Диссертация (Интегрируемая модель космологии со скалярными полями и её расширение в РТ-симметричной теории), страница 4

Практически, калибровка N =e3↵ более подходит, когда работаем в гамильтоновом формализме. В этом25случае, таким выбором калибровки можно исключить глобальный фактор в канонических уравнениях, так что разделение переменных становится возможным. Среди различных выборов калибровки существуеттакая специальная калибровка, которая помогает нам сразу найти траекторию в минисуперпространстве, здесь интегралы движения служаткак калибровочные условия.

В нашем случае, они таковы!˙↵˙! = e3↵+(2.17){N N! = e3↵3↵! =e✓✓↵˙{N˙N↵˙˙i+{N N◆◆(2.18)(2.19)Легко проверить, что эти величины слабо сохраняются, т.е. они являются константами на соответствующей гамильтоновой связи. Если найтивторые производные ↵¨ , и ¨, ¨, ¨ из моделей, затем поставить в !,˙ тополучим2!˙ =H ⇡0(2.20)!˙ =!˙ =22iH ⇡0(2.21)H ⇡0(2.22)где символ ⇡ обозначает слабое равенство, иными словами, равенствоосуществляется только на связи.

Однако настоящие физические величины не должны зависеть от конкретных выборов калибровки.Практически, мы могли бы допустить, что является функцией, пропорциональной какому-нибудь параметру, например температуре вселенной T , так что при понижении температуры стремится к нулю,тогда˙!03↵!!p =e(2.23)N˙!0!! p = e3↵(2.24)N˙!0!! p = e3↵(2.25)N26Дадим общее определение параметра Хаббла h = ↵/N˙, тогда уравнения системы можно записать следующим образом{ḣ⇢, 2 + 3h2 =3Nи параметр состояния принимает видh2 =w(t) =p=⇢1{p2 ḣ3 N h2(2.26)(2.27)Поскольку индекс w(t) – функция, явно зависящая от времени, он должен зависеть от калибровки, например, для фантома с постоянным потенциалом, при N = 1, известно, чтоhpip226↵(⌧ )e=cosh3{V (⌧ + ⌧0 )(2.28)2Vгде ⌧ космическое время, а при N = e3↵ , решение будет таким," r#2p3{e6↵(t) =sec2 p(t + t0 )(2.29)2V2RМожно проверить, что подставив ⌧ = dt e3↵(t) в первое уравнение,получим точно второе решение.

Но в обоих случаях, параметры состояния - формально разные. Практически, чтобы построить калибровочнонезависимый параметр, заменим t на ↵ как время, тогда w(↵) не будетзависеть от калибровки.2.3КвинтэссенцияКвинтэссенция является одним из типов темной энергии, у которой индекс уравнения состояния всегда больше отрицательной единицы w >1, в режиме медленного скатывания.

Это значит, что в представлением одного скалярного поля у квинтэссенции имеется положительныйкинетический член, т.е.pw= & 1(2.30)⇢где p - давление и ⇢ - плотность энергии поля, конкретно, в представлении скалярного поля, давление равно разности кинетического и потенциального члена, а плотность энергии равно их сумме,p=˙22NV ( ),27⇢=˙22N+V( )(2.31)2.3.1Классическая теорияСначала рассмотрим предельный случай, когда = 0. Для калибровкиN = 1, уравнение Фридмана сокращается до"#2p{↵˙ 2 (t) =e 6↵(t) + V(2.32)3 2где p - сохраняющаяся величина и t является точно космологическимвременем.

