Диссертация (Интегрируемая модель космологии со скалярными полями и её расширение в РТ-симметричной теории), страница 5

Поскольку две линии разделены по сингулярности слишком близко, из рисунка не видно, пройдёт ли волновой пакет через точку сингулярности.После переопределения параметров, получим Рис. (2.5), здесь уже хорошо видно, что волновой пакет не проходит через точку сингулярности.Рис. (2.6) – волновой пакет в переменных ↵ и .Q=1Q37Рис. 2.4: Квинтэссенция с положительным потенциалом Лиувилля, слева – волновойпакет | (↵, x)|, справа – классическая траектория в минисуперпространстве.Рис.

2.5: Квинтэссенция с положительным потенциалом Лиувилля, слева – волновойпакет | (↵, x)|, справа – классическая траектория в минисуперпространстве.Пустьie ~ ↵!WKB! 0, тогда получаем фазу!0!p ±r2 q 2p + 2e6↵ V ⌥3{38r0q126↵p + 2e V2BCp arctanh @A3{p(2.95)Рис. 2.6: Квинтэссенция с положительным потенциалом Лиувилля, слева – волновойпакет | (↵, )|, справа – классическая траектория в минисуперпространстве.гдеДля случая V < 0, действие нулевого порядка имеет следующий видrp✓p◆{x! 2 f2{ !{ !±⌥arcCoth p(2.96)S0 =mxmx3 mx6fcC(x, !) = p,4f{ 2!2f=+ 2mx V ex6(2.97)Рис.(2.7) показывает тот случай, когда волновой пакет проходит черезточку поворота.В предельном случае фаза нулевого порядка становитсяie ~ ↵!WKB!0!p ±2.4r2 q 2p3{2e6↵ V ⌥r0q126↵p2e V2BCp arctanh @A3{p(2.98)ФантомФантом реализует темную энергию с w < 1.

В классической теорииполя, для этого нужен отрицательный кинетический член. В этом раз39Рис. 2.7: Квинтэссенция с отрицательным потенциалом Лиувилля, слева – волновойпакет | |, справа – классическая траектория в минисуперпространстве.деле будет изучено поведение фантома с потенциалом Лиувилля и егопредельный случай ! 0 .2.4.1Классическая ТеорияДля общего случая, используя калибровку ! , получаемNe3↵=↵0 ( ) 1˙! {(2.99)Соответствующее уравнение Фридмана✓{e6↵+(↵ ( )) + =6A202{0↵( )1◆2где 1/A2 = {V /(3! 2 ), и его решение такое,!rr2 2{ A3{3e6↵+ =sec2↵ + c226{ +22{Пусть(2.100)(2.101)стремится к нулю, тогдаe6↵rp2=sec22V403{+ c22!(2.102)Теперь решим задачу в калибровке N = e3↵ .

Сначала сделаем следующее координатное преобразование для лагранжиана фантома(2.103)y = 6↵ +затем перейдем в гамильтонов формализм✓my 2H = N e 3↵p{p↵ py2 yгде my = 6{ +2{p2↵+ V ey12◆(2.104). Канонические уравнения фантома становятся такими↵˙ =ẏ ={(p↵ + 6py ) , ṗ↵ ⇡ 0;6({p↵ + my py ) , ṗy = V ey(2.105)Повторяя аналогичную процедуру, получаем1 2ẏ2(2.106)m y V ey = E yРешением для фантома формально является"r#EEyyey =sec2(t + t0 ) , ↵ = ↵0my V2{p↵ 2{t+y6mymy(2.107)и поле находится в следующем виде,=6↵0+{p↵t+ymymy(2.108)Находя время t из последнего из двух уравнений, и подставив его впервое, получаем" p#32Ey ({↵ )Eyey =sec2(2.109)my V{ p↵Сравнив его с предыдущим результатом, находим, чтоEy ={ 2 p2a,1241|p↵ | =6|! |(2.110)2.4.2Квантовая теорияСоответствующее уравнение УДВ имеет вид✓◆m y ~2 2{~2 22y@ + ~ {@↵ @y +@ +Ve2 y12 ↵при таком анзаце=0i(2.111)(2.112)= e ~ !↵ (y, !)уравнение переходит в✓◆m y ~2 2y@ + i{!~@y + V e2 y{! 2=12(2.113)Его решение=ei{!y~my"J⌫2~s2Vmy!⌫=reyгдеТогда волновой пакет=Z1id! e ~ !↵ e+J⌫2~sey2Vmy!#2{ !3 ~myi{!y~myJ⌫1(2.114)(2.115)2~sey2Vmy!С другой стороны, при = 0, уравнение УДВ превращается в✓ 2◆~ { 2 ~2 2@ + @ + V e6↵(↵, ) = 012 ↵2(2.116)(2.117)После подстановки анзацаi(↵, ) = (↵, p )e ~ pполучаем~{ 2@12 ↵2p2+ V e6↵242!(↵, p ) = 0(2.118)(2.119)Учитывая граничное условиерешение! 0 при ↵ ! 1, выбираем убывающее!rp2 V 3↵2 pp e, ⌫˜ =(2.120)3{ ~~ 3{(↵, p ) = cJ⌫˜где разрешенная область импульса p находится только на положительной вещественной оси.

