Диссертация (Интегрируемая модель космологии со скалярными полями и её расширение в РТ-симметричной теории), страница 3

Известно, что в эрмитовой теории все наблюдаемыевеличины соответствуют эрмитовым операторам. Такое предположениеобеспечивает вещественность спектров, т.е. вещественность наблюдаемых величин. Однако существует такой класс систем, у которых гамильтонианы неэрмитовы, но спектры их - вещественные [32,36] . Например,(1.33)H = p2 + x2 + ixЭтот гамильтониан неэрмитов, но при РТ-преобразовании (отражениипространства и времени) не меняется, т.е.P xP =x,T tT =t,T iT =i,P T pP T = p(1.34)Для вещественной энергии E, классическое решение имеет вид Рис.(1.3).16Рис. 1.3: Классическая траектория в комплексной плоскости для различных начальных условий x0 при E = 1Легко проверить, что спектр остается вещественным на вещественной оси, т.е. En = 2n + 5/4, Рис.(1.4). Волновые функции имеют вид01==ee12 x(x+i)p4⇡12 x(x+i)(2x + i)p p34⇡(1.35)...

= ...Рис. 1.4: Энергетические уровни c волновыми функциями. Слева – H = p2 + x2 ,справа – (1.33).Однако здесь появляется некоторая проблема – проблема ортогональности. Напомним, что ортогональность в эрмитовой теории опре17деляется в следующем виде, Рис.(1.5)Z 1dx n⇤ m =Таким образом, имеемZно(1.36)nm1dx⇤0 0Z=Z⇤1 1dx(1.37)=1Zidx 0⇤ 1 = p ,dx 1⇤ 0 =3Это значит, что ортогональность нарушается.ip ,3(1.38)Рис.

1.5: Ортогональность. Слева – (1.36) , справа – (1.39).Чтобы восстановить ортогональность, необходимо переопределить соотношение ортогональностиZPT edx emC n = nm(1.39)гдеPTm= PTm P T,Можно проверить, чтоe0 = p1 e4⇡pe1 = p 2 e4⇡... = ...C = ( 1)n(1.40)128 (2x+i)128 (2x+i)18✓ix+2◆(1.41)действительно образуют ортогональный базис, Рис.(1.5). Это представляет собой соотношение СРТ-ортогональности.Еще существует одна проблема – так называемая проблема соответствия. Построим ВКБ-анзацiWKB= A(x) exp S0 (x)(1.42)~A – амплитуда, а S0 /~ обычно считается как фаза, они все вещественныв обыкновенной квантовой механике, но в РТ-теориях сразу возникаетвопрос: является ли вещественная фаза S0 квазиклассическим действиемсистемы (1.33)?Чтобы ответить на этот вопрос, давайте подставим ВКБ-анзац вуравнение Шредингера,~2 @x2 + (x2 + ix) = EполучимS00 (x)2 + x22i~A0 (x)S00 (x)E=0i~A(x)S000 (x) + ixA(x) = 0(1.43)(1.44)(1.45)и их решения при x2 < E✓◆1xx2 ± E arctan p2E x2"p#E x2exp2~x2 |1 pS0 (x) = ± x E2c1A(x) = p4|E(1.46)Как видно, S0 совпадает с действием вещественного гармонического осциллятора, поэтому @E S = 0, где S = S0 + Et, даст лишь траекторию осциллятора, и она -вещественная.

Это значит, что вещественная фаза S0 не является квазиклассическим действием системы (1.33).Проблема в том, что в РТ-теориях мы должны допускать комплексныйВКБ-анзац, т.е. теперь "фаза"S0 - не вещественная,а, вообще говоря,pE x2комплексная. А именно, показатель экспоненты 2~ из функции A(x)должен быть добавлен в действие (с мнимой единицей). Соответственно,экстремум действия находится в комплексной плоскости координаты.191.6Псевдо-эрмитовая теорияРТ-симметричная неэрмитовая теория в предыдущем разделе принадлежит к классу псевдо-эрмитовых теорий.