Решение этого уравнения будетe6↵hpip22=sinh3{V (t + t0 )2V(2.33)Как видно, ↵ имеет три сингулярности, одна находится в нуле функцииsinh, где h = ↵,˙ ḣ = ↵¨ , ⇢ ⇠ h2 и p ⇠ ḣ + 3h2 /2 тоже расходятся, другиедве - в точке бесконечности, где лишь ↵ расходится. Эти точки можнорассматривать как большой взрыв и большое сжатие соответственно,Рис.(2.1). Эволюционное уравнение скалярного поля имеет вид"p#p3{Ve 6{( + 0 ) = tanh2(t + t0 )(2.34)2Соединяем эти два уравнения (2.33) и (2.34) и получим траекторию вминисуперпрастранстве."r#2p3{e6↵ =csch2( + 0)(2.35)2V2С другой стороны, если используем калибровку N = e3↵ ˙ /p , получим✓◆{ 1 V 6↵02(↵ ( )) =+ e(2.36)3 2 pиз которого сразу можно найти траекторию в минисуперпространстве,и результат совпадет с предыдущим (2.35).

Это очевидно, потому чтотраектория в минисуперпространстве не должна зависеть от конкретныхвыборов калибровки.Если префактор потенциала - отрицательный, тогда физика квинтэссенции существенно меняется. При калибровке N = 1, у нас получитсяe6↵hpip22=cos3{|V |(t + t0 )2|V |28(2.37)Рис. 2.1: Динамические переменные ↵, h, ḣ и p, зависящие от времени. Слева – квинтэссенция с положительными потенциалом, справа – квинтэссенция с отрицательнымпотенциаломОчевидно, ↵ теперь имеет бесконечные сингулярности в конечные моменты времени из-за периодичности функции cos x, в нулях cos x всефизические величины расходятся, Рис.(2.1). Решение для поля - такоеhpi1 + sin3{|V |(t + t0 )p6{( + 0 )hie=(2.38)p1 sin3{|V |(t + t0 )Хотя космологический фактор имеет многократные сингулярные точки,траектория в минисуперпространстве в своей области хорошо определяется."r#2p3{e6↵ =sech2( + 0)(2.39)2|V |2Можно проверить, что в калибровке N = e3↵ ˙ /p получается такое жеуравнение.Как показывает Рис.(2.2), для положительного постоянного потенциала V > 0 траектория имеет одну сингулярность, а в случае V < 0,траектория имеет одну точку поворота.Теперь рассмотрим общий случай для разных значений .

Во первых,калибровку выберем такуюNe3↵=↵0 ( ) + 1(2.40)˙! {29Рис. 2.2: Траектория квинтэссенции с постоянным потенциалом в минисуперпространстветогда уравнение Фридмана становится(↵0 ( ))2{e6↵( )+=6A2✓{↵0 ( ) + 1◆2(2.41)2где 1/A2 = {V /(3! 2 ). Для случая, когда 6{и V имеют одинаковыезнаки, решение будет таким!rr2 2{ A33{2e6↵+ =csch↵++ c1(2.42)26{2{2При ! 0, это уравнение действительно совпадает с (2.35), если V > 0.Из Рис.(2.3) видно, что такая траектория имеет одну сингулярность вточке нуля функции csch.2Для случая, когда 6{и V имеют разные знаки, можно получитьаналогичное уравнение!rr2 2{ A33{2e6↵+ =sech↵++ c1(2.43)6{ + 22{2Такая траектория имеет одну точку поворота, см. правую часть в Рис.(2.3).Как мы упоминали выше, калибровка N = e3↵ более удобна длягамильтонова формализма.

Чтобы решить уравнения в каноническом30Рис. 2.3: Траектория квинтэссенции с потенциалом Лиувилля в минисуперпространствеформализме, сначала сделаем координатное преобразование в лагранжианеx = 6↵ +(2.44)и получим гамильтониан с новой переменной x⇣ {⌘mx 23↵2xHx = N ep{p↵ px +p +Ve(2.45)12 ↵2 xздесь mx = 6{ + 2 . Тогда система канонических уравнений для квинтэссенции в калибровке N = e3↵ имеет вид{↵˙ =(p↵ + 6px ) , ṗ↵ ⇡ 0;6(2.46)xẋ = {p↵ + mx px , ṗx = V eСоединение последних двух уравнений дает намẍ =m x V ex(2.47)умножая это уравнение наẋ , получаем первичный интеграл движения1 2ẋ + mx V ex = Ex(2.48)2где Ex – константа интегрирования. Если mx V > 0 и Ex > 0, тогдарешение будет"r#EExxex =sech2(t + t0 )(2.49)mx V231Если mx V < 0 и Ex > 0 решение будет другим,"r#EExxex =csch2(t + t0 )|mx V |2Для mx V < 0 и Ex < 0, решение выглядит так,"r#Ex|Ex |ex =sec2(t + t0 )mx V2(2.50)(2.51)Сравнив с вышеприведенным решением, устанавливаем, что последнеене является физическим.А ↵ и имеют единый вид для трех вышеприведенных случаев.↵ = ↵0{p↵ 2t6mx{x,mx=6↵0+{p↵t+xmxmx(2.52)из которого можно определить время t как функцию ↵ и , затем послеподстановки его в решение, получаем траекторию в минисуперпространстве.