Тогда волновой пакет!pZ 1i2 V 3↵p e(↵, ) =dp A(p )J⌫e~p(2.121)~ 3{0где A(p ) – амплитуда. Сравнивая оба решение, находим!0!!2.4.36p(2.122)Равномерное асимтотическое разложение функции БесселяИзучим равномерное асимптотическое разложение функции Бесселя сположительными индексами ⌫ > 0. В главном порядке✓◆Ai ⌫ 2/3 ⇣4⇣J⌫ (⌫z) ⇠(2.123)1 z2⌫ 1/3где2 3/2⇣ = ln31+p1zz2!p1z 2,0<z1(2.124)p21( ⇣)3/2 = z 2 1 arccos , z > 1(2.125)3zТеперь разложим функцию Эйри. Для положительного ⇣, т.е. 0 < z  1⇣⌘23/2e 3 ⌫⇣2/3Ai ⌫ ⇣ ⇠ p2 ⇡(⌫ 2/3 ⇣)1/4(2.126)для отрицательного ⇣, т.е. z > 1⇥2⇤⇡3/2cos⌫(⇣)4Ai ⌫ 2/3 ⇣ ⇠ p 32/31/4⇡( ⌫ ⇣)⇣⌘Но очевидно, что здесь только z > 1 дает нетривиальную фазу.43(2.127)2.4.4Сравнение с классическим решениемДля случая, когда = 0, только z > 1 даст нам нетривиальную фазу!r⇥2⇤p⇡3/2cos⌫˜(⇣)2 V 3↵2 p4p eJ⌫˜⇠ p3, ⌫˜ =(2.128)2/31/43{ ~⇡( ⌫˜ ⇣)~ 3{где2( ⇣)3/2 =3s2V 6↵ep21✓parccos p e2Vтогда фаза3↵◆(2.129)2⇡ pS(p ) = ⌥ ⌫˜( ⇣)3/2 ± +34~Затем из @S/@p = 0, мы можем найтиr✓◆2p=±arccos p3{2V e3↵или!r2p3{e6↵ =sec22V2(2.130)(2.131)(2.132)Кроме того, нетрудно проверить, что ~S удовлетворяет каноническимуравнениям@S@Sp = ~ , p↵ = ~(2.133)@@↵Первое уравнение тривиально, второе уравнение даст именно гамильтонову связь системыv!u2u 12pp↵ = t+ V e6↵(2.134){2Для общего случаяS(!) =где!↵~6= 0, фаза будет такая✓p◆{!y1+⌫z 2 1 arccos~myz⇡4(2.135)r23my p yz=Ve(2.136)!и @S/@! = 0 даст нам точно траекторию в минисуперпространстве.442.4.5ВКБ волновой пакетРассмотрим Гауссов волновой пакет (2.116)Z 1i=d! A(!, !¯ )e ~ !↵ ei{!y~myWKB(2.137)1гдеи= C(x, !) exp ~i S0 – ВКБ решение уравнения (2.113)p72V ey my 6{ 2 ! 2{y!S0 =±⌥my3my!r(2.138)p! 2{{ !⌥arcCot pmy312V ey my { 2 ! 2WKB1C(x, !) = c1 { 2 ! 261/42V my e(2.139)yРазложим S0 в точке !¯1S0 (!) = S̄0 (¯! ) + (@! S̄0 ) ! + (@!2 S̄0 )( !)2 + o[( !)2 ]2(2.140)!¯ , тогда явный вид волнового пакета определяется так!p p22042 ⇡C (x, !¯)i↵¯! i (S (¯! ) + ↵)iS (¯!)=qexp++ ...200~2~S(¯!)+2i~100i S (¯!)~(2.141)Фантом имеет многократную сингулярность, но волновой пакет можетпроходить только по одной из них, см.

Рис.(2.8), иными словами, волновой пакет не пройдет через сингулярность.Теперь повторим процедуру для предельного случая. ВКБ решениеуравнения (2.119)!=!1 ⇣ i S0(↵, p↵ ) = pc1 e ~ + c2 e@ ↵ S0где действие нулевого порядкаp↵S0 =3pr2arctan3{45✓r⌘(2.142)◆(2.143)i~ S0{ p↵6pРис.

