Диссертация (Интегрируемая модель космологии со скалярными полями и её расширение в РТ-симметричной теории), страница 6

Поскольку k – отрицательное число, тоэто является моделью сжимающейся Вселенной. Для фиксированногоn мы можем нарисовать траекторию в двухмерном МСПе (a, i ), см.рис.(2.11), а в трехмерном МСПе траектории (a, Re , Im ) просто копируются для дискретного числа n, см. рис.(2.12).2.5.3Квантовая теорияУравнение УДВ в этом случае является{~2 2@12 ↵2i{~ @z @↵~2 m z 2@2 z50V eiz=0(2.171)1.50.51.00.00.5ⅈϕⅈϕ1.00.0-0.5-1.00.00.51.01.52.0-0.5-1.0-0.50.00.51.0Ln(a)aРис. 2.11: Классическое решение РТ-ома с фиксированным числом n.Рис.

2.12: Классическое решение РТ-омаПодставив анзацi= e ~ ↵! (z)получим(2.172){! 2~2 m z 2+ {~!@z@zV eiz = 0(2.173)122кроме того, наложим периодическое условие на волновую функцию (0) =(2⇡), которое поможет нам фиксировать !, а именно, только тогда, когда ! = 0, волновая функция оказывается периодической!!rr2 2V iz2 2V iz= c1 J0e 2 + c2 Y0e2(2.174)~ mz~ mz51Однако, период второго члена 4⇡ и его комбинация с первым членомтоже периодическая по 4⇡ , поэтому мы должны второй член исключить.Рис. 2.13: Периодичность функций БесселяЕсли V - отрицательный, у нас получится0 s10 s12 2|V | iz A2 2|V | iz A= c 1 I0 @e 2 + c 2 K0 @e2~ mz~ mzПо причине, указанной выше, исключим второй членРис. 2.14: Периодичность функций Макдональда52(2.175)Глава 3Интегрируемая модель космологии снесколькими скалярными полямиДля большинства моделей в космологии, приближенные методы, такие,как условия медленного скатывания, метод фазового портрета, хорошоработают.

Однако, для детального исследования моделей, стоит получить строгие решения. В теории одного скалярного поля уже известнынекоторые точно решаемые модели, например, теория с потенциаломЛиувилля.В этом разделе, мы построим интегрируемую модель с несколькимискалярными полями при введении нетривиальных кинетических членов,в которые включено специальное смешивание такое, что, в конечном итоге, можно разделить переменные в уравнении Уилера-ДеВитта и найтиего точные решения в терминах специальных функций.3.1Классическая модельРассмотрим многомерную геометродинамику, лагранжиан которой является01Z2XX˙˙3 ↵˙1a bS = dt N e3↵ @+MabVa e a a A(3.1)2{N2NNaa,bгде a (a = 1, ..., n) набор n-скалярных полей, Mab – n ⇥ n мерная матрица.✓◆6{a bPMab =,=(3.2)abdadb1 + 6{ a da 153Da ненулевые константы и обратная матрицы Mab✓◆da6{1(M )ab =ab +daa b(3.3)Соответствующие импульсы!e=6 3↵ ↵˙e,{ Npea = e3↵XMabb˙b(3.4)NЧтобы решить модель в гамильтоновом формализме, мы можем сначаласделать координатное преобразованиеxa = 6↵ +(3.5)a aи затем построить гамильтониан, как раньше мы делали для одного поля и двух полей, но это несколько сложнее для многих полей, потомучто нужно выразить все первые производные полей через импульсы.Фактически, это возможно реализовать, однако у нас есть еще способпопроще, т.е.

мы сделаем каноническое преобразование для исходногогамильтониана.23XXe = N e 3↵ 4 { p̃20 + 1H(M 1 )ab p̃a p̃b + e6↵Va e a a 5(3.6)122aa,bи каноническое преобразованиеxa = 6↵ +aa,pa =peaa,!=!e6X peaaaТогда новый гамильтониан становится"#XXX{1H = N e 3↵! 2 {!pa +da p2a +V a ex a122 aaaиз которого можно получить канонические уравненияX{!˙ = 3H ⇡ 0, ↵˙ =! {pa6aṗa =xaVa e , ẋa =54{! + da pa(3.7)(3.8)(3.9)Соединяя последние два уравнения, получим1 2ẋa + da Va exa = Ea2формально решение можно выписать в следующем виде"r#EaEaex a =sech2(t + t0 )da Va2(3.10)(3.11)но оно на самом деле содержит все типы полей, например когда da < 0и Va > 0, чтобы сохранить вещественность x, Ea должны выбиратьсяотрицательными, так что"r#|Ea ||Ea |ex a =sec2(t + t0 )(3.12)|da |Va2именно это - решение для фантома.