Сравнив с вышеприведенным решением, определяем{ 2 2|Ex | =p ,12 ↵2.3.2|p↵ | =6|! |(2.53)Квантовая ТеорияДля положительного префактора V > 0, квантовое уравнение УДВ имеет вид,✓ 2◆2{~ 2m~x@↵ + {~2 @↵ @x@x2 + V ex(↵, x) = 0(2.54)122как видно, уравнение УДВ, выраженное через новую переменную x, легче решается, чем уравнение в оригинальных переменных. Это происходит потому, что уравнение в новой форме допускает разделение по разным переменным.Чтобы решить его, построим такой анзац,i(↵, x) = e ~ ↵! (!, x)тогда получим уравнение для (!, x)✓◆{ 2m x ~2 2x! + i{~!@x@ +Ve(!, x) = 0122 x32(2.55)(2.56)Общее решение имеет вид,"!ri{!x22V(!, x) = e ~mx c1 Ki⌫ex/2 + c2 Ii⌫~ mxгде индекс⌫=учитывая граничное условиеr(!, x)2~r2V x/2emx!#2{ !3 ~mx(2.57)(2.58)x!±1(2.59)!0Мы выберем первую ветвь решения, потому что Ii⌫ (x) расходится приx ! +1.

В итоге, общее решение будет таким,!rZ 1i{!xi22V(↵, x) =d! A(!)e ~ ↵! e ~mx Ki⌫ex/2(2.60)~ mx1Теперь позволимстремиться к нулю, тогда получим!rZi2 V 3↵!0(↵, x) ! dp Ã(p )e ~ p Ki˜⌫ ie~ 3{гдеr2 p(2.62)3{ ~Учитывая характер функции Бесселя, мы можем заменить Ki⌫ на Ji⌫ ,т.е.!rZi2V!0(↵, x) ! dp Ã(p )e ~ p Ji˜⌫e3↵(2.63)~ 3{!!0!6p(2.61),⌫!0! ⌫˜ =Это подтверждается вычислением волнового уравнения для случая, когда точно имеем = 0. Теперь уравнение УДВ упрощается,✓ 2◆{~ 2 ~2 26↵@@ +Ve(↵, ) = 0(2.64)12 ↵2Анзац выбираем в следующей форме,i(↵, ) = e ~33p(↵)(2.65)тогда✓и решение{~2 2 1 2@↵ + p + V e6↵1222~(↵, p ) = c1 Ji⌫rV 3↵e3{где⌫=Используем волновой пакет(↵, ) =Z1!r◆(2.66)(↵, p ) = 0+ c2 Ji⌫2~rV 3↵e3{!2 p3{ ~ipdp A(p )e ~(2.67)(2.68)Ji⌫12~rV 3↵e3{!(2.69)Это действительно совпадает с вышеприведенным результатом.

