224↵ + @! S̄2 ⇡ Ā1 Ā2↵¯! + S̄exp i+ ...=q2 ~@ 2 S̄ + 2i~212!i @ S̄~(4.42)(4.43)!⇥⇤Если 2 ~ Im @!2 S2 + 1 > 0, см. рис.(4.3). Как показано на рисунке, приувеличении ↵, пакеты исчезают.64Рис.

4.3: Гауссовский пакет для гибридной модели. В каждой строке слева направо↵ растет, в первой строке показаны пакеты с ! = 1, во второй строке пакеты - снулевой величиной !, а в последней строке ! равно единице.65ЗаключениеВ настоящей диссертации проведено исследование геометродинамики соскалярными полями и ее расширение в РТ-симметричной теории в классической и квантовой теории. Исследования проводились в рамках приближения минисуперпространства.• Используя интегралы движения на связях как калибровочных условиях, решены уравнения Фридмана с тремя типами полей Лиувилля.

Решения являются траекториями в минисуперпространстве,которые неявно зависят от времени. Используя это упрощение проведены сопоставления с волновыми пакетами.• Построена интегрируемая модель с несколькими скалярными полями, при помощи специальной кинетической матрицы. Такая кинетическая матрица обеспечивает возможность разделения переменных, так что, фактически, остается рассмотреть лишь модельс одним полем.• Применена идея РТ-симметрии: рассматривается квантовая геометродинамика с двумя скалярными полями, одно из них – квинтэссенция, другое – РТом. При периодических граничных условиях,получен вещественный спектр энергий.66ПриложениеРавномерно асимптотическое разложение функции БесселяВ этом разделе приведен список асимптотических разложений функцииБесселя, которые использованы в данной диссертации.Функция Ханкеля(1)Hi⌫ (⌫z)p = (1 + z 2 )⇠r1/2⌫⇡2 1/2⇠(z) = (1 + z )r+ ln⇡z1 + (1 + z 2 )1/2⌫⇡⇡(4.44)(4.45)n 12 e 2 +i 4 i⌫⇠ X ( 1)s Us (p)⇠⇡⌫ (1 + z 2 )1/4 s=0(i⌫)sZ pp21Us+1 (p) = (1 p2 )Us0 (p) +(1 5q 2 )Us (q) dq28 0(2)Hi⌫ (⌫z)U0 = 1n 12 e 2 i 4 +i⌫⇠ X Us (p)⇡⌫ (1 + z 2 )1/4 s=0 (i⌫)s(4.46)(4.47)Функция Дунстера1hFi⌫ (z) =e2⌫⇡2(1)Hi⌫ (z)67+e⌫⇡2(2)Hi⌫ (z)i(4.48)Fi⌫ (⌫z) ⇠r1hGi⌫ (z) =e2i2(1 + z 2 )⇡⌫1/4"⌫⇡2(1)Hi⌫ (z)Fi⌫ (⌫z) ⇠2(1 + z 2 )⇡⌫1/4"(2)Hi⌫ (z)i(4.49)nX( 1)s U2s (p)⇡/4)+2s⌫s=0cos(⌫⇠nX( 1)s U2s+1 (p)⇡/4)⌫ 2s+1s=0+ sin(⌫⇠re⌫⇡2nX( 1)s U2s (p)⇡/4)+2s⌫s=0sin(⌫⇠nX( 1)s U2s+1 (p)⇡/4)⌫ 2s+1s=0cos(⌫⇠# (4.50)# (4.51)Функция БесселяJi⌫ (⌫z) ⇠ri1 h (1)(2)Ji⌫ (z) =H (z) + Hi⌫ (z)2 i⌫2(1 + z 2 )⇡⌫1/4"cos(⌫⇠nX( 1)s U2s (p)i⌫⇡/2)+2s⌫s=0⇡/4+ sin(⌫⇠(4.52)⇡/4#nsX( 1) U2s+1 (p)i⌫⇡/2)⌫ 2s+1s=0(4.53)Функция Макдональда⌫⇡/2⇡eKi⌫ (⌫z) ⇠⌫ 1/3✓4⇣1 z2◆1/4 "Ai( ⌫2/3⇣)nX( 1)ss=0As (⇣)+⌫ 2snAi0 ( ⌫ 2/3 ⇣) Xs Bs (⇣)+(1)⌫ 2s⌫ 4/3s=02 3/21 + (1 z 2 )1/2⇣ (z) = ln3z68(1z 2 )1/2#(4.54)(4.55)Классические сингулярностиПроблема космологической сингулярности является одной из трех проблем, наиболее важных для теоретической физики и долго ожидавшихрешения [39].

