Диссертация (Интегрируемая модель космологии со скалярными полями и её расширение в РТ-симметричной теории)

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙУНИВЕРСИТЕТЧэнь ЛаньphИнтегрируемая модель космологии соскалярными полями и её расширение вРТ-симметричной теории01.04.02 – Теоретическая физикаДИССЕРТАЦИЯна соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНаучный руководитель:д-р физ.-мат. наук, проф.Андрианов Александр АндреевичСанкт-Петербург2016"Жизнь человека точно так же, как эти струны банджо:когда натянуты, на них можно играть; если можно на нихиграть, этого и достаточно."� Ши Тешэн.

�Жизнь как натянутая струна� 1985.1ОглавлениеВведение41 Геометродинамика и неэрмитова теория1.1 Теория относительности как калибровочная теория1.2 Геометродинамика, АДМ-формализм . . . . . . . .1.3 Первичное квантование континуальной системы .

.1.4 Приближение минисуперпространства . . . . . . . .1.5 РТ-симметричная квантовая механика . . . . . . . .1.6 Псевдо-эрмитовая теория . . . . . . . . . . . . . . .1.7 Темная энергия, проблема сингулярности . . . . . .............................2 Модель космологии с метрикой ФРУ и одним скалярнымполем2.1 Формулировки моделей . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .2.2 Калибровочные условии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3 Квинтэссенция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.1 Классическая теория . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.2 Квантовая Теория . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .2.3.3 ВКБ предел, сравнение с классическим решением .2.3.4 ВКБ приближение, ВКБ пакет . . . . . . . . . . . .2.4 Фантом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4.1 Классическая Теория . . . . . . . . . . . .

. . . . .2.4.2 Квантовая теория . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4.3 Равномерное асимтотическое разложение функцииБесселя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4.4 Сравнение с классическим решением . . . . . .

. . .2.4.5 ВКБ волновой пакет . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.5 PT-ом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .210111213141620212323252728323436394042434445472.5.12.5.22.5.3Классическая теория с комплексным потенциаломЛиувилля .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Наглядный классический РТ-ом . . . . . . . . . . . 50Квантовая теория . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503 Интегрируемая модель космологиилярными полями3.1 Классическая модель . . . . . . . . .3.2 Квантовая теория . .

. . . . . . . .3.3 Квазиклассическое решение . . . . .с несколькими ска-53. . . . . . . . . . . . . 53. . . . . . . . . . . . . 56. . . . . . . . . . . . . 574 Гибридная модель космологии с PT-симметричным комплексным потенциалом4.1 РТ-симметричные свойства динамических переменных .4.2 Классическое решение . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3 Квантовая теория . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.4 Квазиклассическое приближение . . . . . . . . . . . . . . .4.5 Гауссовский пакет . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .585860626264Заключение66Приложение67Равномерное Асимптотическое Разложение Функции Бесселя . 67Классические Сингулярности . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . 69Благодарности753ВведениеАктуальность темы исследования. С одной стороны, после наблюдения бозона Хиггса [49], и первого прямого детектировании гравитационных волн коллаборациями LIGO и VIRGO [51], приходит новая эпохапост-стандартной модели, в которой квантование гравитации становитсяодним из наиболее важных вопросов в теоретической физике, а квантовая космология, представляющая собой одно из применений квантования гравитации, вызывает интересные концептуальные, математическиеи физические вопросы.

Эта теория применяет квантовую физику к целойВселенной, она возникла в результате понимания, что квантовая физикадолжна применяться ко всему в природе, в том числе и ко Вселенной[21].Мы знаем что, на сегодняшний день, инфляционная стадия развитияВселенной принята как ранний период во вселенной, но, чтобы возникла подходящая инфляция, Вселенная должна иметь некоторые необходимые доинфляционые начальные условия [28, 31]. Это и есть вопросначальных условий, квантовая космология, как один из кандидатов, отвечает на него.Кроме того, при исследовании темной энергии, появляются новые типы сингулярностей в развитии Вселенной, напр.

большой разрыв, большое торможение, и т. д., которые отличаются от большого взрыва ибольшого сжатия [40]. Это и есть новый вопрос сингулярностей. Квантовая космология предлагает инструмент, чтобы рассматривать квантовое состояние Вселенной при наличии сингулярностей, кроме того изучение квантового эффекта дает возможность дополнить классическоеуравнение Фридмана, так что в итоге можно исключить классическуюсингулярность [41].В соответствии с настоящими данными [50], в уравнении состоянияВселенной, описывающем связь давления p с плотностью материи ⇢, его4индекс w = p/⇢ возможно пересекает значение w = 1.

Но одно скалярное поле материи не может реализовать такое явление, это запрещено"no-go"теоремой [48], таким образом, теории со многими полями вызывают большой интерес, особенно, интегрируемые модели [46] .Вселенная как замкнутая система не только образуется квантовыми элементами, но и она сама в целом является квантовым объектомна ранних этапах.