ЕслиV < 0, пакет будет0 s1Z 1i{!xi2 2|V | x/2 A(↵, x) =d! A(!)e ~ ↵! e ~mx Ji⌫ @e(2.70)~ mx1где ⌫ =q2{ !3 ~mxи предельное поведение(↵, ) =с ⌫˜ =q2.3.3Z1dp A(p )e1i~pKi˜⌫2~r|V | 3↵e3{!(2.71)2 p3{ ~ВКБ предел, сравнение с классическим решениемРассмотрим ВКБ предел для волновых пакетов. При помощи равномерных разложений функции Бесселя, можем сразу интерпретировать фазукак квазиклассическое действие, затем из этого действия получим классические решения.34Сначала рассмотрим = 0. Если поле имеет положительный постоянный потенциал, главный член функции Бесселя имеет видr2e⌫⇡/2Ji⌫ (⌫z) ⇠ei(⌫⇠ ⇡/4)(2.72)21/4⇡⌫ (1 + z )где аргументp⇠ = 1 + z 2 + lnzp1 + 1 + z2Тогда из уравнения (2.69), можем найти фазу⇡p+4~S0 = ⌫⇠(2.73)(2.74)затем из уравнения @S0 /@p = 0, определяем классическую траекторию!r2p3{csch2(2.75)e6↵ =2V2Для случая, когда поле имеет отрицательный постоянный потенциал,повторяем ту же самую процедуру.

Во-первых, вычисляем главный членравномерного разложения⇡e ⌫⇡/2Ki⌫ (⌫z) ⇠⌫ 1/3гдеи✓4⇣1 z2◆1/4Ai( ⌫ 2/3 ⇣)✓◆2⇡Ai( ⌫ 2/3 ⇣) ⇠ p 1/6 1/4 cos⌫⇣ 3/234⇡⌫ ⇠2 3/21 + (1 z 2 )1/2⇣ = ln(1 z 2 )1/23z1(2.76)(2.77)(2.78)затем находим из фазы действие2S0 = ⌫⇣ 3/23⇡p+4~тогда из уравнения @S0 /@p = 0, получаем траекторию,!r2p3{e6↵ =sech22|V |235(2.79)(2.80)Теперь рассмотрим общий случай, т.е.

6= 0, и префактор положительный,"!#pp2↵! {!x1+ 1 z⇡S0 =++ ⌫ ln1 z2(2.81)~~mxz4где индекс и аргумент⌫=r2{ !,3 ~mx2!z=r3V mx{тогда уравнение @S0 /@! = 0 означает, что!rr2 2{ !33{e6↵+ =sech2↵+12V mx2{2(2.82)(2.83)сравнивая это с вышеприведенным результатом, мы находим, что ! 2 =36! 2 / 2 .Для общего случая с отрицательным префактором,"!#pp↵! {!x1 + 1 + z2⇡S0 =++ ⌫ ln+ 1 + z2(2.84)~~mxz4rr2{ !23V mx, z=3 ~mx!{траектория по-прежнему получается из уравнения @S0 /@! = 0!rr2 2{ !33{e6↵+ =csch2↵+12V mx2{2⌫=Итак получаем то же самое ! 2 = 36! 2 /2.3.4(2.85)(2.86)2ВКБ приближение, ВКБ пакетРассмотрим уравнение (2.56) с V > 0.

Подставив анзац✓◆iWKB= C(x, !) expS0~36(2.87)получимcC(x, !) = p=p4f|c{! + mx @x S0 |,{ 2!2f=62mx V exи действие в главном порядке!rrp{x!f2{ !6f 1S0 =±⌥arctanhmx18mx3 mx{ !Тогда волновой пакет строится такZ 1i=d!A(!, !¯ )e ~ ↵!(2.88)(2.89)WKB(2.90)(! !¯ )22~2 2(2.91)1A(!, !¯ )–гауссова амплитуда1p 1/2 expA(!) =(~ ⇡)разложим S0 в !¯1S0 = S̄0 + @! S̄0 ! + @!2 S̄0 ! 2 + o( ! 3 )2(2.92)затем проинтегрируем и получим волновой пакет=здесьrp~⇡P2i4Q + ~ S̄0ieC(x, !¯ )e ~ ↵¯! p+ ...(2.93)i 2i@S̄,P=(↵ + @! S̄0 )(2.94)0!2 2 ~2 2~~Рис.(2.4) показывает волновой пакет | (↵, x)| квинтэссенции с положительным потенциалом Лиувилля вдоль классической траектории.