2.8: Фантом с потенциалом Лиувилля, слева – волновой пакет | |, справа –классическая траектория в минисуперпространстве.затем подставим Гауссову амплитуду1p 1/2 expA(p ) =(~ ⇡)(pp̄)22 2 ~2(2.144)и разложим S0 в точке p̄1S0 (p ) = S̄0 + (@p S̄0 ) p + (@p2 S̄0 )( p)2 + o[( p)2 ]2(2.145)где p = pp и черта сверху над символом означает конкретное значение функции в точке p̄. Тогда интеграл волнового пакета находится вявном виде23e2PP12i1ipiS̄0⇤+S̄0~p̄4Q44Q1~⇡ e~e 14 c1 e pp(↵, ) =+ c2 p ⇤ 5(2.146)2Q1Q1~ @↵ S̄гдеi 2(@ S̄0 )2 2 ~2 2~ pQ⇤1 – комплексно сопряженная функция к Q1 , иQ1 =P1 =1⇤i⇥+ (@p S̄0 ) ,~46i⇥Pe1 =~(2.147)(@p S̄0 )⇤(2.148)Рис.

2.9: Фантом с постояным потенциалом, слева – волновой пакет | |, справа –классическая траектория в минисуперпространстве.См. Рис.(2.9), где мы положили c1 = c2 , и ↵ ограничено снизу величиной↵ln[p2 /(2V )]/6, это - классический минимум. Из Рис.(2.9), хорошо видно, что пик волнового пакета идет по классической траектории.Кроме того, около точки поворота, пик поднимается.

Пакет, конечно, непроходит через обе сингулярности.2.5PT-омPT-ом является псевдоскалярным полем, лагранжиан которого имеетPT-симметрию. Рассмотрим предельный случай!22˙3 ↵˙✓L = N e3↵++ V , V = const > 0(2.149){ N 2 2N 2где ✓–псевдоскаляр, т.е., P ✓P = ✓, поскольку это - циклическая координата, соответствующий импульс является интегралом движения, т.е.˙p✓ = e3↵ ✓/N= const.

Решение мы уже знаем из первого разделаe6↵hpip2✓2=cos3{V t2V47(2.150)и полеep6{✓hpi1 + sin3{|V |thpi=1 sin3{|V |t(2.151)так как ✓ нечетная функция от t, мы имеем P T ✓P T = ✓. Тогда траек-Рис. 2.10: Периодические решения РТ-ома, слева – ↵(t), справа– ✓(t).тория в минисуперпространстве имеет вид,!r2p3{e6↵(✓) = ✓ sech2✓2V2Соответствующее уравнение УДВ✓ 2{~ 2 ~2 2@@12 ↵2 ✓V e6↵◆(2.152)(↵, ✓) = 0(2.153)Учитывая классическую периодичность РТ-ома, см. Рис.(2.10), наложимграничное условие.(2.154)(↵, ✓ = 0) = (↵, ✓ = 2⇡)тогда получимn= Cein✓ Ki⌫2~r!V 3↵e,3{⌫=r2n,3{n2N(2.155)т.е. p✓ является дискретнымp = ~n48(2.156)2.5.1Классическая теория с комплексным потенциалом ЛиувилляРассмотрим PT-ом с комплексным потенциалом Лиувилля✓◆Z223↵˙1˙S = dt N e3↵+V ei22{N2N(2.157)Уравнение Фридмана↵˙ 2{=N23✓◆1 ˙2+ V ei22N(2.158)Используя калибровку3↵! =e✓↵˙˙i+{N N◆(2.159)преобразуем уравнение Фридмана в следующую форму✓◆26↵+i{e(↵0 ( ))2=↵0 ( ) i26A{где 1/A2 = {V /(3! 2 ).

Тогда его решениеr2 2{A3{2e6↵+i =seci6{ + 22r3↵+C2{!(2.160)(2.161)как видно, классический РТ-ом является фантомом, продолженным намнимую ось, т.е.i !(2.162)При , стремящемся к нулю, получим то, что ожидаем.Теперь, решим задачу в калибровке N = e3↵ . Из полного гамильтониана, получим канонические уравнения для положительного префактораV{↵˙ =(! 6ipz ) , ! ⇡ 0;6(2.163)ż = i{! + mz pz , ṗz = iV0 eizСоединяя последние два уравнения, находим первичный интеграл1 2ż + mz V eiz = Ez249(2.164)иeiz =Ezsec2mz V"r#Ez(t + t0 ) ,2{! 2{t+iz6mzmz↵ = ↵0(2.165)Ez > 0, тогда поле будет{!t+izmzmzэто сравнимо с вышеприведенным результатом.i =2.5.26↵0(2.166)+Наглядный классический РТ-омЧтобы классическое решение РТ-ома было более наглядным, мы рассмотрим специальное решение упрощенной модели✓ ◆2˙2ȧ=+ e2i(2.167)a2¨ + 3 ȧ ˙ + 2ie2i = 0aРешение принимает следующий видa = a0 t k ,=0 ln(t)+1,(2.168)a0 , k 2 R(2.169)где параметры фиксированы после подстановки такого анзаца в уравнение движения,✓ ◆3i11k=,ln(2.170)0 = i,1 = ⇡n224n здесь - натуральное число.