Таким образом, Вселенная является типичным объектом для изучения квантования замкнутой системы, особенно потерькогерентности [24].String theoryPath integralUnificationCovariant approachPerturbativeEffective fieldSingularitiesLQGQuantum GravityInitial conditionReduced phase spaceCanonical approachGeometrodynamicsOther approachDirac quantizationProblem of timeQuantum cosmologyРис. 1: Схема квантовой гравитацииС другой стороны, активно развиваются некоторые обобщения квантовой механики. Бендер К. (C. Bender), Мустафазаде А. (A. Mostafazadeh)со своими соавторами исследовали возможность неэрмитовой квантовойтеории [34, 35], которая утверждает что эрмитовость не является обязательным условием вещественности спектров энергий в квантовой механике.

Эта теория одновременно дает возможность изменить точку зрения на проблему стабильности, например, Гамильтониан с потенциаломV = x4 в PT-симметричной теории имеет положительный дискретныйспектр энергии, и, самое удивительное, авторы показывают, что неэрмитова квантовая механика может иметь вещественный спектр как эрмитова теория, например, теория с потенциалом V = ix3 . Такая идеяможет пролить свет на решение проблемы фантомной материи с индексом уравнения состояния w < 1.Степень разработанности темы исследования. Квантовая космология является применением квантовой теории ко Вселенной в целом[11,18,25,29].

Несмотря на то, что много исследователей сделали большие5вклады в создание квантовой космологии [19], официальная история модели должна начитаться с определения главного динамического уравнения, т.е. уравнения Уилера-ДеВитта, которое получено в 1967-1968 годахв пионерских работах ДеВитта и Уилера [22, 23]. В своей работе Б.

ДеВитт применил каноническое квантование к замкнутой Вселенной Фридмана с веществом, которое не описывается фундаментальным полем. Этопервая модель квантовой космологии в минисуперпространстве. Минисуперпространтво (сокращенно МСП), это - общее название для космологической модели с конечным числом степеней свободы. Центральнымобъектом интереса в квантовой космологии является волновая функциязамкнутой Вселенной, которая инвариантна относительно трехмерныхдиффеоморфизмов и удовлетворяет уравнению Уилера-ДеВитта.После начальных попыток нескольких авторов, в квантовой космологии некоторое время, в 1970-х годах, было затишье .

Однако, она быласнова активизирована в 1980-х годах после работ Джеймса Хартля, Стивена Хокинга и Александра Виленкина. Как и любое функциональноедифференциальное уравнение, уравнение Уилера-ДеВитта имеет бесконечное число решений. Чтобы получить единственное решение, необходимо задать некоторые граничные условия в суперпространстве, поэтому вопрос о выборе соответствующих граничных условий на волновуюфункцию Вселенной стоит очень серьезно. Идея заключается в том, чтотакие граничные условия должны описать возникновение Вселенной изничего, где ничего означает отсутствие пространства и времени. Двумяосновными кандидатами являются предложение Хартля и Хокинга безграниц и туннельное предложение, сделанное Виленкиным [14].Происхождение неэрмитовых теорий имеет разные корни [1,32,33], ноони становятся актуальными только при осуществлении в моделях PTсимметрии[34].

Бендер со своими коллегами показали, что вещественность спектров связана с принципом симметрии относительно отражения пространства-времени, и они утверждали, что этот принцип симметрии может заменить обычное требование эрмитовости Дирака. Мустафазаде предложил другой подход, введя понятие псевдо-эрмитовости.

Онпоказал, что все РТ-симметричные теории являются Р-псевдо-эрмитовыми,т.е. PT-теория принадлежит к одному из классов псевдо-эрмитовой теории. Центральный вопрос псевдо-эрмитовой теории состоит не тольков доказательстве вещественности спектра, но и в нахождении метрического оператора, с помощью которого можно построить норму и эквивалентную эрмитову теорию.6Цели и задачи диссертационной работы. В настоящей работе,мы рассматриваем космологию скалярных полей материи с потенциалами типа Лиувилля, и её квантование в подходе геометродинамики, вкотором космологическое состояние описывается уравнениями УилераДеВитта.В приближении минисуперпространства квантуется метрика Фридмана - Робертсона - Уокера. Построена модель нескольких скалярныхполей с потенциалами Лиувилля и кинетическими членами, в которыевключено специальное смешивание такое, что в конечном итоге можноразделить переменные в уравнении Уилера-ДеВитта и найти его точныерешения в терминах специальных функций.В рамках PT-симметричной теории, также рассмотрена модель с двумя типами полей, в которой одно из полей имеет неэрмитово, но PTсимметричное действие.