По определению, гамильтонианявляется псевдо-эрмитовым, если существует линейный эрмитовый оператор ⌘, такой что⌘ 1H †⌘ = H(1.47)кроме того, если ⌘ еще и положительно определенный, тогда можно построить эквивалентный эрмитовый гамильтонианh = ⇢H⇢ 1 ,⌘ = ⇢2(1.48)здесь h† = h и ⇢ – положительный эрмитовый оператор.

Cогласно этомуопределению, РТ-симметричный неэрмитовый гамильтониан являетсяпсевдо-эрмитовым оператором с ⌘ = P , т.е.H = P T HP T = P H ⇤ P = P H † P(1.49)Однако, c одной стороны, для псевдо-эрмитового гамильтониана, ⌘ неединственный оператор; с другой стороны, P - не положительно определенный оператор, это значит что у него не существует положительногоэрмитового корня для построения эквивалентной эрмитовой теории.

Поэтому нахождение подходящего оператора ⌘ является главной задачей впсевдо-эрмитовой теории [33].Вернемся в наш пример (1.33) с небольшим изменениемH = p2 + x2 + 2iax,a > 0, x, p 2 R.(1.50)Поскольку гамильтониан PT -симметричный, отражение пространстваслужит как оператор ⌘, т.е.P HP = p2 + x22iax = H †(1.51)однако, как мы упоминали, P не имеет положительно определенногокорня и мы должны искать другой вариант. Такой оператор являетсяпросто сдвигом ⌘ = e2ap , при этомe2ap He2ap= H + 2a[p, H] + 2a2 [p, [p, H]]= p2 + x2 + 2iax + 2a[p, x2 + 2iax] + 4a2 [p, [p, x2 ]]= p2 + x2 + 2iax 4iax + 4a2 4a2= p2 + x22iax = H †20(1.52)это то, что нам подходит, потому что ⌘ = e2ap положительно определен,и его корень ⇢ = eap также хорошо определяется. Это значит, мы можемпостроить эквивалентный эрмитовый операторh = eap He1.7ap(1.53)= p 2 + x 2 + a2Темная энергия, проблема сингулярностиТемная энергия введена в современную космологию ради объяснениярасширения вселенной с ускорением.

Она классифицирована по поведению параметра уравнения состояния в рамках классической теорииполя:• Космологическая константа с постояным w =1• Квинтэссенция с динамическим, но ограниченным w >• Фантом с динамическим, но ограниченным w <11• Квинтом с динамическим w имеет шанс перехода через линию w =1Последние экспериментальные данные из PLANCK, Рис.(1.6) указываютна значение w ⇠ 1, т.е. w может со временем двигаться в областьw > 1 или w < 1, через линию w = 1.Однако, w < 1 означает нарушение изотропного условия энергодоминантности (NEC) ⇢ + p > 0, следовательно приводит к нарушениюстабильности. Это иногда носит название – проблема фантома.

В серииработ [3, 4, 8] авторы привлекли РТ-симметричную теорию к решениюэтой проблемы в классических рамках. В данной диссертации, мы попытаемся расширить эту идею на квантовую теорию.212Planck+BSHPlanck+WLPlanck+BAO/RSD1Planck+WL+BAO/RSDwa01232101w0Рис. 1.6: Эмпирическое описание индекса w = w0 + wa (1соответствует прошлому, а a > 1 – будущему.[50]a) + O[(1a)2 ], a < 1Рис. 1.7: Условия энергодоминантности: WEC – weak energy condition, NEC – nullenergy condition, DEC – dominant energy condition, NDEC – null dominant energycondition, SEC - strong energy condition, and the condition w1.