Другие динамические переменные"r#p{!2EaEapa =tanh(t + t0 )(3.13)dada2и↵ = ↵0 +Xaили↵a ,↵a ="!#r2Ea{Ea!t + ln cosh2(t + t0 )(3.14)dada2{xada✓◆X{! 2daEa =6{ ++ Ca d a ,Ca = 012na↵a =где2Ea!tda(3.15)(3.16)здесь константы Ea могут быть либо положительными, либо отрицательными. На самом деле, имеются еще два типа решений. Когда Ea > 0, ноda , Va < 0, это - фантом с отрицательным потенциалом. И для Ea , Va < 0,но da > 0, это - квинтэссенция с отрицательным потенциалом. Но ониформально не различаются с двумя вышеприведенными решениями.553.2Квантовая теорияУравнение УДВ этой модель"#22 XXX{~ 2~@↵ + {~2 @↵@ada @a2 +V a exa(↵, xa ) = 0 (3.17)122aaaподстановка анзаца(↵,i!↵a) = e ~Y(3.18)a (xa )aпомогает нам разделить переменные✓◆{! 2 1~2+ Ca + i{~!@ada @a2 + Va exa12 n2гдеXCa = 0a=0(3.19)(3.20)aтогда, для Ea > 0, da , Va > 0 и Ea > 0, da < 0, Va < 0, решение будетs!px22|Ea |i{!x22|V|aa1~da Ke2 , ⌫=(3.21)i⌫a = e~ |da |~|da |Для Ea < 0, da < 0, Va > 0 и Ea < 0, da > 0, Va < 0, решение будетs!px22|Ea |i{!x22|V|aa2~da Je2 , ⌫=(3.22)⌫a = e~ |da |~|da |Остальные случаи - нефизические, т.е., Ea , da > 0, Va < 0; Ea , Va > 0,da < 0ss"!!#pxx22|Ea |i{!x22|V|22|V|aaaa3~da22=eJe+Je,⌫=i⌫i⌫a~ |da |~ |da |~|da |(3.23)и Ea > 0, da , Va < 0ss"!!#pxaxa22|Ea |i{!x22|V|22|V|aa4~daI⌫e 2 + K⌫e2, ⌫=a = me~ |da |~ |da |~|da |(3.24)56не являются физическими волновыми функциями, это уже видно в классической модели.

Таким образом, волновой пакет устроен такZYi!↵1 2~= d! A(!)e(3.25)a ba,b3.3Квазиклассическое решениеРассмотрим ВКБ приближениеa= Aa (x) expiSa (x)~(3.26)До точки поворота x < ln[Ea /(da Va )], получаем из (3.19) действие вглавном порядкеp ppp✓◆{x! 2 2EaEa2 2 E a d a V a exSa =±arcCoth p⌥dadadaE a ex d a V a(3.27)где амплитудаc1Aa = p(3.28)4|Ea da Va ex |и полное действие равноS = ↵! +XSa(3.29)aЧтобы сравнить с классическими решениями, нужно просто подставитьклассические решения в@S= 0,@!@S=0@Ca(3.30)тогда получим тривиальные равенства.В качестве альтернативы, мы можем определить фазу из асимптотического поведения функции Бесселя, затем подставить ее во все решения, как мы делали для одного поля.57Глава 4Гибридная модель космологии сPT-симметричным комплекснымпотенциаломКосмология, управляемая РТ-омом с положительным префактором перед потенциалом, имеет решение с вещественным действием, но онастрадает от проблемы сингулярности (т.е.