В этом обзоре рассматриваются классические сингулярности в космологии.Мы сосредоточимся на плоской космологии Фридмана с метрикойds2 = dt2(4.56)a2 d~x2за исключением большого сжатия.Первое уравнение Фридмана с подходящей нормировкойH 2 = ⇢,H=ȧa(4.57)и второе уравнение ФридманаḢ =3(⇢ + p),23Ḣ + H 2 =23p2(4.58)Уравнение непрерывности(4.59)⇢˙ + 3H(⇢ + p) = 0безразмерный параметр yравнения состояния (УС)w=p(⇢)⇢(4.60)Все неисчезающие геометрические величиныi0jsR00i=R=R00 =✓ä ȧ26+a a2ȧ iij = H j,a0Ri0j= aä ij ,=ä s2 si = (Ḣ + H ) i ,aä3 = 3(Ḣ + H 2 ),◆a=6(Ḣ + 2H 2 ),690ij= aȧ0Rij0=sR0i0=ij ,aä ij ,ä s=a iRij = (äa + 2ȧ2 )sRijk= ȧ2sj ik(Ḣ + H 2 ) is ,ij ,sk ij(4.61)0-Класс: Большой Взрыв, Большое СжатиеБольшой Взрыв УС предполагается линейнымw&p = w⇢,(4.62)1тогда из динамических уравнений, находим космологический фактор21a / (t + t0 ) 3 |1+!| ,(4.63)t0 ⇠ constдля простоты выберем t0 = 0 как начальный момент, где a = 0H⌘тогда получится, чтоȧ 21=! 1,a 3 |1 + !|t⇢ ! 1,(4.64)as t ! 0(4.65)as t ! 0в соответствии с уравнением Фридмана.Ḣ =и21!3 |! + 1|t21,22!Ḣ H 2 =!33t2 (! + 1)2В итоге, в точке Большого Взрываp=t = 0,a = ȧ = 0,⇢ ! 1,|p| ! 1,(4.66)as t ! 01,as t ! 0H ! 1,Ḣ ! 1(4.67)(4.68)Большое Сжатие Большое сжатие возникает в закрытой модели.Подставим отношение плотность с космологическим фактором⇢ = ⇢0 a3(1+!)(4.69)в закрытую модель ФридманаH2 = ⇢1a2(4.70)для простоты, считаем„ что в состав вселенной входит только излучение,т.е.

параметр w = 1/3. Тогда получаемpa2 + (t + t0 )2 = ⇢0 , t0 =⇢0(4.71)70где мы уже использовали начальное условие a(t = 0) = 0. Заметим, чтокроме t = 0, есть еще и другой момент, в котором a исчезает.pa ! 0, as t ! 2 ⇢0(4.72)Эта точка известна как Большое Сжатие.В итоге, имеемpt ! 2 ⇢0 , a ! 0, H ! 1, Ḣ ! 1,⇢ ! 1,p!1(4.73)I-Класс: Большой РазрывМы предполагаем что УС имеет линейный вид и w .w.p = w⇢,1(4.74)1тогда, из динамических уравнений находим космологический фактор21a / (t + t⇤ ) 3 1+! ,t⇤ ⇠ const(4.75)Поскольку мы считаем, что Вселенная расширяется, если 1 + ! < 0, тоинтервал времени лучше выбрать такойt 2 ( 1, 0),and t⇤ > 0(4.76)в этом случае, мы имеемa / (t⇤|t|)2 13 |1+!|(4.77)и |t| = t⇤ является точкой сингулярности, в которой космологическийфактор расходится.

Выше, производные aȧ / (t⇤ä / (t⇤|t|)|t|)12 13 |1+!|(4.78)22 13 |1+!|(4.79)тогда ȧ и ä оба также расходятся в точке |t| = t⇤ .В итоге, мы имеем, для p + ⇢ < 0t ! t⇤ ,a ! 1, ȧ ! 1,Ḣ ! 1,⇢ !1,H ! 1,|p| ! 1(4.80)точка t⇤ известна как большой разрыв, вследствие нарушения условияэнергодоминантности ⇢ + p > 0.71II-Класс: Большое ТорможениеКак нелинейный пример, изучим здесь модель с анти-газом Чаплыгина,УС имеет видAp= , A>0(4.81)⇢Если A < 0, то такая материя является газом Чаплыгина. Во-первых,мы можем найти плотность энергии из уравнения непрерывностиrBB⇢=A,B>0,A>0(4.82)a6a6космологический фактор имеет одно критическое значениеr6 Bac =A(4.83)В этой точке, плотность энергии стремится к нулю. Тогда согласно динамическому уравнению, мы имеемH ! 0,p ! 1,Ḣ ! 1(4.84)С другой стороны, интегрирование дает нам эволюцию космическогофактора✓◆Zda2a3/21 1 5 a6 At + t0 =, ; ;(4.85)p = p 2 F1a ⇢ 34B4 4 4 Bтогда в критической точке✓ ◆ ✓ ◆235tc + t0 = p(4.86)4434Aвремя конечно.В итоге, имеемt ! tc ,a ! ac , ȧ ! ȧc ,Ḣ ! 1,⇢ !0,H ! Hc ,|p| ! 1(4.87)III-Класс:Такая сингулярность получается, когда космологический радиус конечен, а его производная по времени, хаббловская переменная, плотностьэнергии и давление расходятся.

Примером служит система в [42]⇢+p=A⇢ ,726= 1(4.88)Здесь параметры A исти получаемвещественные. Тогда из уравнения непрерывно⇢ = ⇢0 1 + 2B(1a) lna01/(1)(4.89)где a0 и ⇢0 начальные условия и B = A⇢0 1 . ⇢ расходится при конечномa⇤ . Это значит, что > 1, B > 0 и✓◆1a⇤ = a0 exp(4.90)3B(1)B > 0 является условием расширения вселенной. Тогда из уравненияФридмана находим, что H расходится и давление расходится, потомучтоp = ⇢(1 + A⇢ 1 )(4.91)Зависимость от времени формулы плотности можно вычислить из следующего интегралаZd⇢t + t0 =(4.92)3A⇢ +1/2При 6= 1/2, получимt + t0 =2⇢3A(1+1/2(4.93)2 )Посколькуp= (1 + A⇢⇢индекс состояния тоже расходится, аw⌘Ḣ =1),>133(⇢ + p) = A⇢ ,22(4.94)(4.95)поэтому она тоже расходится.