[47]22Глава 2Модель космологии с метрикой ФРУ иодним скалярным полемКлассическая теория с одним полем Лиувилля как интегрируемая модель изложена в учебниках, напр. [46], историю этой модели см. в работах [9, 26]. Однако изложение ее в этом разделе приведено не толькоиз соображения цельности изложения, но и для того, чтобы показатьрешения в альтернативных калибровках. Кроме того, допуская (T ),зависящее от температуры вселенной T , исследованы динамические модели с (T ) ! 0 при T ! 0. Рассмотрены также квазиклассическиепределы ~ ! 0 волновых функций и построены гауссовские волновыепакеты для того, чтобы сопоставить их с классическими траекториями.2.1Формулировки моделейМы рассмотрим сначала двумерную геометродинамику для космологииодного поля с минимальной связью.

Поля с потенциалом Лиувилля вкосмологии имеют три типа: квинтэссенция, обозначается символом, фантом, обозначается символом и PT-ом, обозначается . Соответствующие лагранжианы имеют вид!2˙23↵˙(2.1)L = N e3↵+Ve{ N 2 2N 2✓◆3 ↵˙ 2˙23↵L = NeVe(2.2){ N 2 2N 2✓◆3 ↵˙ 2˙23↵iL = Ne+Ve(2.3){ N 2 2N 223Все параметры, входящие в лагранжианы - вещественные.На первый взгляд, требование вещественности классического космологического фактора дает нам чисто мнимый для РТ-ома (с произвольной константой 2n⇡/ для вещественной части ) , однако, посколькулагранжиан имеет PT-симметрию, то - не просто фантом, продолженный на мнимую ось, он - уже не скаляр, а псевдоскаляр.

Кроме того,в силу периодичности комплексного потенциала Лиувилля, можно наложить периодическое граничное условие, так что в квантовой теориивозникнет дискретный спектр, это является вторым отличием РТ-омаот фантома.Для квинтэссенции, уравнения Эйлера � ЛагранжаУравнение Фридмана:↵˙{=N232˙22N 2+Ve!(2.4)Уравнение Райчадури:22↵¨↵˙+3 22NN2Ṅ ↵˙=N3{˙22N 2Ve!(2.5)Уравнение непрерывности:¨(2.6)↵˙ ˙ Ṅ ˙+3+Ve=0N2N2N3Первое уравнение – {00}-компонента уравнения Эйнштейна, полученнаявычислением вариации по N ; второе – пространственная {ij}-компонентауравнения Эйнштейна, полученная варьированием действия по ↵, оноиногда называется вторым уравнением Фридмана, третье – закон сохранения материи.Учитывая инвариантность действия при инфинитезимальном преобразовании диффеоморфизма (перепараметризация времени), можно получить гамильтонову связь,✓◆{ 2 1 23↵6↵+H = Nep + p +Ve=0(2.7)12 ↵ 2которая не что иное, как уравнение Фридмана с переменными фазовогопространства. Итак, уравнение Фридмана также вкратце записываетсякак H(↵, ) = 0.24Уравнения движения имеют вид для фантома✓◆↵˙ 2{˙2=+VeN232N 2✓◆↵¨↵˙ 2Ṅ ↵˙˙22 2 +3 2 2 3 = {VeNNN2N 2¨↵˙ ˙+3N2N2и для PT-ома↵˙ 2{=N23↵¨↵˙ 22 2 +3 2NNṄ ˙N3✓Ve˙22N 2Ṅ ↵˙2 3 =NVe{✓i(2.9)(2.10)=0◆˙22N 2(2.8)(2.11)Vei◆¨↵˙ ˙Ṅ ˙+3 2+ i V ei = 0.2NNN3Соответствующие гамильтонианы✓◆{1H = N e 3↵p2↵p2 + V e6↵+=0122✓◆{ 2 1 23↵6↵+iH = Nep + p +Ve=012 ↵ 2(2.12)(2.13)(2.14)(2.15)здесь N иногда рассматривается как лагранжев множитель, т.е.

действиеможет строиться следующим образомZ⇣⌘˙S = dt p↵ ↵˙ + pNH ,✓◆(2.16){ 2 1 23↵6↵+H =ep + p +Ve12 ↵ 22.2Калибровочные условииВ феноменологической теории, калибровка выбирается единицей, такчто время точно совпадает с космологическим временем. Но это не всегда удобно для решения разных задач.