проблемы стабильности). Однако ситуация с отрицательном префактором не имеет никаких физических решений. Одно исправление дается введением положительной космологической константы, которая доминирует над отрицательной энергией РТ-ома так, чтобы суммарная энергия полной системы была положительной. Более обдуманное исправление требует введения квинтэссенции, так что полная система образует квинтом-подобную модель. Мырассмотрим последнюю ситуацию.4.1РТ-симметричные свойства динамических переменныхПостроим РТ-симметричный лагранжиан"!222˙˙3 ↵˙11˙1 ˙L = N e3↵++i+{ N2 1 + 2 2 N2N N 2 N2где= 6{/(1 2)2 R, и1,2V1 e58+ V 2 ei2(4.1)2 R, тогдаPT ↵PT = ↵, PT PT = , PT PT =PT iPT = i, PT N PT = N1,(4.2)#соответствующие импульсыp↵ =6e3↵ ↵˙,{Ne3↵p =⇣˙ +i ˙2 )N(1 +⌘e,3↵p =⇣i ˙+ ˙(1 +2 )N⌘(4.3)ТогдаPT p↵ PT =p↵ ,PT p PT =p ,(4.4)PT p PT = p ,а гамильтонианH=e3↵{ 2 p2p +12 ↵2Np2i p p ++ V2 e6↵+i2,iz = 6↵ + iPT xPT = x,PT zPT =1+ V1 e6↵+через(4.6)2гдеи гамильтониан становится⇣ {m1 2 m2 23↵Hxz = N ep2↵ +p +p122 x2 zгде m1 =6{ +21и m2 = 6{ +! ⌘ p↵ ={px p↵ + i{pz p↵ + V1 exV2 eiz⌘(4.8)и6e3↵ [{m2 ẋ im1 ({ ż + i↵m˙ 2 )]{N (36{ 2 + 21 22 )(4.9)(4.10)pz =e3↵ 6i↵m˙ 1 + 6i{ ẋ + 21 żN (36{ 2 + 21 22 )(4.11)!,PT px PT =(4.12)тогдаe3↵(4.7)z6↵m˙ 2 + 22 ẋ + 6i{ żN (36{ 2 + 21 22 )px =PT !PT =22,2(4.5)конечно РТ-симметричный.Теперь заменим переменные в лагранжиане Lx = 6↵ +2!px ,отсюдаPT Hxz PT = Hxz59PT pz PT = pz(4.13)4.2Классическое решениеИз гамильтониана (4.8), получим канонические уравнения в калибровкеN = e3↵{↵˙ =p↵ {px + i{pz , ṗ↵ / Hxz ⇡ 0(4.14)6ẋ = m1 px {p↵ , ṗx = V1 ex(4.15)(4.16)ṗz = iV2 eizż = m2 pz + i{p↵ ,Соединяя последние уравнения, получим1 2ẋ + m1 V1 ex = Ex ,2и их решения"rExsech2m1 V 1"rEzeiz =sech2m2 V 2ex =где1 2ż2m2 V2 eiz = EzEx(t + t0 )2(4.17)#Ez(t + t0 )2#(4.18)⌘⌘{! 2 ⇣m1{! 2 ⇣m2Ex =6{ ++ Cm1 , Ez =6{+ Cm2(4.19)122122а соответствующие импульсы"r#p{!2ExExpx =tanh(t + t0 )m1m12ipz ={!m2p2Eztanhm2"rEz(t + t0 )2#(4.20)Тогда✓◆11↵ = ↵0 + { 2 !t++m1 m2"!#r{Ex+ln cosh2(t + t0 )m12"!#r{Ezln cosh2(t + t0 )m2216{60(4.21)или↵ = ↵0 + { 2 !t✓16{11+m1 m2◆{x i{z+m1m2(4.22)Требование вещественности ↵ приводит к тому, что переменная iz - вещественная.Рисунки (4.1, 4.2) показывают сравнение уравнений состояния междутеорией с фантомом и с РТ-омом.0.50.0!0.5!1.0!1.50.70.80.91.01.11.21.31.4w!a"Рис.

4.1: w(a)- РТ-ом!0.5!1.0!1.5!2.00.81.01.2w!a"Рис. 4.2: w(a)-Фантом611.44.3Квантовая теорияВ этом случае УДВ уравнение{~2 2@12 ↵m 1 ~2 2@2 xm 2 ~2 2@z + {~2 @x @↵2!i{~2 @z @↵ + V1 exV2 eiz(4.23)(↵, x, z) = 0Чтобы решить его, разложим переменные при помощи анзацаi(↵, x, z) = e ~ ↵!и получим{! 212✓1+C2◆1+ V1 ex1(4.24)1 (x, !) 2 (z, !)+ i{!~@x1m 1 ~2 2@2 x1=0(4.25)✓◆{! 2 1m 2 ~2 2izCV2 e 2 + {!~@z 2@ 2=0(4.26)212 22 zПредполагаем что переменная z - вещественная, это приводит к периодическому потенциалу. Затем потребуем ограниченности волновых функций при больших значениях поля. Это достигается наложением условияпериодичности волновой функции РТ-ома, т.е.